Просмотр — Гипермаркет знаний

KNOWLEDGE HYPERMARKET
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
У вас нет разрешения на действие «исправление этой страницы» по следующей причине:
Запрошенное действие могут выполнять только участники из группы giper.
Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы:
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Линейное уравнение с двумя переменными , его график</metakeywords> 

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]&gt;&gt;Математика:Линейное уравнение с двумя переменными и его график''' 

<br> 



'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК '''

<br>Нам часто встречались уравнения вида ах + b = 0, где а, Ь — числа, х — переменная. Например, bх - 8 = 0, х + 4 = О, - 7х - 11 = 0 и т. д. Числа а, Ь (коэффициенты уравнения) могут быть любыми, исключает лишь случай, когда а = 0. 

&nbsp;Уравнение ах + Ь = 0, где а [[Image:09-06-8.jpg]], называют линейным уравнением с одной переменной х (или линейным уравнением с одним неизвестным х). Решить <br>&nbsp;его, т. е. выразить х через а и b, мы с вами умеем: 

[[Image:09-06-9.jpg]]<br><br>Ранее мы отмечали, что довольно часто математической моделью реальной ситуации служит линейное уравнение с одной переменной или уравнение, которое после преобразований сводится к линейному. А теперь рассмотрим такую реальную ситуацию. 

Из городов A и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов? 

Составим математическую модель задачи. Пусть х км/ч — скорость первого поезда, у км/ч — скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошел путь bх км. Второй поезд был в пути 3 ч, т.е. прошел путь Зу км. Их встреча произошла в пункте С. На рисунке 31 представлена геометрическая модель ситуации. На алгебраическом языке ее можно описать так: &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 

5х + Зу = 500 

[[Image:09-06-10.jpg]]<br>

или<br>5х + Зу - 500 = 0. <br>Эту математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными х, у. <br>Вообще, <br>ах + by + с = 0, <br>где а, b, с — числа, причем [[Image:09-06-11.jpg]], — линейное уравнение с двумя переменными хну (или с двумя неизвестными х и у). <br>Вернемся к уравнению 5х + Зу = 500. Замечаем, что если х = 40, у = 100, то 5 • 40 + 3 • 100 = 500&nbsp; — верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел х = 40, у = 100 называют решением уравнения 5х + Зу = 500. Говорят также, что эта пара значений (х; у) удовлетворяет уравнению 5х + Зу = 500. 

К сожалению, это решение не единственно (мы ведь все любим определенность, однозначность). В самом деле, возможен и такой вариант: х = 64, у = 60; действительно, 5 • 64 + 3 • 60 = 500 — верное равенство. И такой: х = 70, у = 50 (поскольку 5 • 70 + 3 • 50 = 500 — верное равенство). 

А вот, скажем, пара чисел х = 80, у = 60 решением уравнения не является, поскольку при этих значениях верного равенства не получается: <br>[[Image:09-06-12.jpg]]<br>Вообще, решением уравнения ах + by + с = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много. 

'''''Замечание.''''' Вернемся еще раз к уравнению 5х + Зу = 500, полученному в рассмотренной выше задаче. Среди бесконечного множества его решений име- <br>ются, например, и такие: х = 100, у = 0 (в самом деле, 5 • 100 + 3 • 0 = 500 — верное числовое равенство); х = 118, у = - 30 (так как 5 • 118 + 3 • (-30) = 500 — <br>верное числовое равенство). Однако, являясь решениями уравнения, эти пары не могут служить решениями данной задачи, ведь скорость поезда не может быть равной нулю (тогда он не едет, а стоит на месте); тем более скорость поезда не может быть отрицательной (тогда он едет не навстречу другому поезду, как сказано в условии задачи, а в противоположную сторону). 

'''Пример 1.''' Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у - 3 = 0 точками в координатной плоскости хОу. 

Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5). <br>Построим в координатной плоскости хОу точки А (3; 0), B(2; 1), С (1; 2), D (0; 3), Е (- 2; 5) (рис. 32). Обратите внимание: все эти пять точек лежат на одной прямой I, проведем ее. 

[[Image:09-06-13.jpg]]<br><br>Говорят, что прямая I является графиком уравнения х + у - 3 = 0. Говорят также, что прямая I — геометрическая модель уравнения х + у - 3 = 0 

(или х + у = 3). 

Итак, если пара чисел (х; у) удовлетворяет уравнению х + у - 3 = 0, то точка М (х; у) принадлежит прямой I; если точка М(х; у) принадлежит прямой I, то пара (х; у) — решение уравнения х + у - 3 = 0. Например, точка Р(6; -3) принадлежит прямой I (рис. 32) и пара (6; -3) — решение уравнения х + у-3 = 0 <br><br>Подведем итоги: <br>Реальная ситуация <br>(словесная модель) <br>Сумма двух чисел <br>равна 3 <br>Алгебраическая <br>модель <br>х + у = 3 <br>(линейное урав- <br>нение с двумя <br>переменными) <br>Геометрическая <br>модель <br>прямая 1 на рисунке 32 <br>(график линейного <br>уравнения с двумя <br>переменными) <br>Теорема 1 I Графиком любого линейного уравнения <br>I ах + by + с = 0 является прямая. <br>Доказать теорему нам с вами пока не под силу <br>— это будет сделано позднее, в курсе геометрии. Но <br>пользоваться теоремой мы, конечно, имеем право <br>уже сейчас. <br>Кстати, догадываетесь ли вы, откуда появился <br>. термин «линейное уравнение»? Это фактически на- <br>уравнения поминание о геометрической модели — прямой ли- <br>нии, которая служит графиком уравнения. <br>Пример 2. Построить график уравнения Зх-2у+6=0. <br>Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения: <br>1) @; 3); в самом деле, если х = 0, у = 3, то <br>3*0-2*3 + 6 = 0 — верное равенство <br>(в уравнение Зд: - 2у + 6 = 0 мы подставили <br>значения х = 0, у = 3); <br>2) (- 2; 0); действительно, если х = - 2, у = 0, то <br>3*(-2)-2*0 + 6 = 0 — верное равенство; <br>3) B; 6); если х = 2, у = 6, то <br>3*2-2*6 + 6 = 0 — верное равенство; <br>4) D; 9); если х = 4, у = 9, то <br>3*4-2*9 + 6 = 0 — верное равенство. <br>Построим точки @; 3), (- 2; 0), B; 6), D; 9) на <br>координатной плоскости хОу. Они лежат на од- <br>ной прямой, проведем ее (рис. 33). Эта прямая и <br>Рис. 33 есть график уравнения Зд: - 2у + 6 = 0. &lt;И <br>Пример решен, хотя и верно, но очень нерацио- <br>нально. Почему? Давайте рассуждать. <br>1. Мы знаем, что графиком линейного уравнения <br>Зд: - 2у + 6 = 0 является прямая (это утверждается в <br>теореме). Чтобы провести прямую, достаточно указать <br>две ее точки. Через две точки можно провести прямую и притом толь- <br>ко одну — этому нас учит геометрия. Поэтому построенные выше <br>четыре точки — это явный перебор. Достаточно было построить точ- <br>ки @; 3) и (-2; 0) и с помощью линейки провести через них прямую. <br>2. Решения данного уравнения мы подбирали, т.е. угадывали. <br>Угадать что-либо всегда труднее, чем действовать по определен- <br>ному правилу. Нельзя ли было и здесь не угадывать, а действо- <br>вать по какому-то правилу? Можно. Например, так. Дадим пере- <br>менной х конкретное значение, например х = 0 (обычно пишут <br>хх = 0). Подставив это значение в уравнение Зд: - 2у + 6 = 0, <br>получим: 3 • 0 - 2у + 6 = 0, т.е. -2у + 6 = 0. Из этого уравнения <br>находим: у = 3 (обычно пишут ух = 3). Значит, если х = 0, то у = 3; <br>пара @; 3) — решение данного уравнения. <br>Дадим переменной х еще одно конкретное значение, например <br>х = - 2 (обычно пишут хг = - 2). Подставив это значение в уравнение <br>Зх-2у + 6 = 0, получим: 3 • (-2) - 2у + 6 = 0, т. е. - 2у = 0. Из этого <br>уравнения находим у = 0 (обычно пишут у2 = 0). Значит, если х = -2, <br>то у = 0; пара (- 2; 0) — решение данного уравнения. <br>Вот теперь мы в состоянии сформулировать алгоритм построе- <br>ния графика линейного уравнения ах + by + с = 0 (где, напомним, <br>а,Ь,с — любые числа, но а Ф 0, Ъ Ф 0). <br>Алгоритм построения графика уравнения <br>ах + by + с - 0 <br>1. Придать переменной х конкретное значение <br>х = xt; найти из уравнения axt + by + с = 0 соот- <br>ветствующее значение у: у = yv <br>2. Придать переменной х другое значение х — х^ найти из <br>уравнения ах2 + by + с = 0 соответствующее зна- <br>чение у: у = у 2. <br>3. Построить на координатной плоскости хОу две <br>точки (xt; yt)u (x2; уг). <br>4. Провести через эти две точки прямую — она и будет <br>графиком уравнения ах + Ьу + с = 0. <br><br>Замечание. Чаще всего на первом шаге алгоритма берут <br>значение х = 0. Второй шаг иногда немного изменяют: пола- <br>гают у = 0 и находят соответствующее значение х. <br>ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ <br>Пример <br>\ <br>j <br>\ <br>4' <br>1 <br>0 <br>У <br>К <br>&gt; <br>1 <br>3 <br>\ <br>Рис. 34 <br>3. Построить график уравнения <br>4х + 3у- 12 = 0. <br>Решение. Будем действовать по алгорит- <br>му (с учетом замечания). <br>1) Положим х = 0, подставим это значение в <br>уравнение 4х + Зу- 12 = 0, получим: 4 • 0 + Зу - <br>-12 = 0, Зу-12 = 0, у = 4. <br>2) Положим у = 0, подставим это значение <br>в уравнение 4х + Зу - 12 = 0, получим: <br>4 • х + 3 • 0 - 12 - 0, 4х - 12 = 0, х = 3. <br>3) Построим на координатной плоскости <br>хОу две точки: @; 4) — она найдена на первом <br>шаге алгоритма и C; 0) — она найдена на вто- <br>ром шаге. <br>4) Проведем через точки @; 4) и C; 0) пря- <br>мую. Это и есть искомый график (рис. 34). <br>Пример 4. Иванов и Петров посадили на своих садовых <br>участках яблони, причем Петров посадил яблонь в 2,5 раза боль- <br>ше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь <br>(подсадили новые саженцы), причем у Иванова стало яблонь в 3 <br>раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В <br>итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили <br>Иванов и Петров в первый год? <br>Решение. <br>Первый этап. Составление математической модели. <br>Пусть х — число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, <br>а у — число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По усло- <br>вию задачи у = 2,Ъх. Здесь целесообразно умножить обе части урав- <br>нения на 2, получим: 2у = Ьх. Это уравнение перепишем в виде: <br>Ъх-2у = 0. A) <br>Далее, на второй год Иванов увеличил число саженцев на сво- <br>ем участке в 3 раза и, значит, у него стало Зд: яблонь. Петров <br>увеличил число саженцев на своем участке в 2 раза, т. е. у него <br>стало 2у яблонь. По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. <br>Зх + 2у= 16. Перепишем это уравнение в виде <br>3* + 2у - 16 = 0. B) <br>Математическая модель задачи готова, она состоит из двух <br>линейных уравнений с двумя переменными хну — из уравнений <br>A) и B). Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под <br>другим и используют специальный символ — фигурную скобку: <br>[5х-2у=0, <br>h <br>8' <br>с <br>1 <br>У <br>&gt; <br>1 <br>1 <br>0 <br>\ <br>i <br>/ <br>е <br>н <br>V <br>\ <br>//&gt; <br>Г <br>&lt; <br>\ <br>V <br>Второй этап. Работа с составленной моделью. <br>Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворять и <br>уравнению A), и уравнению B), т. е. интересу- <br>ющая нас точка (х; у) должна лежать как на <br>прямой A), так и на прямой B). Что делать? <br>Ответ очевиден: надо построить прямую A), за- <br>тем прямую B) и, наконец, найти точку пересе- <br>чения этих прямых. <br>1) строим график уравнения Ьх - 2у = 0. Если <br>х = 0, то у = 0; если х = 2, то у = 5. Проведем <br>через точки @; 0) и B; 5) прямую 1Х (рис. 35). <br>2) строим график уравнения Зд: + 2у - 16 = 0. <br>Если х = 0, то у = 8; если х = 2, то у = 5. Прове- <br>дем через точки @; 8) и B; 5) прямую 12 (см. 35). <br>3) прямые 1Х и 12 пересекаются в точке B; 5), <br>т. е. х = 2, у = 5. <br>Tpyr^jT ататт. Ответ на вопрос задачи. <br>Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов <br>и Петров, т. е. чему равны хну? Ответ на этот вопрос уже полу- <br>чен: х — 2, у = 5. <br>О т в е т: в первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров — <br>5 яблонь. <br>Как видите, не зря мы с вами учились строить графики линей- <br>ных уравнений с двумя переменными. Это позволило нам от од- <br>ной математической модели (алгебраической модели C)) перейти <br>к другой математической модели — геометрической (две прямые <br>на координатной плоскости на рисунке 35), что и дало возмож- <br>ность довести решение до конца. <br>моделью C), не переходя к геометрической модели? <br>Можно, но об этом речь впереди, в главе 8. Там, <br>используя новые знания, мы снова вернемся к мо- <br>дели C). <br>



<sub>Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика в школе [[Математика|скачать]]</sub> 

<br> 

 '''<u>Содержание урока</u>'''
 <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                       '''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас  
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии 
 
 '''<u>Практика</u>'''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
  
 '''<u>Иллюстрации</u>'''
 <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
 
 '''<u>Дополнения</u>'''
 <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                          
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие 
 '''<u></u>'''
 <u>Совершенствование учебников и уроков
 </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке 
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми 
  
 '''<u>Только для учителей</u>'''
 <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год  
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации  
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
 [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
 
 
 '''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u>
 </u>

<br> 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам]. 

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].
Возврат к странице Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA»
При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.
Разработка - Гипермаркет знаний 2008-
Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: