User16 в 17:22, 1 июня 2015

2015-06-01T17:22:11Z

← Предыдущая		Версия 17:22, 1 июня 2015
Строка 59:		Строка 59:

	<br>		<br>
-	[[Image:8kl_Iracional04.jpg\|~~500x500px~~\|иррациональные]]	+	[[Image:8kl_Iracional04.jpg\|600x500px\|иррациональные]]
	<br>		<br>

User16 в 17:20, 1 июня 2015

2015-06-01T17:20:09Z

Внесённые изменения

User17 в 13:32, 8 октября 2012

2012-10-08T13:32:25Z

← Предыдущая		Версия 13:32, 8 октября 2012
Строка 33:		Строка 33:
	'''Замечание.''' Обратите внимание, что в проведенном рассуждении мы снова использовали метод доказательства от противного, о котором в первый раз говорили выше, в § 15. <br>		'''Замечание.''' Обратите внимание, что в проведенном рассуждении мы снова использовали метод доказательства от противного, о котором в первый раз говорили выше, в § 15. <br>

		+	<br>

-		+	<u>'''Итак, можно сделать следующие выводы:'''</u>
-	<u>'''Итак, можно сделать следующие выводы:'''</u>	+

	• Любая арифметическая '''[[Урок 1. Операции\|операция]]''' над рациональными числами (кроме деления на 0) приводит в результате к рациональному числу.		• Любая арифметическая '''[[Урок 1. Операции\|операция]]''' над рациональными числами (кроме деления на 0) приводит в результате к рациональному числу.
Строка 45:		Строка 45:
	Поскольку операция извлечения квадратного корня из положительного числа часто приводит к иррациональным числам, условились алгебраическое выражение, в котором присутствует операция извлечения квадратного корня, называть иррациональным выражением.		Поскольку операция извлечения квадратного корня из положительного числа часто приводит к иррациональным числам, условились алгебраическое выражение, в котором присутствует операция извлечения квадратного корня, называть иррациональным выражением.

-	Кстати, и термин «освобождение от иррациональности в знаменателе», который мы использовали в § 18, объясняется теми же причинами. <br>''<br>Мордкович А. Г., [~~[Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с~~: ил. \|'''Алгебра''']]. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. ''<br>	+	Кстати, и термин «освобождение от иррациональности в знаменателе», который мы использовали в § 18, объясняется теми же причинами. <br>''<br>Мордкович А. Г., [http://xvatit.com/vuzi/ '''Алгебра''']. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. ''<br>

	<br>		<br>

User17 в 13:30, 8 октября 2012

2012-10-08T13:30:50Z

Внесённые изменения

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-14T10:06:42Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Иррациональные числа</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Иррациональные числа'''

 

 '''                                                 ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА'''

 Мы уже неоднократно отмечали, что не все числа, с которыми приходится встречаться в реальной жизни, являются рациональными. Так, не является рациональным числом длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 2 см: в самом деле, длина с гипотенузы этого треугольника и длины катетов связаны, по теореме Пифагора, соотношением с2 = I2 + 22. Значит, с = [[Image:14-06-113.jpg]] см, а [[Image:14-06-113.jpg]] - не рациональное число. Корни уравнения х2 = 7 также не являются рациональными числами — это числа [[Image:14-06-114.jpg]] и -[[Image:14-06-114.jpg]] . Что же это за числа, которые не являются рациональными? Прежде всего заметим, что в математике не принято говорить «нерациональное число», обычно используют термин иррациональное число. Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio — «разум» (буквальный перевод: «рациональное число — разумное число», «иррациональное число — неразумное число»; впрочем, так говорят и в реальной жизни: «он поступил рационально» — это значит, что он поступил разумно; «так действовать нерационально» — это значит, что так действовать неразумно).

Рассмотрим уже известное нам иррациональное число [[Image:14-06-113.jpg]]. В § 15 мы отмечали, что оно заключено между числами 2 и 3; если точнее, то между числами 2,2 и 2,3; если еще точнее, — то между числами 2,23 и 2,24. Можно продолжить уточнения оценок числа [[Image:14-06-113.jpg]] и определить границы для третьего десятичного знака после запятой. Имеем 2,2362 = 4,999696, что меньше 5; 2,2372 = = 5,004167, что больше 5.

Итак, 2,236 < [[Image:14-06-113.jpg]] < 2,237. Точно так же можно определить границы для четвертого знака после запятой, для пятого знака и т. д. Ясно, что выполняется приближенное равенство

[[Image:14-06-113.jpg]] [[Image:14-06-117.jpg]]  2,236. Если же считать, что для числа [[Image:14-06-113.jpg]] выписаны все последующие десятичные знаки, то можно воспользоваться записью [[Image:14-06-113.jpg]] = 2,236... . Это — бесконечная десятичная дробь. В предыдущем параграфе мы уже встречались с бесконечными десятичными дробями, но все они были периодическими и выражали рациональные числа. Иррациональное число [[Image:14-06-113.jpg]] выражается бесконечной десятичной непериодической дробью. Вообще, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь. Такие числа встречаются не только при извлечении квадратного корня, но и во многих других случаях, в чем вы не раз убедитесь в старших классах. 

Пока приведем только один пример. Если длину любой окружности разделить на ее диаметр, то в частном получится иррациональное число 3,141592... . Этот факт установил еще в III веке до н. э. греческий математик и философ Архимед. Для указанного числа в математике введено специальное обозначение % (буква греческого алфавита «пи»). 

Любая арифметическая операция над рациональными числами приводит в результате к рациональному числу. Это и понятно, ведь сумма (разность, произведение, частное) обыкновенных дробей есть обыкновенная дробь (все логично, ведь рациональные числа — «разумные» числа). А как обстоит дело с иррациональными числами? Оказывается, ничего определенного сказать нельзя (что тоже логично, ведь иррациональные числа — «неразумные» числа). Смотрите: [[Image:14-06-113.jpg]] — иррациональное число, [[Image:14-06-113.jpg]] '''.''' [[Image:14-06-113.jpg]] =5 — рациональное число, т. е. произведение двух иррациональных чисел оказалось рациональным числом; [[Image:14-06-115.jpg]] — иррациональные числа, и их произведение, т. е. [[Image:14-06-116.jpg]] — тоже иррациональное число. То же относится к сложению, вычитанию, делению иррациональных чисел: в ответе может получиться как рациональное, так и иррациональное число. 

А что получится, если в операции участвуют одно рациональное число и одно иррациональное число, какое «пересилит»? Оказывается, «пересилит» иррациональное число. Рассмотрим такой пример: дано рациональное число 3 и иррациональное число [[Image:14-06-118.jpg]] ; 

составим их сумму 3 + [[Image:14-06-118.jpg]] • Предположим, что это — рациональное число r, т. е. 3 + [[Image:14-06-118.jpg]] = г. Тогда [[Image:14-06-118.jpg]] = г - 3, а r - 3 — рациональное число (как разность двух рациональных чисел). Получается, что [[Image:14-06-118.jpg]] — рациональное число, а это неверно, ведь мы знаем, что это число — иррациональное. Получили противоречие, значит, сделанное нами предположение неверно, т. е. 3 + [[Image:14-06-118.jpg]] — иррациональное число. Аналогично можно доказать, что 3-[[Image:14-06-118.jpg]] — иррациональное число. 

Замечание. Обратите внимание, что в проведенном рассуждении мы снова использовали метод доказательства от противного, о котором в первый раз говорили выше, в § 15. 

Итак, можно сделать следующие выводы: • Любая арифметическая операция над рациональными числами (кроме деления на 0) приводит в результате к рациональному числу. • Арифметическая операция над иррациональными числами может привести в результате как к рациональному, так и к иррациональному числу. • Если в арифметической операции участвуют рациональное и иррациональное числа, то в результате получится иррациональное число (кроме умножения и деления на 0). 

Поскольку операция извлечения квадратного корня из положительного числа часто приводит к иррациональным числам, условились алгебраическое выражение, в котором присутствует операция извлечения квадратного корня, называть иррациональным выражением.

Кстати, и термин «освобождение от иррациональности в знаменателе», который мы использовали в § 18, объясняется теми же причинами. 

 

Школьная библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], учебники и книги по всему предметам, Математика 8 класс [[Математика|скачать]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

Иррациональные числа - История изменений

User16 в 17:22, 1 июня 2015

User16 в 17:20, 1 июня 2015

User17 в 13:32, 8 октября 2012

User17 в 13:30, 8 октября 2012

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...