Основные понятия-2 - История изменений

User16 в 15:59, 15 июня 2012

2012-06-15T15:59:43Z

User16 в 13:07, 15 июня 2012

2012-06-15T13:07:59Z

← Предыдущая		Версия 13:07, 15 июня 2012
Строка 7:		Строка 7:
	<br>		<br>

-	'''~~ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ~~ '''	+	'''Основные понятия'''

	<br>В § 28 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя переменными — так называют равенство ax + by + с = 0, где а, b, с — конкретные числа, причем [[Image:09-06-78.jpg\|120px\|Переменные]] — переменные (неизвестные). <br>Примеры линейных уравнений с двумя переменными: <br>2х - bу + 1 = 0; <br>х + у - 3 = 0; <br>s - 5t + 4 = 0 <br>(здесь переменные обозначены по-другому: s, t, — но это роли не играет).		<br>В § 28 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя переменными — так называют равенство ax + by + с = 0, где а, b, с — конкретные числа, причем [[Image:09-06-78.jpg\|120px\|Переменные]] — переменные (неизвестные). <br>Примеры линейных уравнений с двумя переменными: <br>2х - bу + 1 = 0; <br>х + у - 3 = 0; <br>s - 5t + 4 = 0 <br>(здесь переменные обозначены по-другому: s, t, — но это роли не играет).
Строка 27:		Строка 27:
	Уравнения системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом — фигурной скобкой:		Уравнения системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом — фигурной скобкой:

-	<br>[[Image:09-06-82.jpg\|360px\|Уравнения системы]]	+	<br>[[Image:09-06-82.jpg\|360px\|Уравнения системы]]

	<br>Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы.		<br>Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы.
Строка 35:		Строка 35:
	Теперь мы можем сказать, что уже встречались с системой линейных уравнений — математическая модель уже упомянутой задачи про садоводов из § 28 выглядела так:		Теперь мы можем сказать, что уже встречались с системой линейных уравнений — математическая модель уже упомянутой задачи про садоводов из § 28 выглядела так:

-		+	<br>

	[[Image:09-06-83.jpg\|360px\|Математическая модель]]<br><br>Ее решением была пара (2; 5), т. е. х = 2, у = 5. <br>Рассмотрим новые примеры. <br>'''Пример 1.''' Решить систему уравнений		[[Image:09-06-83.jpg\|360px\|Математическая модель]]<br><br>Ее решением была пара (2; 5), т. е. х = 2, у = 5. <br>Рассмотрим новые примеры. <br>'''Пример 1.''' Решить систему уравнений

-		+	<br>

	[[Image:09-06-84.jpg\|360px\|Математическая модель]]<br><br>Решение. Графиком уравнения х + 2у - 5 = 0 является прямая. Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим: х = 5. Если х = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим: у = 2,5. Итак, нашли две точки: (5; 0) и (0; 2,5). Построим на <br>координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, — прямая l<sub>1</sub> на рисунке 70.		[[Image:09-06-84.jpg\|360px\|Математическая модель]]<br><br>Решение. Графиком уравнения х + 2у - 5 = 0 является прямая. Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим: х = 5. Если х = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим: у = 2,5. Итак, нашли две точки: (5; 0) и (0; 2,5). Построим на <br>координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, — прямая l<sub>1</sub> на рисунке 70.
Строка 63:		Строка 63:
	Ответ: 25 и 14.		Ответ: 25 и 14.

-		+	<br>

	[[Image:09-06-86.jpg\|480px\|Графический метод решения системы линейных уравнений]]<br><br>В примерах 1 и 2 мы применили графический метод решения системы линейных уравнений. Этим же методом мы пользовались в § 28 при решении задачи о числе яблонь у двух садоводов (система B) решена в § 28 графическим методом).		[[Image:09-06-86.jpg\|480px\|Графический метод решения системы линейных уравнений]]<br><br>В примерах 1 и 2 мы применили графический метод решения системы линейных уравнений. Этим же методом мы пользовались в § 28 при решении задачи о числе яблонь у двух садоводов (система B) решена в § 28 графическим методом).
Строка 75:		Строка 75:
	Построим в одной системе координат графики линейных функций у = Зx - 5 (прямая l<sub>1</sub> на рис. 71) и у — 7 - 2х (прямая 12 на рис. 71). Они пересекаются в точке А, координаты которой — единственное решение заданной системы. А вот чему конкретно равны абсцисса и ордината точки A, мы по рисунку 71 точно определить не сможем (постройте эти прямые в своих тетрадях в клеточку и убедитесь, что точка А как бы «висит» внутри определенной клеточки). Придется нам позднее вернуться к этому примеру.		Построим в одной системе координат графики линейных функций у = Зx - 5 (прямая l<sub>1</sub> на рис. 71) и у — 7 - 2х (прямая 12 на рис. 71). Они пересекаются в точке А, координаты которой — единственное решение заданной системы. А вот чему конкретно равны абсцисса и ордината точки A, мы по рисунку 71 точно определить не сможем (постройте эти прямые в своих тетрадях в клеточку и убедитесь, что точка А как бы «висит» внутри определенной клеточки). Придется нам позднее вернуться к этому примеру.

-		+	<br>

	[[Image:09-06-88.jpg\|180px\|График линейной функции]]		[[Image:09-06-88.jpg\|180px\|График линейной функции]]

-		+	<br>

	Но все-таки графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следующие важные выводы, графиками обоих уравнений системы (1) являются прямые; эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, — это значит, что система (1) имеет единственное решение (так было в рассмотренных в этом параграфе системах (2), (4), (5); эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не имеет решений (говорят также, что система несовместна — такой была система (3)); эти прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бесконечно много решений (говорят также, что система неопределенна).		Но все-таки графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следующие важные выводы, графиками обоих уравнений системы (1) являются прямые; эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, — это значит, что система (1) имеет единственное решение (так было в рассмотренных в этом параграфе системах (2), (4), (5); эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не имеет решений (говорят также, что система несовместна — такой была система (3)); эти прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бесконечно много решений (говорят также, что система неопределенна).
Строка 87:		Строка 87:
	<sub>Математика для 7 класса, учебники и книги по математике [[Математика\|скачать]], библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]] </sub> <br>		<sub>Математика для 7 класса, учебники и книги по математике [[Математика\|скачать]], библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]] </sub> <br>

		+	<br>

-		+	''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений''
-	''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений''	+

	'''<u>Содержание урока</u>'''		'''<u>Содержание урока</u>'''

User16 в 12:57, 15 июня 2012

2012-06-15T12:57:52Z

Внесённые изменения

User16 в 16:15, 9 июня 2010

2010-06-09T16:15:33Z

← Предыдущая		Версия 16:15, 9 июня 2010
Строка 1:		Строка 1:
-	<~~metakejavascript:void(0)ywords~~>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Основные понятия</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Основные понятия</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс\|Математика 7 класс]]>>Математика:Основные понятия'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс\|Математика 7 класс]]>>Математика:Основные понятия'''

User16 в 16:15, 9 июня 2010

2010-06-09T16:15:15Z

← Предыдущая		Версия 16:15, 9 июня 2010
Строка 1:		Строка 1:
-	<~~metakeywords~~>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Основные понятия</metakeywords>	+	<metakejavascript:void(0)ywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Основные понятия</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс\|Математика 7 класс]]>>Математика:Основные понятия'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс\|Математика 7 класс]]>>Математика:Основные понятия'''

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-09T16:12:43Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Основные понятия</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]>>Математика:Основные понятия'''

 

 

                                                        '''ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ '''

 В § 28 мы ввели понятие линейного уравнения с двумя переменными — так называют равенство ax + by + с = 0, где а, Ь, с — конкретные числа, причем [[Image:09-06-78.jpg]] — переменные (неизвестные). Примеры линейных уравнений с двумя переменными: 2х - bу + 1 = 0; х + у - 3 = 0; s - 5t + 4 = 0 (здесь переменные обозначены по-другому: s, t, — но это роли не играет).

В том же § 28 мы ввели понятие решения линейного уравнения с двумя переменными — так называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + с = 0 в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут значение переменной х, на втором — значение переменной у.

Приведем примеры: 1. (2; 3) — решение уравнения 5x + Зу - 19 = 0. В самом деле, 5 • 2 + 3 • 3 - 19 = 0 — верное числовое равенство. 2. (-4; 2) — решение уравнения Зх - у + 14 = 0. Действительно, 3 • (-4) -2 + 14 = 0 — верное числовое равенство. 3.[[Image:09-06-79.jpg]] — решение уравнения - 0,4а: + Зу + 7 = 0. Имеем:

[[Image:09-06-80.jpg]] — верное числовое равенство. 4. (1; 2) не является решением уравнения 2х - Зу + 1 = 0. В самом деле, 2 •1-3 •2 + 1 = 0 — неверное числовое равенство (получается, что -3 = 0). В § 29 мы отмечали, что математическую модель ах + by + + с = 0 всегда можно заменить более простой: у = kx + m. Например, уравнение Зх - 4у + 12 = 0 можно преобразовать так:

[[Image:09-06-81.jpg]] Графиком линейного уравнения ах + by + с = 0 является прямая (см. § 28). Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют уравнению ах + by + с = 0, т. е. являются решением уравнения. Сколько же решений имеет уравнение ах + by + с = 0? Столько же, сколько точек расположено на прямой, служащей графиком уравнения ах + by + с = 0, т. е. бесконечное множество решений.

Многие реальные ситуации при переводе на математический язык оформляются в виде математической модели, состоящей из двух линейных уравнений с двумя переменными. С такой ситуацией мы встретились в § 28 в задаче про двух садоводов Иванова и Петрова:

математическая модель состояла из двух уравнений: 5x - 2у = 0 и 3x + 2у - 16 = 0, причем нас интересовала такая пара значений (х; у), которая одновременно удовлетворяла и тому, и другому уравнению. В таких случаях обычно не говорят, что математическая модель состоит из двух уравнений, а говорят, что математическая модель представляет собой систему уравнений.

Вообще, если даны два линейных уравнения с двумя переменными х и у: a1x + b1y + c1 = 0 и а2х + b2y + с2 = 0 и поставлена задача — найти такие пары значений (х; у), которые одновременно удовлетворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений.

равнения системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом — фигурной скобкой: [[Image:09-06-82.jpg]] Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы. Решить систему — это значит найти все ее решения или установить, что их нет. Теперь мы можем сказать, что уже встречались с системой линейных уравнений — математическая модель уже упомянутой задачи про садоводов из § 28 выглядела так:

[[Image:09-06-83.jpg]] Ее решением была пара (2; 5), т. е. х = 2, у = 5. Рассмотрим новые примеры. '''Пример 1.''' Решить систему уравнений

[[Image:09-06-84.jpg]] Решение. Графиком уравнения х + 2у - 5 = 0 является прямая. Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим: х = 5. Если х = 0, то из уравнения х + 2у - 5 = 0 находим: у = 2,5. Итак, нашли две точки: (5; 0) и (0; 2,5). Построим на координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, — прямая l1 на рисунке 70.

Графиком уравнения 2х + \у + 3 = 0 также является прямая.

Найдем две пары значений переменных х, у, удовлетворяющих этому уравнению. Если у = 0, то из уравнения 2х + ±у + 3 = 0 находим: х = -1,5. Если х — 2,5, то из уравнения 2х + 4у + 3 = 0 находим: 5 + 4у + 3 = 0, и, следовательно, у = -2. Итак, нашли две точки: (-1,5; 0) и (2,5; -2). Построим на координатной плоскости хОу прямую, проходящую через эти две точки, — прямая I2 на рисунке 70.

Прямые l1 и I2 параллельны. Что означает этот геометрический факт для данной системы уравнений? То, что она не имеет решений (поскольку нет точек, удовлетворяющих одновременно и тому, и другому уравнению, т.е. принадлежащих одновременно и той, и другой из построенных прямых I1 и I2).

Ответ: система не имеет решений.

'''Пример 2.''' Найти два числа, если известно, что их сумма равна 39, а разность равна 11. Решение. Если х, у — искомые числа, то х + у = 39 и  x - y = 11, причем эти равенства должны одновременно выполняться:

[[Image:09-06-85.jpg]]

 Получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

Можно угадать, чему равны х и у: х = 25, у = 14. Но, во-первых, метод угадывания далеко не всегда применим на практике. А во-вторых, где гарантия, что иного решения нет, может быть, мы просто до него не додумались, не «доугадали».

Можно построить графики уравнений х + у = 39 и х - у = 11, это прямые, причем непараллельные (в отличие от тех, что в примере 1), они пересекаются в одной точке. Эту точку мы уже знаем: (25; 14); значит, это единственная пара чисел, которая нас устраивает, единственное решение системы. Ответ: 25 и 14.

[[Image:09-06-86.jpg]] В примерах 1 и 2 мы применили графический метод решения системы линейных уравнений. Этим же методом мы пользовались в § 28 при решении задачи о числе яблонь у двух садоводов (система B) решена в § 28 графическим методом).

К сожалению, графический метод, как и метод угадывания, не самый надежный. Во-первых, прямые могут просто не уместиться на чертеже. Во- вторых, прямые могут уместиться на чертеже, но пересечься в точке, координаты которой по чертежу не очень легко определить.

'''Пример 3'''. Решить систему уравнений:

[[Image:09-06-87.jpg]] Решение. Построим графики уравнений системы. Сначала, как это чаще всего мы делаем, преобразуем оба уравнения к виду линейной функции. Из первого уравнения получаем: у = 3x - 5, а из второго: у = 7 - 2х.

Построим в одной системе координат графики линейных функций у = Зx - 5 (прямая l1 на рис. 71) и у — 7 - 2х (прямая 12 на рис. 71). Они пересекаются в точке А, координаты которой — единственное решение заданной системы. А вот чему конкретно равны абсцисса и ордината точки A, мы по рисунку 71 точно определить не сможем (постройте эти прямые в своих тетрадях в клеточку и убедитесь, что точка А как бы «висит» внутри определенной клеточки). Придется нам позднее вернуться к этому примеру.

[[Image:09-06-88.jpg]]

Но все-таки графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следующие важные выводы'. графиками обоих уравнений системы (1) являются прямые; эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, — это значит, что система (1) имеет единственное решение (так было в рассмотренных в этом параграфе системах (2), (4), (5); эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не имеет решений (говорят также, что система несовместна — такой была система (3)); эти прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бесконечно много решений (говорят также, что система неопределенна).

Итак, мы познакомились с новой математической моделью (1) — системой двух линейных уравнений с двумя переменными. Наша задача — научиться ее решать. Метод угадывания ненадежен, графический метод также выручает не всегда. Значит, нам нужно располагать надежными алгебраическими методами решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Об этом и пойдет речь в следующих параграфах. 

Математика для 7 класса, учебники и книги по математике [[Математика|скачать]], библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].