Свойства степени с натуральным показателем - История изменений

User16 в 18:58, 14 июня 2012

2012-06-14T18:58:18Z

← Предыдущая		Версия 18:58, 14 июня 2012
Строка 133:		Строка 133:
	[[Image:07-06-73.jpg\|480px\|Доказательство теоремы]]		[[Image:07-06-73.jpg\|480px\|Доказательство теоремы]]

-	<br> <sub>Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], видеоматериал по математике для 7 класса [[Математика\|скачать]]</sub>	+	<br> <sub>Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видеоматериал'''] по математике для 7 класса [[Математика\|скачать]]</sub>

	<br>		<br>

User16 в 18:55, 14 июня 2012

2012-06-14T18:55:24Z

← Предыдущая		Версия 18:55, 14 июня 2012
Строка 111:		Строка 111:
	<br>Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах все четко, все оговорено, все предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, легкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей '''[[Что такое математический язык\|математического языка]]''': наряду с серьезными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила с пропусками слов.		<br>Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах все четко, все оговорено, все предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, легкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей '''[[Что такое математический язык\|математического языка]]''': наряду с серьезными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила с пропусками слов.

-	<br>[[Image:07-06-67.jpg\|480px\|Решение примеров]]<br><br>Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада еще раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряженная [http://xvatit.com/busines/jobs-career/ работа], давайте же и мы выделим самое главное.	+	<br>[[Image:07-06-67.jpg\|480px\|Решение примеров]]<br><br>Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада еще раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряженная [http://xvatit.com/busines/jobs-career/ '''работа'''], давайте же и мы выделим самое главное.

	<br>Самое главное — три формулы,		<br>Самое главное — три формулы,

User16 в 08:50, 14 июня 2012

2012-06-14T08:50:07Z

← Предыдущая		Версия 08:50, 14 июня 2012
Строка 1:		Строка 1:
-	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Свойства степени с натуральным показателем, теорема, умножении, делении степеней, Математический язык</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Свойства степени с натуральным показателем, теорема, умножении, делении степеней, Математический язык, дроби</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс\|Математика 7 класс]]>>Математика: Свойства степени с натуральным показателем'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс\|Математика 7 класс]]>>Математика: Свойства степени с натуральным показателем'''
Строка 71:		Строка 71:
	<br>Пример 2. Вычислить:  a) 2<sup>6</sup> : 2<sup>4</sup>; б) 3<sup>8</sup> : 3<sup>5</sup>.		<br>Пример 2. Вычислить:  a) 2<sup>6</sup> : 2<sup>4</sup>; б) 3<sup>8</sup> : 3<sup>5</sup>.

-	<br>Решение, а) Запишем частное в виде дроби и сократим ее:	+	<br>Решение, а) Запишем частное в виде '''[[Основное свойство алгебраической дроби\|дроби]]''' и сократим ее:

	<br>[[Image:07-06-54.jpg\|480px\|Решение примера]]		<br>[[Image:07-06-54.jpg\|480px\|Решение примера]]
Строка 101:		Строка 101:
	''<br>''		''<br>''

-	[[Image:07-06-63.jpg\|480px\|Решение примеров]]<br><br>Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножались. Первый этап завершен. <br>На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность:  (a<sup>n</sup>)<sup>k</sup> = a<sup>nk</sup>.   <br>'''Теорема 3. '''<br>[[Image:07-06-65.jpg\|480px\|Теорема 3.]]<br>Доказательство теоремы {третий ~~ата.т^~~ мы приводим в самом конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и 2. Если есть желание, попытайтесь сами (или с помощью учителя) доказать ее.	+	[[Image:07-06-63.jpg\|480px\|Решение примеров]]<br><br>Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножались. Первый этап завершен. <br>На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность:  (a<sup>n</sup>)<sup>k</sup> = a<sup>nk</sup>.   <br>'''Теорема 3. '''<br>[[Image:07-06-65.jpg\|480px\|Теорема 3.]]<br>Доказательство теоремы (третий этап мы приводим в самом конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и 2. Если есть желание, попытайтесь сами (или с помощью учителя) доказать ее.

	Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трем серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее формулировать в виде трех правил, которые полезно запомнить.		Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трем серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее формулировать в виде трех правил, которые полезно запомнить.

User16 в 08:44, 14 июня 2012

2012-06-14T08:44:24Z

Внесённые изменения

User16 в 13:11, 7 июня 2010

2010-06-07T13:11:36Z

← Предыдущая		Версия 13:11, 7 июня 2010
Строка 69:		Строка 69:
	[[Image:07-06-72.jpg]]<br><br>В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. <br>Имеем:		[[Image:07-06-72.jpg]]<br><br>В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. <br>Имеем:

-	[[Image:07-06-73.jpg]] <br> <sub>Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет ~~Знаем~~ - первый в мире!\|онлайн]], видеоматериал по математике для 7 класса [[Математика\|скачать]]</sub>	+	[[Image:07-06-73.jpg]] <br> <sub>Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], видеоматериал по математике для 7 класса [[Математика\|скачать]]</sub>

	<br>		<br>

User16 в 13:09, 7 июня 2010

2010-06-07T13:09:26Z

← Предыдущая		Версия 13:09, 7 июня 2010
Строка 69:		Строка 69:
	[[Image:07-06-72.jpg]]<br><br>В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. <br>Имеем:		[[Image:07-06-72.jpg]]<br><br>В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. <br>Имеем:

-	[[Image:07-06-73.jpg]]	+	[[Image:07-06-73.jpg]] <br> <sub>Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет Знаем - первый в мире!\|онлайн]], видеоматериал по математике для 7 класса [[Математика\|скачать]]</sub>
-	<br>	+
-	<sub>Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет Знаем - первый в мире!\|онлайн]], видеоматериал по математике для 7 класса [[Математика\|скачать]]</sub>	+

	<br>		<br>

User16 в 13:06, 7 июня 2010

2010-06-07T13:06:52Z

← Предыдущая		Версия 13:06, 7 июня 2010
Строка 59:		Строка 59:
	Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трем серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее фор- <br>мулировать в виде трех правил, которые полезно запомнить.		Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трем серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее фор- <br>мулировать в виде трех правил, которые полезно запомнить.

-	[[Image:07-06-66.jpg]]	+	[[Image:07-06-66.jpg]]

	<br>Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах все четко, все оговорено, все предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, легкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математического языка: наряду с серьезными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила с пропусками слов. <br>[[Image:07-06-67.jpg]]<br><br>Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада еще раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряженная работа, давайте же и мы выделим самое главное. <br>Самое главное — три формулы,		<br>Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах все четко, все оговорено, все предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, легкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математического языка: наряду с серьезными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила с пропусками слов. <br>[[Image:07-06-67.jpg]]<br><br>Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада еще раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряженная работа, давайте же и мы выделим самое главное. <br>Самое главное — три формулы,
Строка 65:		Строка 65:
	[[Image:07-06-68.jpg]]<br><br>Их можно применять как справа налево, так и <br>слева направо. Например,		[[Image:07-06-68.jpg]]<br><br>Их можно применять как справа налево, так и <br>слева направо. Например,

-	[[Image:07-06-69.jpg]]<br><br>Замечание. Мы говорили только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об их сложении и вычитании ничего неизвестно, так что не сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять сумму [[Image:07-06-70.jpg]]; в самом деле, посчитайте: [[Image:07-06-71.jpg]]; <br>23 = 8; 16 + 8 = 24, но это не есть 27, поскольку 27 = 128. <br>Нельзя заменять разность З5 - З4 на З1; действительно, <br>посчитайте: З5 = 243; З4 = 81; 243 - 81 = 162, но это не- <br>есть 3', так как 3' = 3. Будьте внимательны! <br>В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. <br>Имеем: <br>(а"I <br>»\к, <br>к множителей <br>а) • (а • а • ... • а) • ... • (а • а • <br>к групп по п множителей в каждой <br>.. • а) <br>а- а <br>а а а <br>а ¦ а ¦ а <br>а <br>„л* <br>	+	[[Image:07-06-69.jpg]]<br><br>Замечание. Мы говорили только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об их сложении и вычитании ничего неизвестно, так что не сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять сумму [[Image:07-06-70.jpg]]; в самом деле, посчитайте: [[Image:07-06-71.jpg]];

-	<br>	+	[[Image:07-06-72.jpg]]<br><br>В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. <br>Имеем:

		+	[[Image:07-06-73.jpg]]
		+	<br>
	<sub>Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет Знаем - первый в мире!\|онлайн]], видеоматериал по математике для 7 класса [[Математика\|скачать]]</sub>		<sub>Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике [[Гипермаркет Знаем - первый в мире!\|онлайн]], видеоматериал по математике для 7 класса [[Математика\|скачать]]</sub>

User16 в 13:01, 7 июня 2010

2010-06-07T13:01:04Z

← Предыдущая		Версия 13:01, 7 июня 2010
Строка 45:		Строка 45:
	[[Image:07-06-56.jpg]]		[[Image:07-06-56.jpg]]

-	Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если ..., то ...»? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведен после доказательства теоремы). <br>Доказательство. Рассмотрим произведение [[Image:07-06-57.jpg]]. Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив показатели n - k и k, получим (п - k) + к = п. <br>Итак, [[Image:07-06-58.jpg]], а это как раз и означает, что [[Image:07-06-59.jpg]]	+	Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если ..., то ...»? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведен после доказательства теоремы). <br>Доказательство. Рассмотрим произведение [[Image:07-06-57.jpg]]. Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив показатели n - k и k, получим (п - k) + к = п. <br>Итак, [[Image:07-06-58.jpg]], а это как раз и означает, что [[Image:07-06-59.jpg]]

	Теорема доказана. <br>А теперь иначе сформулируем теорему 2:		Теорема доказана. <br>А теперь иначе сформулируем теорему 2:
Строка 51:		Строка 51:
	[[Image:07-06-60.jpg]]<br><br>Условие теоремы: [[Image:07-06-61.jpg]]; п, k — натуральные числа, п >k. <br>Заключение теоремы: [[Image:07-06-62.jpg]]<br>Второе открытие у нас состоялось. Идем дальше.		[[Image:07-06-60.jpg]]<br><br>Условие теоремы: [[Image:07-06-61.jpg]]; п, k — натуральные числа, п >k. <br>Заключение теоремы: [[Image:07-06-62.jpg]]<br>Второе открытие у нас состоялось. Идем дальше.

-	<br>'''''Открытие третье'''''	+	<br>'''''Открытие третье'''''

-	[[Image:07-06-63.jpg]]<br><br>Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножались. Первый этап завершен. <br>На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность:[[Image:07-06-64.jpg]]. <br>Теорема 3. <br>~~(а»)к~~ <br>Доказательство теоремы {третий ата.т^ мы приводим в самом ~~<br>~~конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и ~~<br>~~2). Если есть желание, попытайтесь сами (или с помощью учителя) ~~<br>~~доказать ее. ~~<br>~~Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к ~~<br>~~трем серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее фор- <br>мулировать в виде трех правил, которые полезно запомнить. ~~<br>Правило 1. При умножении степеней с одинако~~- <br>выми основаниями показатели складываются, <br>а основание остается неизменным. <br>Правило 2. При делении степеней с одинаковыми <br>основаниями показатели вычитаются, а осно- ~~<br>вание остается неизменным. <br>Правило 3. При возведении степени в степень <br>показатели перемножаются~~. <br>Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. ~~<br>~~Почувствовали разницу? В теоремах все четко, все оговорено, все ~~<br>~~предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, ~~лег- <br>кость~~ мысли, поэтому они легче запоминаются и ~~воспринимают- <br>ся~~; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей ~~<br>~~математического языка: наряду с серьезными отточенными ~~фор- <br>мулировками~~ используются и краткие афористичные правила с ~~<br>~~пропусками слов. <br>~~B?'2) <br>Пример 4. Вычислить~~ - ~~3 • <br>B' /г) <br>Р е ш е н и е~~. ~~1) 23 • 24 = 28+4 = 27 (правило 1);~~ <br>2) B7M = 275 = 235 (правило 3); <br>3) 2 • 28 = 21 +8 = 29 (правило 1); <br>4) B9K = 29'3 = 227 (правило 3); <br>5) 235 : 227 = 235�7 = 28 (правило 2); <br>6) 28 = 256 (см. § 5). <br>Ответ: 256. <br>32 <br>Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для ~~слушате- <br>лей~~ речью, обязательно в конце доклада еще раз выделит самое ~~<br>~~главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и ~~напря- <br>женная~~ работа, давайте же и мы выделим самое главное. <br>Самое главное — три формулы, ~~<br>а* <br>~~:~~а* <br>а"~~- <br>~~= а"~ <br>(с <br>а* = а <br>, где <br>)» = а <br>п> <br>л* <br>• <br>, <br>а i <br>fc0; <br>>~~ <br>Их можно применять как справа налево, так и <br>слева направо. Например, ~~<br>24~~-~~24; <br>о10 <br>E3L~~ - ~~512; 5~~ <br>~~12 <br>З4 ' <br>E6J = E2N <br>E4K = E3L.~~ <br>Замечание. Мы говорили только об умножении и ~~де- <br>лении~~ степеней с одинаковыми основаниями. А вот об ~~<br>~~их сложении и вычитании ничего неизвестно, так что не ~~<br>~~сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять ~~<br>~~сумму ~~2 + 23 на 27~~; в самом деле, посчитайте: ~~2* = 16~~; <br>23 = 8; 16 + 8 = 24, но это не есть 27, поскольку 27 = 128. <br>Нельзя заменять разность З5 - З4 на З1; действительно, <br>посчитайте: З5 = 243; З4 = 81; 243 - 81 = 162, но это не- <br>есть 3', так как 3' = 3. Будьте внимательны! <br>В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. <br>Имеем: <br>(а"I <br>»\к, <br>к множителей <br>а) • (а • а • ... • а) • ... • (а • а • <br>к групп по п множителей в каждой <br>.. • а) <br>а- а <br>а а а <br>а ¦ а ¦ а <br>а <br>„л* <br>	+	[[Image:07-06-63.jpg]]<br><br>Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножались. Первый этап завершен. <br>На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность:[[Image:07-06-64.jpg]]. <br>'''Теорема 3. '''<br>[[Image:07-06-65.jpg]]<br>Доказательство теоремы {третий ата.т^ мы приводим в самом конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и
		+
		+	2). Если есть желание, попытайтесь сами (или с помощью учителя) доказать ее.
		+
		+	Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к трем серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее фор- <br>мулировать в виде трех правил, которые полезно запомнить.
		+
		+	[[Image:07-06-66.jpg]]
		+
		+	<br>Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах все четко, все оговорено, все предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, легкость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимаются; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей математического языка: наряду с серьезными отточенными формулировками используются и краткие афористичные правила с пропусками слов. <br>[[Image:07-06-67.jpg]]<br><br>Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушателей речью, обязательно в конце доклада еще раз выделит самое главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напряженная работа, давайте же и мы выделим самое главное. <br>Самое главное — три формулы,
		+
		+	[[Image:07-06-68.jpg]]<br><br>Их можно применять как справа налево, так и <br>слева направо. Например,
		+
		+	[[Image:07-06-69.jpg]]<br><br>Замечание. Мы говорили только об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об их сложении и вычитании ничего неизвестно, так что не сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять сумму [[Image:07-06-70.jpg]]; в самом деле, посчитайте: [[Image:07-06-71.jpg]]; <br>23 = 8; 16 + 8 = 24, но это не есть 27, поскольку 27 = 128. <br>Нельзя заменять разность З5 - З4 на З1; действительно, <br>посчитайте: З5 = 243; З4 = 81; 243 - 81 = 162, но это не- <br>есть 3', так как 3' = 3. Будьте внимательны! <br>В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. <br>Имеем: <br>(а"I <br>»\к, <br>к множителей <br>а) • (а • а • ... • а) • ... • (а • а • <br>к групп по п множителей в каждой <br>.. • а) <br>а- а <br>а а а <br>а ¦ а ¦ а <br>а <br>„л* <br>

	<br>		<br>

User16 в 12:47, 7 июня 2010

2010-06-07T12:47:42Z

← Предыдущая		Версия 12:47, 7 июня 2010
Строка 41:		Строка 41:
	<br>'''''                                                       Открытие второе'''''		<br>'''''                                                       Открытие второе'''''

-	<br>Пример 2. Вычислить:[[Image:07-06-53.jpg]]<br>Решение, а) Запишем частное в виде дроби и сократим ее: <br>[[Image:07-06-54.jpg]]<br>Ответ:a)4; b)27.<br>Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя, при этом из показателя делимого вычитается показатель делителя. Первый этап завершен. На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: [[Image:07-06-55.jpg]]<br>	+	<br>Пример 2. Вычислить:[[Image:07-06-53.jpg]]<br>Решение, а) Запишем частное в виде дроби и сократим ее: <br>[[Image:07-06-54.jpg]]<br>Ответ:a)4; b)27.<br>Наблюдается закономерность: основания делимого и делителя одинаковы, показатель делимого больше, чем показатель делителя, при этом из показателя делимого вычитается показатель делителя. Первый этап завершен. На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность: [[Image:07-06-55.jpg]]<br>

-	[[Image:07-06-56.jpg]]	+	[[Image:07-06-56.jpg]]

-	Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если ..., то ...»? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведен после доказательства теоремы). <br>Доказательство. Рассмотрим произведение а"'* • а. Мы ~~<br>~~знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями ~~<br>~~показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив ~~<br>~~показатели n - ft и ft, получим (п - ft) + к = п. <br>Итак, ~~ап~к • ак = а"~~, а это как раз и означает, что ~~<br>ап ~~:~~ак = ап~к~~. Теорема доказана. <br>А теперь иначе сформулируем теорему 2: ~~<br>1если а О и п, k — натуральные числа, такие, <br>что п>к, то справедливо равенство <br>а"~~: а" <br>,»-* <br>Условие теоремы: ~~а ф 0~~; п, ft — натуральные числа, п > ft. <br>Заключение теоремы: ~~ап i ak = аа~к~~. <br>Второе открытие у нас состоялось. Идем дальше. <br>Открытие третье ~~<br>ПримерЗ. Вычислить~~: ~~а) B5J; б) (З2K. <br>Р е ш е н и е. а) Имеем: <br>B5J~~ - ~~25 • 25 = 25+5 = 210~~ - ~~1024 (см. § 5)~~. <br>б) Имеем: <br>(З2K = З2 • З2 • З2 = 32+2+2 = З6 = 729 (см. § 5). <br>Ответ: а) 1024; б) 729. <br>В процессе решения примера мы заметили, что <br>B5J = 210,т.е.B5J = 25'2; <br>C2K = Зв,т.е.C2K = 323. <br>Наблюдается закономерность: в обоих случаях при ~~возведе- <br>нии~~ степени в степень показатели перемножались. Первый ~~этад <br>~~завершен. <br>На втором этапе предположим, что мы открыли общую ~~зако~~- <br>номерность: (а) = а". <br>Теорема 3. <br>(а»)к <br>Доказательство теоремы {третий ата.т^ мы приводим в самом <br>конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и <br>2). Если есть желание, попытайтесь сами (или с помощью учителя) <br>доказать ее. <br>Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к <br>трем серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее фор- <br>мулировать в виде трех правил, которые полезно запомнить. <br>Правило 1. При умножении степеней с одинако- <br>выми основаниями показатели складываются, <br>а основание остается неизменным. <br>Правило 2. При делении степеней с одинаковыми <br>основаниями показатели вычитаются, а осно- <br>вание остается неизменным. <br>Правило 3. При возведении степени в степень <br>показатели перемножаются. <br>Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. <br>Почувствовали разницу? В теоремах все четко, все оговорено, все <br>предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, лег- <br>кость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимают- <br>ся; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей <br>математического языка: наряду с серьезными отточенными фор- <br>мулировками используются и краткие афористичные правила с <br>пропусками слов. <br>B?'2) <br>Пример 4. Вычислить - 3 • <br>B' /г) <br>Р е ш е н и е. 1) 23 • 24 = 28+4 = 27 (правило 1); <br>2) B7M = 275 = 235 (правило 3); <br>3) 2 • 28 = 21 +8 = 29 (правило 1); <br>4) B9K = 29'3 = 227 (правило 3); <br>5) 235 : 227 = 235�7 = 28 (правило 2); <br>6) 28 = 256 (см. § 5). <br>Ответ: 256. <br>32 <br>Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушате- <br>лей речью, обязательно в конце доклада еще раз выделит самое <br>главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напря- <br>женная работа, давайте же и мы выделим самое главное. <br>Самое главное — три формулы, <br>а <br>:а* <br>а"- <br>= а"~ <br>(с <br>а* = а <br>, где <br>)» = а <br>п> <br>л* <br>• <br>, <br>а i <br>fc0; <br>> <br>Их можно применять как справа налево, так и <br>слева направо. Например, <br>24-24; <br>о10 <br>E3L - 512; 5 <br>12 <br>З4 ' <br>E6J = E2N <br>E4K = E3L. <br>Замечание. Мы говорили только об умножении и де- <br>лении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об <br>их сложении и вычитании ничего неизвестно, так что не <br>сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять <br>сумму 2 + 23 на 27; в самом деле, посчитайте: 2* = 16; <br>23 = 8; 16 + 8 = 24, но это не есть 27, поскольку 27 = 128. <br>Нельзя заменять разность З5 - З4 на З1; действительно, <br>посчитайте: З5 = 243; З4 = 81; 243 - 81 = 162, но это не- <br>есть 3', так как 3' = 3. Будьте внимательны! <br>В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. <br>Имеем: <br>(а"I <br>»\к, <br>к множителей <br>а) • (а • а • ... • а) • ... • (а • а • <br>к групп по п множителей в каждой <br>.. • а) <br>а- а <br>а а а <br>а ¦ а ¦ а <br>а <br>„л* <br>	+	Можете ли вы сформулировать теорему 2 иначе, используя грамматическое построение «если ..., то ...»? Видите ли вы, где в этой теореме условие, а где заключение? Ответьте для себя на эти вопросы (а наш ответ будет приведен после доказательства теоремы). <br>Доказательство. Рассмотрим произведение [[Image:07-06-57.jpg]]. Мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (об этом шла речь в теореме 1). Сложив показатели n - k и k, получим (п - k) + к = п. <br>Итак, [[Image:07-06-58.jpg]], а это как раз и означает, что [[Image:07-06-59.jpg]]
		+
		+	Теорема доказана. <br>А теперь иначе сформулируем теорему 2:
		+
		+	[[Image:07-06-60.jpg]]<br><br>Условие теоремы: [[Image:07-06-61.jpg]]; п, k — натуральные числа, п >k. <br>Заключение теоремы: [[Image:07-06-62.jpg]]<br>Второе открытие у нас состоялось. Идем дальше.
		+
		+	<br>'''''Открытие третье'''''
		+
		+	[[Image:07-06-63.jpg]]<br><br>Наблюдается закономерность: в обоих случаях при возведении степени в степень показатели перемножались. Первый этап завершен. <br>На втором этапе предположим, что мы открыли общую закономерность:[[Image:07-06-64.jpg]]. <br>Теорема 3. <br>(а»)к <br>Доказательство теоремы {третий ата.т^ мы приводим в самом <br>конце параграфа (пока ограничимся доказательствами теорем 1 и <br>2). Если есть желание, попытайтесь сами (или с помощью учителя) <br>доказать ее. <br>Мы совершили с вами три открытия, которые привели нас к <br>трем серьезным теоремам. Эти теоремы на практике удобнее фор- <br>мулировать в виде трех правил, которые полезно запомнить. <br>Правило 1. При умножении степеней с одинако- <br>выми основаниями показатели складываются, <br>а основание остается неизменным. <br>Правило 2. При делении степеней с одинаковыми <br>основаниями показатели вычитаются, а осно- <br>вание остается неизменным. <br>Правило 3. При возведении степени в степень <br>показатели перемножаются. <br>Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. <br>Почувствовали разницу? В теоремах все четко, все оговорено, все <br>предусмотрено, а в правилах ощущается какая-то неполнота, лег- <br>кость мысли, поэтому они легче запоминаются и воспринимают- <br>ся; правила похожи на афоризмы. Это тоже одна из особенностей <br>математического языка: наряду с серьезными отточенными фор- <br>мулировками используются и краткие афористичные правила с <br>пропусками слов. <br>B?'2) <br>Пример 4. Вычислить - 3 • <br>B' /г) <br>Р е ш е н и е. 1) 23 • 24 = 28+4 = 27 (правило 1); <br>2) B7M = 275 = 235 (правило 3); <br>3) 2 • 28 = 21 +8 = 29 (правило 1); <br>4) B9K = 29'3 = 227 (правило 3); <br>5) 235 : 227 = 235�7 = 28 (правило 2); <br>6) 28 = 256 (см. § 5). <br>Ответ: 256. <br>32 <br>Опытный оратор, выступив с длинной и трудной для слушате- <br>лей речью, обязательно в конце доклада еще раз выделит самое <br>главное, самое важное. У нас с вами была очень трудная и напря- <br>женная работа, давайте же и мы выделим самое главное. <br>Самое главное — три формулы, <br>а* <br>:а* <br>а"- <br>= а"~ <br>(с <br>а* = а <br>, где <br>)» = а <br>п> <br>л* <br>• <br>, <br>а i <br>fc0; <br>> <br>Их можно применять как справа налево, так и <br>слева направо. Например, <br>24-24; <br>о10 <br>E3L - 512; 5 <br>12 <br>З4 ' <br>E6J = E2N <br>E4K = E3L. <br>Замечание. Мы говорили только об умножении и де- <br>лении степеней с одинаковыми основаниями. А вот об <br>их сложении и вычитании ничего неизвестно, так что не <br>сочиняйте новых правил. Нельзя, например, заменять <br>сумму 2 + 23 на 27; в самом деле, посчитайте: 2* = 16; <br>23 = 8; 16 + 8 = 24, но это не есть 27, поскольку 27 = 128. <br>Нельзя заменять разность З5 - З4 на З1; действительно, <br>посчитайте: З5 = 243; З4 = 81; 243 - 81 = 162, но это не- <br>есть 3', так как 3' = 3. Будьте внимательны! <br>В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. <br>Имеем: <br>(а"I <br>»\к, <br>к множителей <br>а) • (а • а • ... • а) • ... • (а • а • <br>к групп по п множителей в каждой <br>.. • а) <br>а- а <br>а а а <br>а ¦ а ¦ а <br>а <br>„л* <br>

	<br>		<br>

User16 в 12:26, 7 июня 2010

2010-06-07T12:26:14Z

Внесённые изменения