Сокращение алгебраических дробей - История изменений

User16 в 07:39, 15 июня 2012

2012-06-15T07:39:22Z

User16 в 06:49, 15 июня 2012

2012-06-15T06:49:26Z

User16 в 16:38, 8 июня 2010

2010-06-08T16:38:04Z

← Предыдущая		Версия 16:38, 8 июня 2010
Строка 27:		Строка 27:
	получится х<sup>2</sup> + х + 1. <br>многочленов Р и Q. При этом используют запись [[Image:08-06-39.jpg]]<br> где Р — числитель, Q — знаменатель алгебраической дроби. <br> Примеры алгебраических дробей: [[Image:08-06-40.jpg]]<br>Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. Например, как мы уже установили ранее, [[Image:08-06-41.jpg]]<br>(многочлен 6x<sup>3</sup> - 24x<sup>2</sup> удалось разделить на 6x<sup>2</sup>, при этом в частном получается x - 4); мы также отмечали, что [[Image:08-06-42.jpg]] Но так бывает сравнительно редко. <br>Впрочем, похожая ситуация уже встречалась вам — при изучении обыкновенных дробей. Например, дробь —   [[Image:08-06-43.jpg]] можно заменить целым числом 4, а <br>дробь —  [[Image:08-06-44.jpg]] целым числом 5. Однако дробь —  [[Image:08-06-45.jpg]] целым числом заменить не удается, хотя эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на число 8 — общий множитель числителя и знаменателя: [[Image:08-06-46.jpg]]<br>Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий множитель. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так долго обсуждали в этой главе.		получится х<sup>2</sup> + х + 1. <br>многочленов Р и Q. При этом используют запись [[Image:08-06-39.jpg]]<br> где Р — числитель, Q — знаменатель алгебраической дроби. <br> Примеры алгебраических дробей: [[Image:08-06-40.jpg]]<br>Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. Например, как мы уже установили ранее, [[Image:08-06-41.jpg]]<br>(многочлен 6x<sup>3</sup> - 24x<sup>2</sup> удалось разделить на 6x<sup>2</sup>, при этом в частном получается x - 4); мы также отмечали, что [[Image:08-06-42.jpg]] Но так бывает сравнительно редко. <br>Впрочем, похожая ситуация уже встречалась вам — при изучении обыкновенных дробей. Например, дробь —   [[Image:08-06-43.jpg]] можно заменить целым числом 4, а <br>дробь —  [[Image:08-06-44.jpg]] целым числом 5. Однако дробь —  [[Image:08-06-45.jpg]] целым числом заменить не удается, хотя эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на число 8 — общий множитель числителя и знаменателя: [[Image:08-06-46.jpg]]<br>Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий множитель. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так долго обсуждали в этой главе.

-	Пример. Сократить алгебраическую дробь: <br>а) <br>б) <br>~~a2+2ab+b2~~ <br>~~(а+b) (а-Ь)'~~ <br>в) <br>~~х2-.~~ <br>ху <br>~~х~хи~~ <br>~~Решение, а) Найдем общий множитель для одночленов~~ <br>~~12х3у и 8х2уЛ~~ так, как мы делали в § 20. Получим ~~4х2у4~~. Тогда <br>~~12У~~ = 4У • Зх; ~~8У - 4У • 2у.~~ <br>~~Значит,~~ <br>я,.* <br>~~12х"у~~ <br>~~4ж V~~ <br>л.~~<~~ <br>~~2у'~~ <br>Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби ~~со- <br>кратили~~ на общий множитель 4х2у. <br>Решение этого примера можно записать по-другому: <br>~~8х V 8 х2 ' у* ~ 2 'Х' у ~ 2у "~~ <br>б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и ~~знамена- <br>тель~~ на множители. Получим: ~~<br>a2+2ab+b2 _ (a+bf _ {а+Ь)(а+Ъ) а + Ъ <br>(а+Ь) (а~~-~~Ь) ~ (a+b) (a~~-~~b) ~ (a+b)(a-b) ~ а-Ъ~~ <br>(дробь сократили на общий множитель а + Ъ). <br>А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. ~~Види- <br>те~~, данное там обещание мы наконец-то смогли ~~вы- <br>полнить~~. <br>в) Имеем: ~~<br>х2~~-~~ху = х(х~~-~~у) х(х-у) = 1 <br>х*-хуг х(х3-уя) х(х-у)(х2+ху + у2) х2+ху+у2 '~~ <br>(сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя, ~~<br>~~т. е. на х (дг - у))~~, d~~ <br>Итак, для того чтобы сократить алгебраическую ~~<br>~~к дробь, нужно прежде всего разложить на ~~множите- <br>^ ли~~ ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в <br>Щ этом новом деле (сокращении алгебраических ~~дро- <br>f бей~~) в основном зависит от того, как вы усвоили ~~<br>~~материал предыдущих параграфов этой главы. <br><br>	+	Пример. Сократить алгебраическую дробь:
		+
		+	[[Image:08-06-47.jpg]]<br><br>Решение, а) Найдем общий множитель для одночленов <br>12х<sup>3</sup>у<sup>4</sup> и 8х<sup>2</sup>у<sup>5</sup> так, как мы делали в § 20. Получим 4х<sup>2</sup>у<sup>4</sup>. Тогда 12x<sup>3</sup>y<sup>4</sup> = 4x<sup>2</sup>y<sup>4</sup> • Зх; 8x<sup>2</sup>y<sup>5</sup> = 4x<sup>2</sup>y<sup>4</sup> • 2у. <br>Значит,
		+
		+	[[Image:08-06-48.jpg]]<br>Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби сократили на общий множитель 4х<sup>2</sup>у<sup>4</sup>. <br>Решение этого примера можно записать по-другому:
		+
		+	[[Image:08-06-49.jpg]]<br><br>б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знаменатель на множители. Получим:
		+
		+	[[Image:08-06-50.jpg]]<br>(дробь сократили на общий множитель а + b). <br>А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. Видите, данное там обещание мы наконец-то смогли выполнить. <br>в) Имеем:
		+
		+	[[Image:08-06-51.jpg]]<br>(сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя, т. е. на х (x - у))<br>Итак, для того чтобы сократить алгебраическую к дробь, нужно прежде всего разложить на множители ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в <br>этом новом деле (сокращении алгебраических дробей) в основном зависит от того, как вы усвоили материал предыдущих параграфов этой главы. <br><br>

	<br>		<br>

User16 в 16:23, 8 июня 2010

2010-06-08T16:23:46Z

← Предыдущая		Версия 16:23, 8 июня 2010
Строка 23:		Строка 23:
	Что же касается операции деления многочлена на многочлен, то мы о ней фактически ничего не говорили. Единственное, что мы можем сейчас сказать: один многочлен можно разделить на другой, если этот другой многочлен является одним из множителей в разложении первого многочлена на множители.		Что же касается операции деления многочлена на многочлен, то мы о ней фактически ничего не говорили. Единственное, что мы можем сейчас сказать: один многочлен можно разделить на другой, если этот другой многочлен является одним из множителей в разложении первого многочлена на множители.

-	Например, х<sup>3</sup> - 1 = (х - 1) (х<sup>2</sup> + х + 1). Значит, х<sup>3</sup> - 1 можно разделить на х<sup>2</sup> + х + 1, получится х - 1; х<sup>3</sup> - 1 можно разделить на х - 1, получится х<sup>2</sup> + х + 1. ~~<br>~~<br>многочленов Р и Q. При этом используют запись [[Image:08-06-39.jpg]]<br> где Р — числитель, Q — знаменатель алгебраической дроби. <br> Примеры алгебраических дробей: [[Image:08-06-40.jpg]]<br>Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. Например, как мы уже установили ранее, [[Image:08-06-41.jpg]]<br>(многочлен 6x<sup>3</sup> - 24x<sup>2</sup> удалось разделить на 6x<sup>2</sup>, при этом в частном получается x - 4); мы также отмечали, что [[Image:08-06-42.jpg]] Но так бывает сравнительно редко. <br>Впрочем, похожая ситуация уже встречалась ~~<br>~~вам — при изучении обыкновенных дробей. ~~Напри- <br>* 24 <br>мер~~, дробь — можно заменить целым числом 4, а <br>* 40 г « ~~32 <br>дробь —~~ целым числом 5. Однако дробь — це- ~~<br>о Z4 <br>лым~~ числом заменить не удается, хотя эту дробь ~~<br>~~можно сократить, разделив числитель и знаменатель ~~<br>о « - 32 4 <br>~~на число 8 — общий множитель числителя и знаменателя: -~~zj = т« ~~<br>Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив ~~<br>~~одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий ~~мно- <br>житель~~. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель ~~<br>~~дроби на множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так ~~<br>~~долго обсуждали в этой главе. ~~<br>~~Пример. Сократить алгебраическую дробь: <br>а) <br>б) <br>a2+2ab+b2 <br>(а+b) (а-Ь)' <br>в) <br>х2-. <br>ху <br>х~хи <br>Решение, а) Найдем общий множитель для одночленов <br>12х3у и 8х2уЛ так, как мы делали в § 20. Получим 4х2у4. Тогда <br>12У = 4У • Зх; 8У - 4У • 2у. <br>Значит, <br>я,.* <br>12х"у <br>4ж V <br>л.< <br>2у' <br>Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби со- <br>кратили на общий множитель 4х2у. <br>Решение этого примера можно записать по-другому: <br>8х V 8 х2 ' у* ~ 2 'Х' у ~ 2у " <br>б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знамена- <br>тель на множители. Получим: <br>a2+2ab+b2 _ (a+bf _ {а+Ь)(а+Ъ) а + Ъ <br>(а+Ь) (а-Ь) ~ (a+b) (a-b) ~ (a+b)(a-b) ~ а-Ъ <br>(дробь сократили на общий множитель а + Ъ). <br>А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. Види- <br>те, данное там обещание мы наконец-то смогли вы- <br>полнить. <br>в) Имеем: <br>х2-ху = х(х-у) х(х-у) = 1 <br>х*-хуг х(х3-уя) х(х-у)(х2+ху + у2) х2+ху+у2 ' <br>(сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя, <br>т. е. на х (дг - у)), d <br>Итак, для того чтобы сократить алгебраическую <br>к дробь, нужно прежде всего разложить на множите- <br>^ ли ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в <br>Щ этом новом деле (сокращении алгебраических дро- <br>f бей) в основном зависит от того, как вы усвоили <br>материал предыдущих параграфов этой главы. <br><br>	+	Например, х<sup>3</sup> - 1 = (х - 1) (х<sup>2</sup> + х + 1). Значит, х<sup>3</sup> - 1 можно разделить на х<sup>2</sup> + х + 1, получится х - 1; х<sup>3</sup> - 1 можно разделить на х - 1,
		+
		+	получится х<sup>2</sup> + х + 1. <br>многочленов Р и Q. При этом используют запись [[Image:08-06-39.jpg]]<br> где Р — числитель, Q — знаменатель алгебраической дроби. <br> Примеры алгебраических дробей: [[Image:08-06-40.jpg]]<br>Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. Например, как мы уже установили ранее, [[Image:08-06-41.jpg]]<br>(многочлен 6x<sup>3</sup> - 24x<sup>2</sup> удалось разделить на 6x<sup>2</sup>, при этом в частном получается x - 4); мы также отмечали, что [[Image:08-06-42.jpg]] Но так бывает сравнительно редко. <br>Впрочем, похожая ситуация уже встречалась вам — при изучении обыкновенных дробей. Например, дробь —   [[Image:08-06-43.jpg]] можно заменить целым числом 4, а <br>дробь —  [[Image:08-06-44.jpg]] целым числом 5. Однако дробь —  [[Image:08-06-45.jpg]] целым числом заменить не удается, хотя эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на число 8 — общий множитель числителя и знаменателя: [[Image:08-06-46.jpg]]<br>Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий множитель. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так долго обсуждали в этой главе.
		+
		+	Пример. Сократить алгебраическую дробь: <br>а) <br>б) <br>a2+2ab+b2 <br>(а+b) (а-Ь)' <br>в) <br>х2-. <br>ху <br>х~хи <br>Решение, а) Найдем общий множитель для одночленов <br>12х3у и 8х2уЛ так, как мы делали в § 20. Получим 4х2у4. Тогда <br>12У = 4У • Зх; 8У - 4У • 2у. <br>Значит, <br>я,.* <br>12х"у <br>4ж V <br>л.< <br>2у' <br>Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби со- <br>кратили на общий множитель 4х2у. <br>Решение этого примера можно записать по-другому: <br>8х V 8 х2 ' у* ~ 2 'Х' у ~ 2у " <br>б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знамена- <br>тель на множители. Получим: <br>a2+2ab+b2 _ (a+bf _ {а+Ь)(а+Ъ) а + Ъ <br>(а+Ь) (а-Ь) ~ (a+b) (a-b) ~ (a+b)(a-b) ~ а-Ъ <br>(дробь сократили на общий множитель а + Ъ). <br>А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. Види- <br>те, данное там обещание мы наконец-то смогли вы- <br>полнить. <br>в) Имеем: <br>х2-ху = х(х-у) х(х-у) = 1 <br>х*-хуг х(х3-уя) х(х-у)(х2+ху + у2) х2+ху+у2 ' <br>(сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя, <br>т. е. на х (дг - у)), d <br>Итак, для того чтобы сократить алгебраическую <br>к дробь, нужно прежде всего разложить на множите- <br>^ ли ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в <br>Щ этом новом деле (сокращении алгебраических дро- <br>f бей) в основном зависит от того, как вы усвоили <br>материал предыдущих параграфов этой главы. <br><br>

	<br>		<br>

User16 в 16:17, 8 июня 2010

2010-06-08T16:17:48Z

← Предыдущая		Версия 16:17, 8 июня 2010
Строка 5:		Строка 5:
	<br>		<br>

		+	<br>

-		+	'''                                                      СОКРАЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ  ДРОБЕЙ '''
-	'''                                                      СОКРАЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ  ДРОБЕЙ '''	+

	<br>Новое понятие в математике редко возникает «из ничего», «на пустом месте». Оно появляется тогда, когда в нем ощущается объективная необходимость. Именно так появились в математике отрицательные числа, так появились обыкновенные и десятичные дроби. <br>Предпосылки для введения нового понятия «алгебраическая дробь» у нас имеются. Давайте вернемcя к § 12. Обсуждая там деление одночлена на  одночлен, мы рассмотрели ряд примеров. Выделим  два из них.		<br>Новое понятие в математике редко возникает «из ничего», «на пустом месте». Оно появляется тогда, когда в нем ощущается объективная необходимость. Именно так появились в математике отрицательные числа, так появились обыкновенные и десятичные дроби. <br>Предпосылки для введения нового понятия «алгебраическая дробь» у нас имеются. Давайте вернемcя к § 12. Обсуждая там деление одночлена на  одночлен, мы рассмотрели ряд примеров. Выделим  два из них.
Строка 13:		Строка 13:
	1. Разделить одночлен 36а<sup>3</sup>Ь<sup>5</sup> на одночлен 4ab<sup>2</sup> (см. пример 1в) из §12). <br>Решали мы его так. Вместо записи 36а<sup>3</sup>Ь<sup>5</sup>: 4аЬ<sup>2</sup> использовали <br>черту дроби:		1. Разделить одночлен 36а<sup>3</sup>Ь<sup>5</sup> на одночлен 4ab<sup>2</sup> (см. пример 1в) из §12). <br>Решали мы его так. Вместо записи 36а<sup>3</sup>Ь<sup>5</sup>: 4аЬ<sup>2</sup> использовали <br>черту дроби:

-	[[Image:08-06-32.jpg]]<br> Это позволило вместо записей 36 : 4, а<sup>3</sup> : а, b<sup>5</sup> : b<sup>2</sup> также использовать черту дроби, что сделало решение примера более наглядным:	+	[[Image:08-06-32.jpg]]<br> Это позволило вместо записей 36 : 4, а<sup>3</sup> : а, b<sup>5</sup> : b<sup>2</sup> также использовать черту дроби, что сделало решение примера более наглядным:

-	[[Image:08-06-33.jpg]]	+	[[Image:08-06-33.jpg]]

	2. Разделить одночлен 4x<sup>3</sup> на одночлен 2ху (см. пример 1 д) из § 12). Действуя по тому же образцу, мы получили:		2. Разделить одночлен 4x<sup>3</sup> на одночлен 2ху (см. пример 1 д) из § 12). Действуя по тому же образцу, мы получили:

-	[[Image:08-06-34.jpg]]<br><br>В § 12 мы отметили, что одночлен 4x<sup>3</sup> не удалось разделить на одночлен 2ху так, чтобы получился одночлен. Но ведь математические модели реальных ситуаций могут содержать операцию деления любых одночленов, не обязательно таких, что один делится на другой. Предвидя это, математики ввели новое понятие — понятие алгебраической дроби. В частности, алгебраическая дробь. [[Image:08-06-35.jpg]] Теперь вернемся к § 18. Обсуждая там операцию деления многочлена на одночлен, мы отметили, что она не всегда выполнима. Так, в примере 2 из § 18 речь шла о делении двучлена бх<sup>3</sup> - 24x<sup>2</sup> на одночлен 6х<sup>2</sup>. Эта операция оказалась выполнимой и в результате мы получили двучлен х - 4. Значит, [[Image:08-06-36.jpg]]~~<br><br>~~Иными словами, алгебраическое выражение «— удалось ~~<br>6х~~ <br>заменить более простым выражением — многочленом х - 4. <br>В то же время в примере 3 из § 18 не удалось разделить ~~много-~~ <br>~~член 8о3~~ + ~~Ьа2Ъ~~ - Ъ на ~~2а2~~, т. е. выражение ~~s ¦~~ не удалось ~~<br>2а <br>~~заменить более простым выражением, пришлось так и оставить ~~<br>~~его в виде алгебраической дроби. ~~<br>~~Что же касается операции деления многочлена на многочлен, ~~<br>~~то мы о ней фактически ничего не говорили. Единственное, что ~~<br>~~мы можем сейчас сказать: один многочлен можно разделить на ~~<br>~~другой, если этот другой многочлен является одним из ~~множите- <br>лей~~ в разложении первого многочлена на множители. <br>Например, х3 - 1 = (х - 1) (х2 + х + 1). Значит, х3 - 1 можно <br>разделить на х2 + х + 1, получится х - 1; х3 - 1 можно разделить <br>на х - 1, получится х2 + х + 1. <br><br>многочленов Р и Q. При этом используют запись <br>q , где Р — числитель, Q — знаменатель алгебра- <br>ической дроби. <br>алгебраическая Примеры алгебраических дробей: <br>дробь <br>2х2 8a3+6a2b-b х+у <br>2а* <br>х~у' <br>Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. <br>Например, как мы уже установили ранее, <br>6s3-24s2 <br>б2 <br>х-4 <br>(многочлен бдг3 - 24дг2 удалось разделить на бдг2, при этом в част- <br>ном получается дг - 4); мы также отмечали, что <br>Х2+Х+1 <br>-х-1. <br>Но так бывает сравнительно редко. <br>Впрочем, похожая ситуация уже встречалась <br>вам — при изучении обыкновенных дробей. Напри- <br> 24 <br>мер, дробь — можно заменить целым числом 4, а <br>* 40 г « 32 <br>дробь — целым числом 5. Однако дробь — це- <br>о Z4 <br>лым числом заменить не удается, хотя эту дробь <br>можно сократить, разделив числитель и знаменатель <br>о « - 32 4 <br>на число 8 — общий множитель числителя и знаменателя: -zj = т« <br>Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив <br>одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий мно- <br>житель. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель <br>дроби на множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так <br>долго обсуждали в этой главе. <br>Пример. Сократить алгебраическую дробь: <br>а) <br>б) <br>a2+2ab+b2 <br>(а+b) (а-Ь)' <br>в) <br>х2-. <br>ху <br>х~хи <br>Решение, а) Найдем общий множитель для одночленов <br>12х3у и 8х2уЛ так, как мы делали в § 20. Получим 4х2у4. Тогда <br>12У = 4У • Зх; 8У - 4У • 2у. <br>Значит, <br>я,.* <br>12х"у <br>4ж V <br>л.< <br>2у' <br>Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби со- <br>кратили на общий множитель 4х2у. <br>Решение этого примера можно записать по-другому: <br>8х V 8 х2 ' у* ~ 2 'Х' у ~ 2у " <br>б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знамена- <br>тель на множители. Получим: <br>a2+2ab+b2 _ (a+bf _ {а+Ь)(а+Ъ) а + Ъ <br>(а+Ь) (а-Ь) ~ (a+b) (a-b) ~ (a+b)(a-b) ~ а-Ъ <br>(дробь сократили на общий множитель а + Ъ). <br>А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. Види- <br>те, данное там обещание мы наконец-то смогли вы- <br>полнить. <br>в) Имеем: <br>х2-ху = х(х-у) х(х-у) = 1 <br>х*-хуг х(х3-уя) х(х-у)(х2+ху + у2) х2+ху+у2 ' <br>(сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя, <br>т. е. на х (дг - у)), d <br>Итак, для того чтобы сократить алгебраическую <br>к дробь, нужно прежде всего разложить на множите- <br>^ ли ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в <br>Щ этом новом деле (сокращении алгебраических дро- <br>f бей) в основном зависит от того, как вы усвоили <br>материал предыдущих параграфов этой главы. <br><br>	+	[[Image:08-06-34.jpg]]<br><br>В § 12 мы отметили, что одночлен 4x<sup>3</sup> не удалось разделить на одночлен 2ху так, чтобы получился одночлен. Но ведь математические модели реальных ситуаций могут содержать операцию деления любых одночленов, не обязательно таких, что один делится на другой. Предвидя это, математики ввели новое понятие — понятие алгебраической дроби. В частности, алгебраическая дробь. [[Image:08-06-35.jpg]] Теперь вернемся к § 18. Обсуждая там операцию деления многочлена на одночлен, мы отметили, что она не всегда выполнима. Так, в примере 2 из § 18 речь шла о делении двучлена бх<sup>3</sup> - 24x<sup>2</sup> на одночлен 6х<sup>2</sup>. Эта операция оказалась выполнимой и в результате мы получили двучлен х - 4. Значит, [[Image:08-06-36.jpg]]Иными словами, алгебраическое выражение [[Image:08-06-37.jpg]] удалось <br>заменить более простым выражением — многочленом х - 4. <br>В то же время в примере 3 из § 18 не удалось разделить многочлен 8a<sup>3</sup> + Ьа<sup>2b</sup> - b на 2а<sup>2</sup>, т. е. выражение [[Image:08-06-38.jpg]] не удалось заменить более простым выражением, пришлось так и оставить его в виде алгебраической дроби.
		+
		+	Что же касается операции деления многочлена на многочлен, то мы о ней фактически ничего не говорили. Единственное, что мы можем сейчас сказать: один многочлен можно разделить на другой, если этот другой многочлен является одним из множителей в разложении первого многочлена на множители.

		+	Например, х<sup>3</sup> - 1 = (х - 1) (х<sup>2</sup> + х + 1). Значит, х<sup>3</sup> - 1 можно разделить на х<sup>2</sup> + х + 1, получится х - 1; х<sup>3</sup> - 1 можно разделить на х - 1, получится х<sup>2</sup> + х + 1. <br><br>многочленов Р и Q. При этом используют запись [[Image:08-06-39.jpg]]<br> где Р — числитель, Q — знаменатель алгебраической дроби. <br> Примеры алгебраических дробей: [[Image:08-06-40.jpg]]<br>Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. Например, как мы уже установили ранее, [[Image:08-06-41.jpg]]<br>(многочлен 6x<sup>3</sup> - 24x<sup>2</sup> удалось разделить на 6x<sup>2</sup>, при этом в частном получается x - 4); мы также отмечали, что [[Image:08-06-42.jpg]] Но так бывает сравнительно редко. <br>Впрочем, похожая ситуация уже встречалась <br>вам — при изучении обыкновенных дробей. Напри- <br>* 24 <br>мер, дробь — можно заменить целым числом 4, а <br>* 40 г « 32 <br>дробь — целым числом 5. Однако дробь — це- <br>о Z4 <br>лым числом заменить не удается, хотя эту дробь <br>можно сократить, разделив числитель и знаменатель <br>о « - 32 4 <br>на число 8 — общий множитель числителя и знаменателя: -zj = т« <br>Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив <br>одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий мно- <br>житель. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель <br>дроби на множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так <br>долго обсуждали в этой главе. <br>Пример. Сократить алгебраическую дробь: <br>а) <br>б) <br>a2+2ab+b2 <br>(а+b) (а-Ь)' <br>в) <br>х2-. <br>ху <br>х~хи <br>Решение, а) Найдем общий множитель для одночленов <br>12х3у и 8х2уЛ так, как мы делали в § 20. Получим 4х2у4. Тогда <br>12У = 4У • Зх; 8У - 4У • 2у. <br>Значит, <br>я,.* <br>12х"у <br>4ж V <br>л.< <br>2у' <br>Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби со- <br>кратили на общий множитель 4х2у. <br>Решение этого примера можно записать по-другому: <br>8х V 8 х2 ' у* ~ 2 'Х' у ~ 2у " <br>б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знамена- <br>тель на множители. Получим: <br>a2+2ab+b2 _ (a+bf _ {а+Ь)(а+Ъ) а + Ъ <br>(а+Ь) (а-Ь) ~ (a+b) (a-b) ~ (a+b)(a-b) ~ а-Ъ <br>(дробь сократили на общий множитель а + Ъ). <br>А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. Види- <br>те, данное там обещание мы наконец-то смогли вы- <br>полнить. <br>в) Имеем: <br>х2-ху = х(х-у) х(х-у) = 1 <br>х*-хуг х(х3-уя) х(х-у)(х2+ху + у2) х2+ху+у2 ' <br>(сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя, <br>т. е. на х (дг - у)), d <br>Итак, для того чтобы сократить алгебраическую <br>к дробь, нужно прежде всего разложить на множите- <br>^ ли ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в <br>Щ этом новом деле (сокращении алгебраических дро- <br>f бей) в основном зависит от того, как вы усвоили <br>материал предыдущих параграфов этой главы. <br><br>

		+	<br>

	<sub>[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]] библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 7 класса [[Математика\|скачать]]</sub>		<sub>[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]] библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 7 класса [[Математика\|скачать]]</sub>

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-08T15:22:29Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Сокращение алгебраических дробей</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]>>Математика: Сокращение алгебраических дробей'''

 

'''                                                      СОКРАЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ  ДРОБЕЙ '''

 Новое понятие в математике редко возникает «из ничего», «на пустом месте». Оно появляется тогда, когда в нем ощущается объективная необходимость. Именно так появились в математике отрицательные числа, так появились обыкновенные и десятичные дроби. Предпосылки для введения нового понятия «алгебраическая дробь» у нас имеются. Давайте вернемcя к § 12. Обсуждая там деление одночлена на  одночлен, мы рассмотрели ряд примеров. Выделим  два из них.

1. Разделить одночлен 36а3Ь5 на одночлен 4ab2 (см. пример 1в) из §12). Решали мы его так. Вместо записи 36а3Ь5: 4аЬ2 использовали черту дроби:

[[Image:08-06-32.jpg]] Это позволило вместо записей 36 : 4, а3 : а, b5 : b2 также использовать черту дроби, что сделало решение примера более наглядным:

[[Image:08-06-33.jpg]]

2. Разделить одночлен 4x3 на одночлен 2ху (см. пример 1 д) из § 12). Действуя по тому же образцу, мы получили:

[[Image:08-06-34.jpg]] В § 12 мы отметили, что одночлен 4x3 не удалось разделить на одночлен 2ху так, чтобы получился одночлен. Но ведь математические модели реальных ситуаций могут содержать операцию деления любых одночленов, не обязательно таких, что один делится на другой. Предвидя это, математики ввели новое понятие — понятие алгебраической дроби. В частности, алгебраическая дробь. [[Image:08-06-35.jpg]] Теперь вернемся к § 18. Обсуждая там операцию деления многочлена на одночлен, мы отметили, что она не всегда выполнима. Так, в примере 2 из § 18 речь шла о делении двучлена бх3 - 24x2 на одночлен 6х2. Эта операция оказалась выполнимой и в результате мы получили двучлен х - 4. Значит, [[Image:08-06-36.jpg]] Иными словами, алгебраическое выражение «— удалось 6х заменить более простым выражением — многочленом х - 4. В то же время в примере 3 из § 18 не удалось разделить много- член 8о3 + Ьа2Ъ - Ъ на 2а2, т. е. выражение s ¦ не удалось 2а заменить более простым выражением, пришлось так и оставить его в виде алгебраической дроби. Что же касается операции деления многочлена на многочлен, то мы о ней фактически ничего не говорили. Единственное, что мы можем сейчас сказать: один многочлен можно разделить на другой, если этот другой многочлен является одним из множите- лей в разложении первого многочлена на множители. Например, х3 - 1 = (х - 1) (х2 + х + 1). Значит, х3 - 1 можно разделить на х2 + х + 1, получится х - 1; х3 - 1 можно разделить на х - 1, получится х2 + х + 1. многочленов Р и Q. При этом используют запись q , где Р — числитель, Q — знаменатель алгебра- ической дроби. алгебраическая Примеры алгебраических дробей: дробь 2х2 8a3+6a2b-b х+у 2а* х~у' Иногда алгебраическую дробь удается заменить многочленом. Например, как мы уже установили ранее, 6s3-24s2 б*2 х-4 (многочлен бдг3 - 24дг2 удалось разделить на бдг2, при этом в част- ном получается дг - 4); мы также отмечали, что Х2+Х+1 -х-1. Но так бывает сравнительно редко. Впрочем, похожая ситуация уже встречалась вам — при изучении обыкновенных дробей. Напри- * 24 мер, дробь — можно заменить целым числом 4, а * 40 г « 32 дробь — целым числом 5. Однако дробь — це- о Z4 лым числом заменить не удается, хотя эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель о « - 32 4 на число 8 — общий множитель числителя и знаменателя: -zj = т« Точно так же можно сокращать алгебраические дроби, разделив одновременно числитель и знаменатель дроби на их общий мно- житель. А для этого надо разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители. Здесь нам и понадобится все то, что мы так долго обсуждали в этой главе. Пример. Сократить алгебраическую дробь: а) б) a2+2ab+b2 (а+b) (а-Ь)' в) х2-. ху х*~хи Решение, а) Найдем общий множитель для одночленов 12х3у* и 8х2уЛ так, как мы делали в § 20. Получим 4х2у4. Тогда 12*У = 4*У • Зх; 8*У - 4*У • 2у. Значит, я,.* 12х"у 4ж V л.< 2у' Числитель и знаменатель заданной алгебраической дроби со- кратили на общий множитель 4х2у*. Решение этого примера можно записать по-другому: 8х V 8 * х2 ' у* ~ 2 'Х' у ~ 2у " б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знамена- тель на множители. Получим: a2+2ab+b2 _ (a+bf _ {а+Ь)(а+Ъ) а + Ъ (а+Ь) (а-Ь) ~ (a+b) (a-b) ~ (a+b)(a-b) ~ а-Ъ (дробь сократили на общий множитель а + Ъ). А теперь вернитесь к замечанию 2 из § 1. Види- те, данное там обещание мы наконец-то смогли вы- полнить. в) Имеем: х2-ху = х(х-у) х(х-у) = 1 х*-хуг х(х3-уя) х(х-у)(х2+ху + у2) х2+ху+у2 ' (сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя, т. е. на х (дг - у)), d Итак, для того чтобы сократить алгебраическую к дробь, нужно прежде всего разложить на множите- ^ ли ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в Щ этом новом деле (сокращении алгебраических дро- f бей) в основном зависит от того, как вы усвоили материал предыдущих параграфов этой главы. 

[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 7 класса [[Математика|скачать]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].