Умножение многочлена на одночлен - История изменений

User16 в 18:49, 14 июня 2012

2012-06-14T18:49:46Z

← Предыдущая		Версия 18:49, 14 июня 2012
Строка 83:		Строка 83:
	'''4 (х + 6) -6x = 16. '''		'''4 (х + 6) -6x = 16. '''

-	<u>Второй этап.</u> [[://xvatit.com/busines/jobs-career/\|'''Работа''']] с составленной моделью. Для решения уравнения придется, во-первых, '''[[Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень\|умножить]]''' одночлен 4 на двучлен х + 6, получим 4x: + 24. Во-вторых, придется из двучлена 4x + 24 вычесть одночлен 6x:	+	<u>Второй этап.</u> [http://xvatit.com/busines/jobs-career/ '''Работа'''] с составленной моделью. Для решения уравнения придется, во-первых, '''[[Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень\|умножить]]''' одночлен 4 на двучлен х + 6, получим 4x: + 24. Во-вторых, придется из двучлена 4x + 24 вычесть одночлен 6x:

	'''4x + 24 - 6x = 24 - 2x'''<br>После этих преобразований уравнение принимает более простой вид:		'''4x + 24 - 6x = 24 - 2x'''<br>После этих преобразований уравнение принимает более простой вид:

User16 в 18:48, 14 июня 2012

2012-06-14T18:48:51Z

Внесённые изменения

User16 в 07:07, 8 июня 2010

2010-06-08T07:07:03Z

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-08T06:55:06Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Умножение многочлена, одночлен</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]>>Математика: Умножение многочлена на одночлен'''

                                                       '''УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН '''

 Вы, наверное, заметили, что до сих пор глава 4 строилась по тому же плану, что и глава 3. В обеих главах сначала вводились основные понятия: в главе 3 это были одночлен, стандартный вид одночлена, коэффициент одночлена; в главе 4 — многочлен, стандартный вид многочлена. Затем в главе 3 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов; аналогично, в главе 4 — сложение и вычитание многочленов.

Что было в главе 3 дальше? Дальше мы говорили об умножении одночленов. Значит, по аналогии, о чем нам следует поговорить теперь? Об умножении многочленов. Но здесь придется действовать не спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение многочлена на одночлен (или одночлена на многочлен, это все равно), а потом (в следующем параграфе) — умножение любых многочленов. Когда вы в младших классах учились перемножать числа, вы ведь тоже действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное число на однозначное и только потом умножали многозначное число на многозначное.

Приступим к делу. При умножении многочлена на одночлен используется распределительный закон умножения:'''(a + b)с =ас + bс. '''

'''Пример 1.''' Выполнить умножение '''2а2 - Заb) • (-5а). '''

Решение. Введем новые переменные: '''х = 2а2, у= Заb, z = - 5а. ''' Тогда данное произведение перепишется в виде (х + у)z, что по распределительному закону равно хг + уz. Теперь вернемся к старым переменным:

'''хz + уz - 2а2 • (- 5а) + (- Заb) • (- 5а). ''' Нам остается лишь найти произведения одночленов. Получим:

'''- 10a3 + 15a2b'''

Приведем краткую запись решения (так мы и будем записывать в дальнейшем, не вводя новых переменных):

'''(2а2 - Заb) • (- 5а) = 2а2 • (- 5а) + (- Заb) • (- 5а) =  -10а3+15а2b.'''

Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило умножения многочлена на одночлен.

[[Image:08-06-12.jpg]] Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен:

'''- 5а(2а2 - Заb) = (- 5а) • 2а2 + (- 5а) • (- Заb) = 10а3 + 15а2b'''

(мы взяли пример 1, но поменяли местами множители).

'''Пример 2.''' Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если:

a) p1(x, y) - 2х2у + 4а:;

б) р2(х, у) = х2 + Зу2.

Р е ш е н и е.

а) Заметим, что 2х2у = 2х • ху, а 4а: = 2х • 2. Значит,

2x2y + 4х = xу • 2х + 2 • 2x = (ху + 2) • 2x

б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена много члена p1(х, у) = 2х2у + 4а: выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х. Здесь же такой общей части нет. Значит, многочлен р2(х, у) = х2 + Зу2 нельзя представить в виде произведения многочлена и одночлена.

На самом деле и многочлен р2(х, у) можно представить в виде произведения, например, так:

'''x2 + 3y2 = (2x2 + 6y2) • 0,5''' или так:

'''x2 + 3y2 = (x2 + 3y2) • 1''' — произведение числа на многочлен, но это искусственное преобразование и без большой необходимости не используется.

Кстати, требование представить заданный многочлен в виде произведения одночлена и многочлена встречается в математике довольно часто, поэтому указанной процедуре присвоено специальное название: вынесение общего множителя за скобки.

Задание вынести общий множитель за скобки может быть корректным (как в примере 2а), а может быть и не совсем корректным (как в примере 26). В следующей главе мы специально рассмотрим этот вопрос.

В заключение параграфа решим задачи, которые покажут, как на практике для работы с математическими моделями реальных ситуаций приходится и составлять алгебраическую сумму многочленов, и умножать многочлен на одночлен. Так что эти операции мы изучаем не зря.

'''Пример 3.''' Пункты А, В и С расположены на шоссе так, как показано на рисунке 3. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?

[[Image:08-06-13.jpg]] Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть х км/ч — скорость пешехода, тогда (x + 6) км/ч — скорость велосипедиста.

Расстояние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается формулой 4 (x + 6) км; иными словами, АС = 4 (х + 6).

Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6x км; иными словами, ВС = 6x

А теперь обратите внимание на рисунок 3: АС - ВС = АВ, т. е. АС - ВС = 16. Это — основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС = 4 (x + 6), ВС = 6x:; следовательно,

'''4 (х + 6) -6x = 16. '''

Второй этап. Работа с составленной моделью. Для решения уравнения придется, во-первых, умножить одночлен 4 на двучлен х + 6, получим 4x: + 24. Во-вторых, придется из двучлена 4x + 24 вычесть одночлен 6x:

'''4x + 24 - 6x = 24 - 2x''' После этих преобразований уравнение принимает более простой вид:

'''24-2x = 16. ''' Далее имеем: '''-2x = 16-24; -2x = -8; x = 4. ''' 

Математика для 7 класса, учебники и книги по математике [[Математика|скачать]], библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] 

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 07:07, 8 июня 2010
Строка 3:		Строка 3:
	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс\|Математика 7 класс]]>>Математика: Умножение многочлена на одночлен'''		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 7 класс\|Математика 7 класс]]>>Математика: Умножение многочлена на одночлен'''

		+	<br>

		+	<br>

-		+	'''УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН '''
-		+
-	'''УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН '''	+

	<br>Вы, наверное, заметили, что до сих пор глава 4 строилась по тому же плану, что и глава 3. В обеих главах сначала вводились основные понятия: в главе 3 это были одночлен, стандартный вид одночлена, коэффициент одночлена; в главе 4 — многочлен, стандартный вид многочлена. Затем в главе 3 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов; аналогично, в главе 4 — сложение и вычитание многочленов.		<br>Вы, наверное, заметили, что до сих пор глава 4 строилась по тому же плану, что и глава 3. В обеих главах сначала вводились основные понятия: в главе 3 это были одночлен, стандартный вид одночлена, коэффициент одночлена; в главе 4 — многочлен, стандартный вид многочлена. Затем в главе 3 мы рассматривали сложение и вычитание одночленов; аналогично, в главе 4 — сложение и вычитание многочленов.
Строка 13:		Строка 13:
	Что было в главе 3 дальше? Дальше мы говорили об умножении одночленов. Значит, по аналогии, о чем нам следует поговорить теперь? Об умножении многочленов. Но здесь придется действовать не спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение многочлена на одночлен (или одночлена на многочлен, это все равно), а потом (в следующем параграфе) — умножение любых многочленов. Когда вы в младших классах учились перемножать числа, вы ведь тоже действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное число на однозначное и только потом умножали многозначное число на многозначное.		Что было в главе 3 дальше? Дальше мы говорили об умножении одночленов. Значит, по аналогии, о чем нам следует поговорить теперь? Об умножении многочленов. Но здесь придется действовать не спеша: сначала (в этом параграфе) рассмотрим умножение многочлена на одночлен (или одночлена на многочлен, это все равно), а потом (в следующем параграфе) — умножение любых многочленов. Когда вы в младших классах учились перемножать числа, вы ведь тоже действовали постепенно: сначала учились умножать многозначное число на однозначное и только потом умножали многозначное число на многозначное.

-	Приступим к делу. При умножении многочлена на одночлен используется распределительный закон умножения:'''(a + b)с =ас + bс. '''	+	Приступим к делу. При умножении многочлена на одночлен используется распределительный закон умножения:'''(a + b)с =ас + bс. '''

-	'''Пример 1.''' Выполнить умножение '''2а<sup>2</sup> - Заb) • (-5а). '''	+	'''Пример 1.''' Выполнить умножение '''2а<sup>2</sup> - Заb) • (-5а). '''

	Решение. Введем новые переменные: <br>'''х = 2а<sup>2</sup>, у= Заb, z = - 5а. '''<br>Тогда данное произведение перепишется в виде (х + у)z, что по распределительному закону равно хг + уz. Теперь вернемся к старым переменным:		Решение. Введем новые переменные: <br>'''х = 2а<sup>2</sup>, у= Заb, z = - 5а. '''<br>Тогда данное произведение перепишется в виде (х + у)z, что по распределительному закону равно хг + уz. Теперь вернемся к старым переменным:
Строка 21:		Строка 21:
	'''хz + уz - 2а<sup>2</sup> • (- 5а) + (- Заb) • (- 5а). '''<br>Нам остается лишь найти произведения одночленов. Получим:		'''хz + уz - 2а<sup>2</sup> • (- 5а) + (- Заb) • (- 5а). '''<br>Нам остается лишь найти произведения одночленов. Получим:

-	'''- 10a<sup>3</sup> + 15a<sup>2</sup>b'''	+	'''- 10a<sup>3</sup> + 15a<sup>2</sup>b'''

	Приведем краткую запись решения (так мы и будем записывать в дальнейшем, не вводя новых переменных):		Приведем краткую запись решения (так мы и будем записывать в дальнейшем, не вводя новых переменных):

-	'''(2а<sup>2</sup> - Заb) • (- 5а) = 2а<sup>2</sup> • (- 5а) + (- Заb) • (- 5а) =  -10а<sup>3</sup>+15а<sup>2</sup>b.'''	+	'''(2а<sup>2</sup> - Заb) • (- 5а) = 2а<sup>2</sup> • (- 5а) + (- Заb) • (- 5а) =  -10а<sup>3</sup>+15а<sup>2</sup>b.'''

	Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило умножения многочлена на одночлен.		Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило умножения многочлена на одночлен.
Строка 31:		Строка 31:
	[[Image:08-06-12.jpg]]<br><br>Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен:		[[Image:08-06-12.jpg]]<br><br>Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен:

-	'''- 5а(2а<sup>2</sup> - Заb) = (- 5а) • 2а<sup>2</sup> + (- 5а) • (- Заb) = 10а<sup>3</sup> + 15а<sup>2</sup>b'''	+	'''- 5а(2а<sup>2</sup> - Заb) = (- 5а) • 2а<sup>2</sup> + (- 5а) • (- Заb) = 10а<sup>3</sup> + 15а<sup>2</sup>b'''

	(мы взяли пример 1, но поменяли местами множители).		(мы взяли пример 1, но поменяли местами множители).
Строка 37:		Строка 37:
	'''Пример 2.''' Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если:		'''Пример 2.''' Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если:

-	a) p1(x, y) - 2х<sup>2</sup>у + 4а:;	+	a) p1(x, y) - 2х<sup>2</sup>у + 4а:;

	б) р<sup>2</sup>(х, у) = х<sup>2</sup> + Зу<sup>2</sup>.		б) р<sup>2</sup>(х, у) = х<sup>2</sup> + Зу<sup>2</sup>.
Строка 45:		Строка 45:
	а) Заметим, что 2х<sup>2</sup>у = 2х • ху, а 4а: = 2х • 2. Значит,		а) Заметим, что 2х<sup>2</sup>у = 2х • ху, а 4а: = 2х • 2. Значит,

-	2x<sup>2</sup>y + 4х = xу • 2х + 2 • 2x = (ху + 2) • 2x	+	2x<sup>2</sup>y + 4х = xу • 2х + 2 • 2x = (ху + 2) • 2x

-	б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена много члена p<sub>1</sub>(х, у) = 2х<sup>2</sup>у + 4а: выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х. Здесь же такой общей части нет. Значит, многочлен р<sub>2</sub>(х, у) = х<sup>2</sup> + Зу<sup>2</sup> нельзя представить в виде произведения многочлена и одночлена.	+	б) В примере а) нам удалось в составе каждого члена много члена p<sub>1</sub>(х, у) = 2х<sup>2</sup>у + 4а: выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х. Здесь же такой общей части нет. Значит, многочлен р<sub>2</sub>(х, у) = х<sup>2</sup> + Зу<sup>2</sup> нельзя представить в виде произведения многочлена и одночлена.

	На самом деле и многочлен р<sub>2</sub>(х, у) можно представить в виде произведения, например, так:		На самом деле и многочлен р<sub>2</sub>(х, у) можно представить в виде произведения, например, так:
Строка 59:		Строка 59:
	Задание вынести общий множитель за скобки может быть корректным (как в примере 2а), а может быть и не совсем корректным (как в примере 26). В <br>следующей главе мы специально рассмотрим этот вопрос.		Задание вынести общий множитель за скобки может быть корректным (как в примере 2а), а может быть и не совсем корректным (как в примере 26). В <br>следующей главе мы специально рассмотрим этот вопрос.

-	В заключение параграфа решим задачи, которые покажут, как на практике для работы с математическими моделями реальных ситуаций приходится и составлять алгебраическую сумму многочленов, и умножать многочлен на одночлен. Так что эти операции мы изучаем не зря.	+	В заключение параграфа решим задачи, которые покажут, как на практике для работы с математическими моделями реальных ситуаций приходится и составлять алгебраическую сумму многочленов, и умножать многочлен на одночлен. Так что эти операции мы изучаем не зря.

	'''Пример 3.''' Пункты А, В и С расположены на шоссе так, как показано на рисунке 3. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?		'''Пример 3.''' Пункты А, В и С расположены на шоссе так, как показано на рисунке 3. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?
Строка 69:		Строка 69:
	Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6x км; иными словами, ВС = 6x		Расстояние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 ч), следовательно, это расстояние выражается формулой 6x км; иными словами, ВС = 6x

-	А теперь обратите внимание на рисунок 3: АС - ВС = АВ, т. е. АС - ВС = 16. Это — основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС = 4 (x + 6), ВС = 6x:; следовательно,	+	А теперь обратите внимание на рисунок 3: АС - ВС = АВ, т. е. АС - ВС = 16. Это — основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС = 4 (x + 6), ВС = 6x:; следовательно,

-	'''4 (х + 6) -6x = 16. '''	+	'''4 (х + 6) -6x = 16. '''

-	<u>Второй этап.</u> Работа с составленной моделью. Для решения уравнения придется, во-первых, умножить одночлен 4 на двучлен х + 6, получим 4x: + 24. Во-вторых, придется из двучлена 4x + 24 вычесть одночлен 6x:	+	<u>Второй этап.</u> Работа с составленной моделью. Для решения уравнения придется, во-первых, умножить одночлен 4 на двучлен х + 6, получим 4x: + 24. Во-вторых, придется из двучлена 4x + 24 вычесть одночлен 6x:

	'''4x + 24 - 6x = 24 - 2x'''<br>После этих преобразований уравнение принимает более простой вид:		'''4x + 24 - 6x = 24 - 2x'''<br>После этих преобразований уравнение принимает более простой вид:

-	'''24-2x = 16. '''<br>Далее имеем: <br>'''-2x = 16-24; <br>-2x = -8; <br>x = 4. '''~~<br><br>~~	+	'''24-2x = 16. '''<br>Далее имеем: <br>'''-2x = 16-24; <br>-2x = -8; <br>x = 4. '''
-		+

		+	<u>Третий этап.</u> Ответ на вопрос задачи. <br>Спрашивается, чему равна собственная скорость лодки, т. е. чему равен х? Но ответ на этот вопрос уже получен: х = 8. <br>Ответ: собственная скорость лодки 8 км/ч. <br><br>

		+	<br>

		+	<br>

	<sub>Математика для 7 класса, учебники и книги по математике [[Математика\|скачать]], библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]] </sub>		<sub>Математика для 7 класса, учебники и книги по математике [[Математика\|скачать]], библиотека [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]] </sub>