Формулы корней квадратных уравнений - История изменений

Marisha в 11:47, 19 июня 2015

2015-06-19T11:47:21Z

User16 в 10:44, 19 июня 2015

2015-06-19T10:44:06Z

← Предыдущая		Версия 10:44, 19 июня 2015
Строка 1:		Строка 1:
-	Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Формулы корней квадратных уравнений. квадратное уравнение, корни, теореме, функции, формулам, коэффициент, числа, знаменатель, отрицательное число, уравнение</metakeywords>	+	<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Формулы корней квадратных уравнений. квадратное уравнение, корни, теореме, функции, формулам, коэффициент, числа, знаменатель, отрицательное число, уравнение</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс\|Математика 8 класс]]>>Математика:Формулы корней квадратных уравнений'''<br>		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс\|Математика 8 класс]]>>Математика:Формулы корней квадратных уравнений'''<br>

User16 в 10:43, 19 июня 2015

2015-06-19T10:43:21Z

← Предыдущая		Версия 10:43, 19 июня 2015
Строка 1:		Строка 1:
-	~~'''Полужирное начертание'''<metakeywords>~~Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Формулы корней квадратных уравнений. квадратное уравнение, корни, теореме, функции, формулам, коэффициент, числа, знаменатель, отрицательное число, уравнение</metakeywords>	+	Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Формулы корней квадратных уравнений. квадратное уравнение, корни, теореме, функции, формулам, коэффициент, числа, знаменатель, отрицательное число, уравнение</metakeywords>

	'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс\|Математика 8 класс]]>>Математика:Формулы корней квадратных уравнений'''<br>		'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика\|Математика]]>>[[Математика 8 класс\|Математика 8 класс]]>>Математика:Формулы корней квадратных уравнений'''<br>

User16 в 10:42, 19 июня 2015

2015-06-19T10:42:32Z

Внесённые изменения

User17 в 10:43, 8 октября 2012

2012-10-08T10:43:24Z

Внесённые изменения

User16 в 17:01, 13 июня 2010

2010-06-13T17:01:39Z

Внесённые изменения

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-13T16:21:38Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Формулы корней квадратных уравнений</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика:Формулы корней квадратных уравнений'''

 

'''                                           ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ '''

 Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0. Применим к квадратному трехчлену ах2 + bх + с те же преобразования, которые мы выполняли в § 13, когда доказывали теорему о том, что графиком функции у = ах2 + bх + с является парабола. Имеем

[[Image:13-06-15.jpg]] Обычно выражение b2 - 4ас обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах + bх + с).

Таким образом

[[Image:13-06-16.jpg]] Значит, квадратное уравнение ах2 + их + с = О можно переписать в виде

[[Image:13-06-17.jpg]] Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

[[Image:13-06-18.jpg]] Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

'''Пример 1.''' Решить уравнение 2x2 + 4х + 7 = 0. Решение. Здесь а = 2, b = 4, с = 7, D = b2-4ac = 42'''. '''4'''. '''2'''. '''7 = 16-56 = -40. Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

[[Image:13-06-18.jpg]] Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид

[[Image:13-06-19.jpg]]   — единственный корень уравнения.

'''''Замечание 1.''''' Помните ли вы, что х = - [[Image:13-06-20.jpg]] — абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции у = ах2 + их + с? Почему именно это значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения ах2 + их + с — 0? «Ларчик» открывается просто: если D — 0, то, как мы установили ранее,

[[Image:13-06-21.jpg]] Графиком же функции [[Image:13-06-22.jpg]] является парабола с вершиной в точке [[Image:13-06-23.jpg]] (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.

[[Image:13-06-24.jpg]]

 '''Пример 2.''' Решить уравнение 4x2 - 20x + 25 = 0. Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b2 - 4ас = (-20)2 - 4 • 4 • 25 = 400 - 400 = 0.

Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле

[[Image:13-06-25.jpg]] Ответ: 2,5. '''''Замечание 2.''''' Обратите внимание, что 4х2 - 20х +25 — полный квадрат: 4х2 - 20х + 25 = (2х - 5)2. Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х - 5)2 = 0, значит, 2х - 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, то

ах2 + bх + с = [[Image:13-06-26.jpg]] — это мы отметили ранее в замечании 1. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bх +  с = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам

[[Image:13-06-27.jpg]] 

'''Доказательство'''. Перепишем квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0 в виде (1)

[[Image:13-06-28.jpg]] Положим [[Image:13-06-29.jpg]] По условию, D > 0, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что

[[Image:13-06-30.jpg]] Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

[[Image:13-06-31.jpg]] ''''' Замечание 3.''''' В математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отноше- ние к различным пюдям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

'''Пример 3.''' Решить уравнение Зх2 + 8х - 11 = 0. Решение. Здесь а = 3, Ъ = 8, с = - 11, D = Ь2 - 4ас = 82 - 4 • 3 • (-11) = 64 + 132 = 196. Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам C) -b + JP -8 + ^196 -8 + 14 1 2а -8->/i96 -8-14 П 2а 2 Ответ: 1; -3 , • Фактически мы с вами выработали следующее правило: Правило решения уравнения ах2 + Ъх + с = 0 1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b2- 4ac. 2. Если D < О, то квадратное уравнение не имеет корней. 3. Если D = О, то квадратное уравнение име- ет один корень: __Ъ_ 4. Если D > О, то квадратное уравнение имеет два корня: х, = 2а -ь-л/д 2а Это правило универсально, оно применимо как к полным, так и к неполным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому правилу не решают, их удобнее решать так, как мы это делали в предыдущем параграфе. Пример 4. Решить уравнения: а) х2 + Зх - 5 = 0; б) - 9*2 + 6х - 1 = 0; в) 2х2-х + 3,5 = 0. Р е ш е н и е. а) Здесь а = 1, Ъ = 3, с = - 5, D = Ъ2 - 4ас = З2 - 4 • 1 • (- 5) = 9 + 20 = 29. Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по формулам C) -b+J5 -3+V29 1 2а 2 ' хо = -3-V29 2а 2 б) Как показывает опыт, удобнее иметь дело с квадратными уравнениями, у которых старший коэффициент положителен. Поэтому сначала умножим обе части уравнения на -1, получим 9*2 - 6* + 1 = 0. Здесь а = 9, Ь = -6, с = 1, D = Ь2 - Аас = 36 - 36 = 0. Так как D = 0, то данное квадратное уравнение имеет один b корень. Этот корень находится по формуле х = - —. Значит, 6 1. Х= 2^9 ~3" Это уравнение можно было решить по-другому: так как Эх2 - 6* + 1 = (Зх - IJ, то получаем уравнение (Зх - IJ = 0, откуда находим Зх - 1 = 0, т. е. х = - . в) Здесь а = 2, b = - 1, с = 3,5, D = Ъ2 - 4ас = 1 - 4 • 2 • 3,5 = = 1 - 28 = - 27. Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней. <Ц Математики — люди практичные, экономные. Зачем, гово- рят они, пользоваться таким длинным правилом решения квад- ратного уравнения, лучше сразу написать общую формулу: х 1.2 2а D) Если окажется, что дискриминант D = Ь2 - 4ас — отрица- тельное число, то записанная формула не имеет смысла (под знаком квадратного корня находится отрицательное число), значит, корней нет. Если же окажется, что дискриминант равен нулю, то получаем _ -b±yfd __Ъ_ Xl-2 2а 2а' т. е. один корень (говорят также, что квадратное уравнение в = х2 = - —). этом случае имеет два одинаковых корня: хх = х2 Наконец, если окажется, что Ъ2 - 4ас > 0, то получаются два корня х1и х2, которые вычисляются по тем же формулам C), что указаны выше. Само число уЬ2-4ас в этом случае положительно (как всякий квадратный корень из положительного числа), а двой- ной знак перед ним означает, что в одном случае (при отыскании х± ) это положительное число прибавляется к числу - Ъ, а в другом случае (при отыскании х2) это положительное число вы- читается из числа - Ъ. У вас есть свобода выбора. Хотите —- решайте квадратное уравнение подробно, используя сформулированное выше прави- ло; хотите — запишите сразу формулу D) и с ее помощью делайте необходимые выводы. Пример 5. Решить уравнения: 2 5 7 б) З*2 - 0,2* + 2,77 = 0. 5 _7_ _ С. 1 О "» Решение, а) Конечно, можно использовать формулы D) 2 5 7 или C), учитывая, что в данном случае а = ^ , b = ё . с = - — . Но о О 12 зачем выполнять действия с дробями, когда проще и, главное, приятнее иметь дело с целыми числами? Давайте освободимся от знаменателей. Для этого нужно умножить обе части уравне- ния на 12, т. е. на наименьший общий знаменатель дробей, слу- жащих коэффициентами уравнения. Получим откуда 8х2 + 10* - 7 = 0. А теперь воспользуемся формулой D) _ -10±N/l02-4.8(-7) ,и далее •"-1,2 _ -10 + ^100 + 224 _ -lOf^/324 _ -10±18 16 -10+18 1 Значит, хг= ——— = ^, Х2 = 16 -10-18 16 7 4* 16 2' 2 16 б) Мы снова имеем уравнение с дробными коэффициентами: а = 3, Ъ = - 0,2, с = 2,77. Умножим обе части уравнения на 100, тогда получим уравнение с целыми коэффициентами: 300*2 - 20* + 277 = 0. Далее воспользуемся формулой D): _ 20±7202-4-300-277 Xl'2 2-300 " Простая прикидка показывает, что дискриминант (подкорен- ное выражение) — отрицательное число. Значит, уравнение не имеет корней. <Ц Пример 6. Решить уравнение 5*2 - 2 <Д5 * + 1 = 0. Решение. Здесь, в отличие от предыдущего примера, предпочтительнее действовать по правилу, а не по сокращенной формуле D). Имеем а = 5, Ъ = -2^15, с = 1, D = Ъ2 - 4ас = = (- 2 д/Гб J - 4 • 5 • 1 = 60 - 20 = 40. Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые будем искать по формулам C) 2а 2-5 10 10 х,= 2а 10 127 Пример 7. Решить уравнение х2 - Bр (р2+р-2) = Решение. Это квадратное уравнение отли- чается от всех рассмотренных до сих пор квадрат- ных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравне- ниями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго ко- эффициента и свободного члена уравнения. Найдем дискриминант: D = Bр + IJ - 4 • 1 • (р2 +р - 2) = Dр2 + 4р + 1) - Dр2 + 4р - 8) = 9. параметр уравнение с параметром Далее, 2(р + 2) 2р+1-3 О т в е т: р + 2; р - 1. Пример 8. Решить уравнение р*2 + A - р) х - 1 = 0. Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в отли- чие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формулам D) или C). Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг р = 0? Тогда уравнение примет вид О-*2+ A-0)*- 1 = 0, т. е. х - 1 = 0, откуда получаем х = 1. Вот если точно известно, что р Ф 0, то можно применять формулы корней квадратного уравнения: •"-1,2 128 2р р-1±(р + 1) 4.21. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 2р _ 2р _ р-\-(р + \) -2 2р ' 2 2р 2р Ответ: если р = 0, то х = 1; если р + 0, то хг = 1, х2 = - — . 125 

Учебники и книги по всему предметам, домашняя работа, [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] библиотеки книжек, планы конспектов уроков по математике, рефераты и конспекты уроков по математике для 8 класса [[Математика|скачать]]

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

← Предыдущая		Версия 11:47, 19 июня 2015
Строка 7:		Строка 7:
	<h2>Определение квадратного уравнения</h2>		<h2>Определение квадратного уравнения</h2>

-	Из курса математики предыдущих классов вам уже известно, что такое уравнение, а вот какие уравнения ~~называются~~ квадратными, нам еще предстоит разобраться. Если вы слышите такое словосочетание, как «квадратное уравнение», то ключевым словом в этой терминологии является слово «квадратное».	+	Из курса математики предыдущих классов вам уже известно, что такое уравнение, а вот какие же уравнения принято называть квадратными, нам еще предстоит разобраться. Если вы слышите такое словосочетание, как «квадратное уравнение», то ключевым словом в этой терминологии является слово «квадратное».

-	Ну а теперь давайте более подробно рассмотрим, как должно выглядеть квадратное уравнение. А раз оно «квадратное», ~~то это говорит о том~~, ~~что в таком уравнении обязательно должен присутствовать~~ икс в квадрате, также может быть икс в первой степени и простое число. Если говорить более простым языком, то в таком уравнении должен присутствовать икс, но его степень не должна быть больше двойки.	+	Ну а теперь давайте более подробно рассмотрим, как должно выглядеть квадратное уравнение. А раз оно «квадратное», значит, такое уравнение непременно должно содержать икс в квадрате, также может быть икс в первой степени и простое число. Если говорить более простым языком, то в таком уравнении должен присутствовать икс, но его степень не должна быть больше двойки.

-	Но, а если говорить языком математики, то это такое уравнение, которое ~~имеет вид~~:	+	Но, а если говорить языком математики, то это такое уравнение, которое выглядит так:

	ax2 + bx + c = 0,		ax2 + bx + c = 0,

-	где a, b, c — ~~некоторые~~ числа (a ≠ 0), x — неизвестное.	+	где a, b, c — какие-нибудь числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

-	Числа, которые ~~присутствуют~~ в квадратном уравнении, называются коэффициентами этого квадратного уравнения:	+	Числа, которые имеются в квадратном уравнении, называются коэффициентами этого квадратного уравнения:

	• a – является первым коэффициентом квадратного уравнения;<br>		• a – является первым коэффициентом квадратного уравнения;<br>
Строка 23:		Строка 23:
	• c - называют его свободным членом.<br>		• c - называют его свободным членом.<br>

-	В ~~общем~~, ~~ясли~~ рассматривать квадратное уравнение, которое имеет вид:	+	В целом, если рассматривать квадратное уравнение, которое имеет вид:

	ax2 + bx + c = 0		ax2 + bx + c = 0

-	То ~~мы с вами видим~~, что в ~~этом квадратном уравнении~~ с его левой стороны ~~есть~~ полный набор членов, где ~~есть~~ икс в квадрате с коэффициентом a, также икс в первой степени с коэффициентом b, ну и свободный член c.	+	То можно увидеть, что в данное квадратное уравнение с его левой стороны имеет полный набор членов, где присутствует икс в квадрате с коэффициентом a, также икс в первой степени с коэффициентом b, ну и свободный член c.

-	Квадратные уравнения~~, в котором присутствуют все три слагаемых,~~ называются полными.	+	Квадратные уравнения со всеми тремя слагаемыми называются полными.

	Они имеют такой вид:		Они имеют такой вид:
Строка 37:		Строка 37:
	<br>		<br>

-	Но если, к примеру, взять коэффициент b, который равен 0, то получается, что у нас ~~отсутствует~~ икс в первой степени. Или же c равняется нулю, то тогда наше уравнение остается без свободного члена.	+	Но если, к примеру, взять коэффициент '''b''', который равен 0, то получается, что у нас пропадает икс в первой степени. Или же '''c''' равняется нулю, то тогда наше уравнение остается без свободного члена.

-	Из выше сказанного делаем вывод, что перед нами квадратное уравнение, ~~у которого отсутствует коэффициент~~ или ~~свободный член~~. Такие квадратные уравнения, у которых чего-то не ~~хватает~~, ~~называются~~ неполными квадратными уравнениями.	+	Из выше сказанного делаем вывод, что перед нами квадратное уравнение, где нету коэффициента или свободного члена. Такие квадратные уравнения, у которых чего-то не достает, принято называть неполными квадратными уравнениями.

-	~~Таким образом~~, уравнения~~, у которых один из коэффициентов~~ b или c ~~равны нулю, являются~~ неполными квадратными уравнениями ~~и имеют вид~~, например:	+	Так, уравнения с нулевым коэффициентом '''b''' или '''c''' будут неполными квадратными уравнениями следующего вида, например:

	<br>		<br>
Строка 65:		Строка 65:
	<br>		<br>

-	На протяжении изучения всего курса алгебры в школе, изучению уравнений отводится больше часов, чем на какие-либо другие темы по математике. А задумывались ли вы, почему так? ~~Дело в том~~, ~~что~~ умение решать уравнения ~~имеют~~ не только огромное значение для досконального знания математики и естественных законов, но эти знания пригодятся вам и в практических целях.	+	На протяжении изучения всего курса алгебры в школе, изучению уравнений отводится больше часов, чем на какие-либо другие темы по математике. А задумывались ли вы, почему так? Просто, умение решать уравнения имеет не только огромное значение для досконального знания математики и естественных законов, но эти знания пригодятся вам и в практических целях.

-	~~Дело в том, что~~ в повседневном реальном мире придется сталкиваться с различными проблемами, где никак не обойтись без решения различных видов уравнений. ~~Научившись~~ их решать и овладев их способами решения, в дальнейшем вы сможете легко найти ответы в любой области науки и техники.	+	Ведь в повседневном реальном мире придется сталкиваться с различными проблемами, где никак не обойтись без решения различных видов уравнений. Обучившись их решать и овладев их способами решения, в дальнейшем вы сможете легко найти ответы в любой области науки и техники.

	А умение понимать и решать квадратные уравнения, является фундаментом к освоению знаний математических наук.		А умение понимать и решать квадратные уравнения, является фундаментом к освоению знаний математических наук.
Строка 73:		Строка 73:
	<h2>История возникновения и развития квадратных уравнений</h2>		<h2>История возникновения и развития квадратных уравнений</h2>

-	~~Необходимость~~ в умении решать уравнения возникла еще в глубокой древности, при этом уже тогда люди ~~решали~~ уравнения не только ~~первой~~ степени, но и ~~второй~~. Это было продиктовано потребностью человека научиться вычислять площади земельных участков, а также делать шаги в ~~развитии~~ таких наук, как астрономия, физика, математика и т.д.	+	Потребность в умении решать уравнения возникла еще в глубокой древности, при этом уже тогда люди вычисляли уравнения не только 1-й степени, но и 2-й. Это было продиктовано потребностью человека научиться вычислять площади земельных участков, а также делать шаги в сторону развития таких наук, как астрономия, физика, математика и т.д.

-	Первыми умельцами в ~~решении~~ квадратных уравнений можно назвать жителей Вавилона. Они их научились решать еще 4000 лет до ~~нашей эры~~. Естественно, что правила решения квадратных уравнений в вавилонских текстах далеко отличались от современных, но по существу они близки. В вавилонских трактатах не было понятия отрицательного числа, да и общие методы их решения кардинально отличались.	+	Первыми умельцами в разрешении квадратных уравнений можно назвать жителей Вавилона. Они их научились решать еще 4000 лет до н.э. Естественно, что правила решения квадратных уравнений в вавилонских текстах далеко отличались от современных, но по существу они близки. В вавилонских трактатах не было понятия отрицательного числа, да и общие методы их решения кардинально отличались.

	Также пользовался решением квадратных уравнений и древнеиндийский математик Баудхаяма.		Также пользовался решением квадратных уравнений и древнеиндийский математик Баудхаяма.
Строка 81:		Строка 81:
	В Европе первые формулы решения этих уравнений появились лишь в 1202 г. . Они были описаны итальянским математиком Леонардом Фибоначчи в его знаменитой книге «Книге абака».		В Европе первые формулы решения этих уравнений появились лишь в 1202 г. . Они были описаны итальянским математиком Леонардом Фибоначчи в его знаменитой книге «Книге абака».

-	Немного позднее изучением этого важного математического вопроса с квадратными уравнениями занялись и такие ученые, как Ньютон, Франсуа Виет, Рене Декарт и другие ~~выдающиеся~~ математики.	+	Немного позднее изучением этого важного математического вопроса с квадратными уравнениями занялись и такие ученые, как Ньютон, Франсуа Виет, Рене Декарт и другие известные математики.

	<h2>Применение квадратных уравнений в современной жизни</h2>		<h2>Применение квадратных уравнений в современной жизни</h2>