User16 в 19:36, 14 июня 2012

2012-06-14T19:36:32Z

Внесённые изменения

User16 в 09:01, 8 июня 2010

2010-06-08T09:01:26Z

Внесённые изменения

User16 в 08:41, 8 июня 2010

2010-06-08T08:41:12Z

Внесённые изменения

User16 в 08:12, 8 июня 2010

2010-06-08T08:12:27Z

Внесённые изменения

User16 в 07:49, 8 июня 2010

2010-06-08T07:49:54Z

Внесённые изменения

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-08T07:29:46Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Формулы сокращенного умножения</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]>>Математика: Формулы сокращенного умножения'''

 

                                                                       '''ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ '''

 Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи. 1. Квадрат суммы и квадрат разности: Умножим двучлен а + b на себя, т.е. раскроем скобки в произведении (a + b) (а + b) или, что то же самое, в выражении (a + b)2.

Имеем: (а + ЪJ = (а + Ъ) (а + Ь) = а • а + а • Ь + Ь • о + Ь • Ъ = = а2 + аЬ + аЬ + Ь2 = а2 + 2аЬ + Ь2. Аналогично получаем: (о - ЪJ = (а-Ь)(а-Ь) = аг-аЬ-Ьа + Ь2 = а2- 2аЪ + Ь2. Итак, (о + ЬJ = о2 + 2аЬ + Ь2; A) B) квадрат суммы квадрат разности На обычном языке формулы A) и B) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме их квадратов плюс (минус) их удвоен- ное произведение. Этим формулам присвоены спе- циальные названия: формуле A) — квадрат сум- мы, формуле B) — квадрат разности. Пример 1. Раскрыть скобки в выражении: а) (Зх + 2J; б) Eа2 - 4Ь3J. Решение. а) Воспользуемся формулой A), учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли Ъ — число 2. Получим: (Зх + 2J = (ЗхJ + 2 • Зх • 2 + 22 = 9z2 + 12* + 4. б) Воспользуемся формулой B), учтя, что в роли а выступает 5а2, а в роли Ь выступает 4Ь3. Получим: Eа2-4&3J= Eа2J - 2- 5о2 • 4fr3 + D&3J= 25o4-40o2b3 + 16&6. При использовании формул квадрата суммы или квадрата раз- ности учитывайте, что (- о - ЪJ = (а + ЬJ; (b-af = (a-bf. Это следует из того, что (- аJ = а2. Отметим, что на формулах A) и B) основаны некоторые мате- матические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле 712 = G0 + 1J = 702 + 2 • 70 • 1 + I2 = 4900 + 140 + 1 = 5041; 912 = (90 + IJ = 902 + 2 • 90 • 1 + I2 = 8100 + 180 + 1 = 8281; 692 = G0 - IJ = 702 - 2 • 70 • 1 + I2 = 4900 - 140 + 1 = 4761. Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчиваю- щееся цифрой 2 или цифрой 8. Например, 1022 = A00 + 2J = 1002 + 2 • 100 • 2 + 22 = = 10 000 + 400 + 4 = 10 404; 482 = E0 - 2J = 502 - 2 • 50 • 2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304. Но самый элегантный фокус связан с возведе- нием в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. Проведем соответствующие рассуждения для 852. Имеем: -80 (80+ 10)+ 25= = 80 • 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225. Замечаем, что для вычисления 852 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогич- но можно поступать и в других случаях. Например, 352 = 1225 C*4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25); 652 = 4225; 1252 = 15625 A2 «13 = 156 и к полученному числу приписали справа 25). Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обсто- ятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формула- ми A) и B), то дополним этот разговор следующим геометричес- ким рассуждением. Пусть а и & — положительные числа. Рас- смотрим квадрат со стороной а + & и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и & (рис. 4). Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + &J. Но этот квад- рат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а2), квадрат со стороной & (его площадь равна &2), два прямоугольника со сторонами а и & (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + ЪJ = а2 + Ъ2 + 2аЪ, т. е. получили формулу A). 2. Разность квадратов Умножим двучлен а + b на двучлен а - Ь. Получим: (а + Ь) (а - Ь) = а2 - аЪ + Ъа - Ъ2 = а2 - Ъ2. Итак» ( (о + ft) (о - Ъ) = а2 - ft2.J C) разность квадратов Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заме- няется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой час- тью). Если формулу C) использовать слева напра- во, то она позволяет заменить произведение (а + &) (а - Ъ) готовым результатом а2 - Ъ2. Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а2 - Ъ2 произведением (а + Ъ) (а - Ъ). Формуле C) в математике дано специальное назва- ние — разность квадратов. к Замечание. Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов — это а2 - ft2, Щ значит, речь идет о формуле C); квадрат разности — это ? (a- ftJ, значит речь идет о формуле B). На обычном языке формулу C) читают «справа налево» так: к разность квадратов двух чисел (выражений) щ равна произведению суммы этих чисел (выраже- щ ний) на их разность, f Пример 2. Выполнить умножение Решение. Имеем: (Зх - 2у) (Зх + 2у) - (З*J - BуJ - 9z2 - 4j/2. <¦ Пример 3. Представить двучлен 16л:4 - 9 в виде произведе- ния двучленов. Решение. Имеем: 16л:4 = Dл:2J, 9 = З2, значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу C), прочитанную справа налево. Тогда получим: 16л:4 - 9 = Dл:2J - З2 = Dл:2 + 3) Dл:2 - 3). <¦ Формула C), как и формулы A) и B), используется для мате- матических фокусов. Смотрите: 79 • 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399; 42 • 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596. Завершим разговор о формуле разности квадратов любопыт- ным геометрическим рассуждением. Пусть а и & — положитель- ные числа, причем а > Ъ. Рассмотрим прямоугольник со сторона- ми а + Ъ и а - Ъ (рис. 5). Его площадь равна (а + Ъ) (а - Ъ). Отрежем прямоугольник со сторонами Ъ и а - Ъ и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигу- ра имеет ту же площадь, т. е. (а + Ъ) (а - Ь). Но эту фигуру можно построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной Ъ (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой Ь I а-Ь a-b a Рис. 1 1 5 ь а-Ь Ь а-Ь а-Ь а Рис.6 фигуры равна а2 - Ь2. Итак, (а + Ь) (а - &> = а2 - Ъ2, т. е. получили формулу C). 3. Разность кубов и сумма кубов Умножим двучлен а - Ъ на трехчлен а2 + ab + b2. Получим: (о - Ь) (а2 + ab + Ь2) = а • аг + а • ab + а • Ь2 - b • а2 - Ъ ¦ аЪ - -Ь-Ь2 = а3 + а2Ъ + аЪг-а2Ъ-аЬ2-Ъ3 = а3-Ъ3. Аналогично (а + Ъ) (а2 - аЪ + Ъг) = а3 + &3 (проверьте это сами). Итак, (а 4- Ъ) (а2 - аЪ + Ь2) = а3 + Ъ3. D) E) АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ разность кубов сумма кубов полный квадрат суммы (разности) неполный квадрат суммы (разности) Формулу D) обычно называют разностью кубов, формулу E) — суммой кубов. Попробуем перевести формулы D) и E) на обыч- ный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a2 + ab + b2 похоже на выражение а2 + 2ab + Ь2, которое фигурировало в формуле A) и давало (а + ЬJ; выражение а2 - ab + b2 похоже на выражение а2 - 2ab + Ь2, которое фигурировало в формуле B) и давало (а - ЬJ. Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а2 + 2ab + Ь2 и а2 - 2ab + Ь2 называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а2 + ab + b2 и а2 - ab + b2 называют неполным квадратом (сум- мы или разности). Тогда получается следующий пе- ревод формул D) и E) (прочитанных «справа нале- во») на обычный язык: разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна про- изведению суммы этих чисел (выражений) на не- полный квадрат их разности. Замечание. Все полученные в этом параграфе форму- лы A)-E) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что A )-E) — формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что A)-E) — формулы разложения на множители. Пример 4. Выполнить умножение Bх- 1)Dд^ + 2х +1). Решение. Так как первый множитель есть разность одно- членов 2х и 1, а второй множитель — неполный квадрат их сум- мы, то можно воспользоваться формулой D). Получим: Bх - 1) D*2 + 2х + 1) = B*K - I3 = 8*3 - 1. Пример 5. Представить двучлен 27а6 + 8&3 в виде произве- дения многочленов. Решение. Имеем: 27ав = (За2K, 8&3 = B&K. Значит, задан- ный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить фор- мулу E), прочитанную справа налево. Тогда получим: 27ав + 8&3 = (За2K + B&K = (За2 + 2Ь) ((За2J - За2 • 2Ь + + BЬJ) = (За2 + 2Ь) (9а4 - 6а2Ь + 4&2). <1 

Помощь школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 7 класса [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].

Формулы сокращенного умножения - История изменений

User16 в 19:36, 14 июня 2012

User16 в 09:01, 8 июня 2010

User16 в 08:41, 8 июня 2010

User16 в 08:12, 8 июня 2010

User16 в 07:49, 8 июня 2010

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...