Функция у = х2 и ее график - История изменений

User16 в 11:58, 15 июня 2012

2012-06-15T11:58:42Z

← Предыдущая		Версия 11:58, 15 июня 2012
Строка 7:		Строка 7:
	<br>		<br>

-	'''Функция У = X<sup>2</sup> и её график'''	+	'''Функция У = X<sup>2</sup> и её график'''

	<br>В главе 6 мы ввели термин «линейная функция», понимая под этим '''[[Линейное уравнение с двумя переменными и его график\|линейное уравнение]]''' вида у = kx + m с двумя переменными х, у. Правда, переменные х, у, фигурирующие в этом уравнении (в этой математической модели) считались неравноправными: х — независимая переменная (аргумент), которой мы могли придавать любые значения, независимо ни от чего; у — зависимая переменная, поскольку ее значение зависело от того, какое значение переменной х было выбрано. Но тогда возникает естественный вопрос: а не встречаются ли '''[[Что такое математическая модель\|математические модели]]''' такого же плана, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = kx + m, а каким-то иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например, х — сторона квадрата, а у — его <br>площадь, то у — х<sup><sub>2</sub></sup>. Если х — сторона куба, а у — его объем, то у — х<sup>3</sup>. Если х — одна сторона прямоугольника, площадь которого равна 100 см<sup>2</sup>, а у — другая его сторона, то [[Image:09-06-60.jpg\|40px\|Модель]] . Поэтому, естественно, что в математике не ограничиваются изучением модели y—kx + m, приходится изучать и модель у = х<sup>2</sup>, и модель у = х<sup>3</sup>, и модель [[Image:09-06-60.jpg\|40px\|Модель]] , и многие другие модели, имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится переменная у, а в правой — какое-то выражение с переменной х. Для таких моделей сохраняют термин «функция», опуская прилагательное «линейная». <br>		<br>В главе 6 мы ввели термин «линейная функция», понимая под этим '''[[Линейное уравнение с двумя переменными и его график\|линейное уравнение]]''' вида у = kx + m с двумя переменными х, у. Правда, переменные х, у, фигурирующие в этом уравнении (в этой математической модели) считались неравноправными: х — независимая переменная (аргумент), которой мы могли придавать любые значения, независимо ни от чего; у — зависимая переменная, поскольку ее значение зависело от того, какое значение переменной х было выбрано. Но тогда возникает естественный вопрос: а не встречаются ли '''[[Что такое математическая модель\|математические модели]]''' такого же плана, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = kx + m, а каким-то иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например, х — сторона квадрата, а у — его <br>площадь, то у — х<sup><sub>2</sub></sup>. Если х — сторона куба, а у — его объем, то у — х<sup>3</sup>. Если х — одна сторона прямоугольника, площадь которого равна 100 см<sup>2</sup>, а у — другая его сторона, то [[Image:09-06-60.jpg\|40px\|Модель]] . Поэтому, естественно, что в математике не ограничиваются изучением модели y—kx + m, приходится изучать и модель у = х<sup>2</sup>, и модель у = х<sup>3</sup>, и модель [[Image:09-06-60.jpg\|40px\|Модель]] , и многие другие модели, имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится переменная у, а в правой — какое-то выражение с переменной х. Для таких моделей сохраняют термин «функция», опуская прилагательное «линейная». <br>
Строка 42:		Строка 42:
	Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.		Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.

-		+	<br>

	[[Image:09-06-61.jpg\|480px\|Координатная плоскость]]<br><br>Конечно, в идеале надо было бы дать аргументу х все возможные значения, вычислить соответствующие значения переменной у и построить полученные точки (х; у). Тогда график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нереально, ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики поступают так: берут конечное множество точек, строят их на '''[[Ілюстрації до теми Координатна площина\|координатной плоскости]]''' и смотрят, какая линия намечается этими точками. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчетливо (как это было у нас, скажем, в примере 1 из § 28), то эту линию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и надо все глубже и глубже изучать математику, чтобы были средства избегать ошибок.		[[Image:09-06-61.jpg\|480px\|Координатная плоскость]]<br><br>Конечно, в идеале надо было бы дать аргументу х все возможные значения, вычислить соответствующие значения переменной у и построить полученные точки (х; у). Тогда график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нереально, ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики поступают так: берут конечное множество точек, строят их на '''[[Ілюстрації до теми Координатна площина\|координатной плоскости]]''' и смотрят, какая линия намечается этими точками. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчетливо (как это было у нас, скажем, в примере 1 из § 28), то эту линию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и надо все глубже и глубже изучать математику, чтобы были средства избегать ошибок.
Строка 98:		Строка 98:
	<sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>		<sub>Календарно-тематическое планирование по математике, [http://xvatit.com/it/audio_television/ '''видео'''] по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!\|онлайн]], Математика в школе [[Математика\|скачать]]</sub>

-	<sub></sub>	+	<sub></sub>

-	''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений''	+	''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений''

	<br>		<br>

User16 в 11:49, 15 июня 2012

2012-06-15T11:49:27Z

Внесённые изменения

User16: Создана новая страница размером Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

2010-06-09T13:04:24Z

Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...

Новая страница

<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 7 класс, Алгебра, урок, на Тему, Функция у = х2, ее график</metakeywords>

'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 7 класс|Математика 7 класс]]>>Математика:Функция у = х2 и ее график'''

 

                                                 '''ФУНКЦИЯ У = X2 И ЕЕ ГРАФИК ''' 

 В главе 6 мы ввели термин «линейная функция», понимая под этим линейное уравнение вида у = kx + m с двумя переменными х, у. Правда, переменные х, у, фигурирующие в этом уравнении (в этой математической модели) считались неравноправными: х — независимая переменная (аргумент), которой мы  могли придавать любые значения, независимо ни от  чего; у — зависимая переменная, поскольку ее значение зависело от того, какое значение переменной х было выбрано. Но тогда возникает естественный вопрос: а не встречаются ли математические модели такого же плана, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = kx + m, а каким-то иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например, х — сторона квадрата, а у — его площадь, то у — х2. Если х — сторона куба, а у — его объем, то у — х3. Если х — одна сторона прямоугольника, площадь которого равна 100 см2,

а у — другая его сторона, то [[Image:09-06-60.jpg]] . Поэтому, естественно, что в математике не ограничиваются изучением модели y—kx + m, приходится изучать и модель 

у = х2, и модель у = х3, и модель [[Image:09-06-60.jpg]] , и многие другие модели, имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится переменная у, а в правой — какое-то выражение с переменной х. Для таких моделей сохраняют термин «функция», опуская прилагательное «линейная». 

В этом параграфе мы рассмотрим функцию у = х2 и построим ее график. 

Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = x2): 

если х = 0, то у = О2 = 0; если х = 1, то у = I2 = 1; если х = 2, то у = 22 = 4; если х = 3, то у = З2 = 9; если х = - 1, то у = (- I2) — 1; если х = - 2, то у = (- 2)2 = 4; если х = - 3, то у = (- З)2 = 9; Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" style="width: 735px; height: 45px;"
|-
| X
| 0 
| 1 
| 2 
| 3 
| -1 
| -2 
| -3 
|-
| У
| 0 
| 1 
| 4 
| 9 
| 1 
| 4 
| 9 
|}

 Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на координатной плоскости хОу (рис. 54, а). Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.

[[Image:09-06-61.jpg]] Конечно, в идеале надо было бы дать аргументу х все возможные значения, вычислить соответствующие значения переменной у и построить полученные точки (х; у). Тогда график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нереально, ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики поступают так: берут конечное множество точек, строят их на координатной плоскости и смотрят, какая линия намечается этими точками. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчетливо (как это было у нас, скажем, в примере 1 из § 28), то эту линию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и надо все глубже и глубже изучать математику, чтобы были средства избегать ошибок.

Попробуем, глядя на рисунок 54, описать геометрические свойства параболы. 

Во-первых, отмечаем, что парабола выглядит довольно красиво, поскольку обладает симметрией. В самом деле, если провести выше оси х любую прямую, параллельную оси х, то эта прямая пересечет параболу в двух точках, расположенных на равных расстояниях от оси у, но по разные стороны от нее (рис. 55). Кстати, то же можно сказать и о точках, отмеченных на рисунке 54, а:

(1; 1} и (- 1; 1); (2; 4) и (-2; 4); C; 9) и (-3; 9). Говорят, что ось у является осью симметрии параболы у=х2 или что парабола симметрична относительно оси у.

Во-вторых, замечаем, что ось симметрии как бы разрезает параболу на две части, которые обычно называют ветвями параболы. 

В-третьих, отмечаем, что у параболы есть особая точка, в которой смыкаются обе ветви и которая лежит на оси симметрии параболы — точка (0; 0). Учитывая ее особенность, ей присвоили специальное название — вершина параболы. 

В-четвертых, когда одна ветвь параболы соединяется в вершине с другой ветвью, это происходит плавно, без излома; парабола как бы «прижимается» к оси абсцисс. Обычно говорят: парабола касается оси абсцисс. 

Теперь попробуем, глядя на рисунок 54, описать некоторые свойства функции у = х2. 

Во-первых, замечаем, что у — 0 при х = 0, у > 0 при х > 0 и при х < 0. 

Во-вторых, отмечаем, что yнаим. = 0, а унаиб не существует. 

В-третьих, замечаем, что функция у = х2 убывает на луче (-°°, 0] — при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «спускаемся с горки» (см. рис. 55). Функция у = х2 возрастает на луче [0, +оо) — при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «поднимаемся в горку» (см. рис. 55). Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х2:

а) на отрезке [1, 3]; б) на отрезке [- 3, - 1,5]; в) на отрезке [- 3, 2].

Решение, 

а) Построим параболу у = х2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [1, 3] (рис. 56). Для выделенной части графика находим унаим. = 1 (при х = 1), унаиб. = 9 (при х = 3). 

б) Построим параболу у = х2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3, -1,5] (рис. 57). Для выделенной части графика находим yнаим. = 2,25 (при х = - 1,5), унаиб. = 9 (при х = - 3). 

в) Построим параболу у = х2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3, 2] (рис. 58). Для выделенной части графика находим унаим = 0 (при х = 0), унаиб. = 9 (при х = - 3). [[Image:09-06-62.jpg]] '''''Совет.''''' Чтобы каждый раз не строить график функции у — х2 по точкам, вырежьте из плотной бумаги шаблон параболы. С его помощью вы будете очень быстро чертить параболу.

'''''Замечание.''''' Предлагая вам заготовить шаблон параболы, мы как бы уравниваем в правах функцию у = х2 и линейную функцию у = кх + m. Ведь графиком линейной функции является прямая, а для изображения прямой используется обычная линейка — это и есть шаблон графика функции у = кх + m. Так пусть у вас будет и шаблон графика функции у = х2.

'''Пример 2.''' Найти точки пересечения параболы у = х2 и прямой у - х + 2. 

Решение. Построим в одной системе координат параболу у = х2 прямую у = х + 2 (рис. 59). Они пересекаются в точках А и В, причем по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В: 

для точки А имеем: x = - 1, y = 1, а для точки В имеем: х — 2, у = 4. 

Ответ: парабола у = х2 и прямая у = х + 2 пересекаются в двух точках: А (-1; 1) и В(2;4). 

Важное замечание. До сих пор мы с вами довольно смело делали выводы с помощью чертежа. Однако математики не слишком доверяют чертежам. Обнаружив на рисунке 59 две точки пересечения параболы и прямой и определив с помощью рисунка координаты этих точек, 

[[Image:09-06-63.jpg]] математик обычно проверяет себя: на самом ли деле точка (-1; 1) лежит как на прямой, так и на параболе; действительно ли точка (2; 4) лежит и на прямой, и на параболе? Для этого нужно подставить координаты точек А и В в уравнение прямой и в уравнение параболы, а затем убедиться, что и в том, и в другом случае получится верное равенство. В примере 2 в обоих случаях получатся верные равенства. Особенно часто производят такую проверку, когда сомневаются в точности чертежа.

В заключение отметим одно любопытное свойство параболы, открытое и доказанное совместно физиками и математиками. 

Если рассматривать параболу у = х2 как экран, как отражающую поверхность, а в точке [[Image:09-06-64.jpg]] поместить источник света, то лучи, отражаясь от параболы экрана, образуют параллельный пучок света (рис. 60). Точку [[Image:09-06-65.jpg]] называют фокусом параболы. Эта идея используется в автомобилях: отражающая поверхность фары имеет параболическую форму, а лампочку помещают в фокусе — тогда свет от фары распространяется достаточно далеко. 

 

Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 7 класса [[Математика|скачать]], школьная программа по математике, планы конспектов уроков 

 

'''Содержание урока'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии

'''Практика'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников

'''Иллюстрации'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

'''Дополнения'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие
''''''
Совершенствование учебников и уроков
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми

'''Только для учителей'''
'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения

'''Интегрированные уроки'''


 

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам].

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум].