Версия 18:10, 13 декабря 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Высота, биссектриса и медиана треугольника. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Высота, биссектриса и медиана треугольника

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “ Медиана, биссектриса и высота треугольника ”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Формировать навыки в построении медианы, биссектрисы и высоты треугольника с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• проверить умение учащихся решать задачи на доказательство равенства треугольников.

План урока:

1. Обозначения, краткий обзор буквенных переменных для исключения ошибок разного типа.
   
2. Раскрытие главное темы урока, определения высоты, медианы, биссектрисы.
   
3. Пошаговое построение, инструкции для корректного выполнения построения.
   
4. Задание для самостоятельной проверки.
   

Обозначения:
А, В, С — вершины, а также углы при этих вершинах;
а, b, с — стороны, противолежащие углам
А, В, С соответственно
ha , hb , hc — высоты, опущенные на стороны
а, b, с соответственно;
ma , mb , mc — медианы;
la , lb , lc — биссектрисы;
R — радиус описанной окружности;
r — радиус вписанной окружности.

Файл:13112010 0.gif

Высота, биссектриса и медиана треугольника

Файл:O.gif Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника:

Файл:13112010 12.gif Файл:13112010 1.gif

Файл:O.gif Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на ее продолжение.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке О, называемой ортоцентром.
В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.
В прямоугольном он совпадает с вершиной прямого угла.

Файл:13112010 3.gif

B₁D₁ – высота треугольника A₁B₁C₁, опущенная из вершины B₁.

B₂D₂ – высота треугольника A₂B₂C₂, опущенная из вершины B₂.

Соотношение высот и сторон треугольника.

Файл:13112010 13.gif Файл:13112010 14.gif

Высота в равностороннем треугольнике.

Файл:13112010 15.gif Файл:13112010 16.gif

Файл:O.gif Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке О, являющейся центром тяжести треугольника.
Точкой О медианы делятся на отрезки в отношении 2: 1 (считая от вершины).

Файл:13112010 2.gif

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.
RX – медиана угла SRT. SX = XT.

Файл:O.gif Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной.

Файл:O.gif Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

Файл:O.gif Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром впмсанной окружности.

Файл:13112010 4.gif

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны.
EG – биссектриса угла FEH. ∠ FEG = ∠ GEH.

Медиана, биссектриса, высота

Файл:13112010 6.gif

Высоты и стороны треугольника

Файл:13112010 7.gif

Пошаговое построение

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Поэтому, для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком - это и будет медиана.

Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне. Поэтому, для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (а биссектриса угла - это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком - это и будет биссектриса.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Поэтому, для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, опустить перпендикуляр к ней ( а перпендикуляр - это отрезок, проведенный из точки к прямой, составляющей с ней угол 90 градусов) - это и будет высота.

Задание для самостоятельной проверки.

1 вариант: Построить медиану остроугольного треугольника.
2 вариант: Построить медиану тупоугольного треугольника.
3 вариант: Построить медиану прямоугольного треугольника.
4 вариант: Построить биссектрису остроугольного треугольника.
5 вариант: Построить биссектрису тупоугольного треугольника.
6 вариант: Построить биссектрису прямоугольного треугольника.

как построить медиану с помощью циркуля.

Интересный факт:

В конце I в. н. э. надо отметить появление трудов неопифагорейца Никомаха. Его работа «Введение в арифметику» является первым трудом по арифметике, изложенным независимо от геометрии, и потому она оказывала свое влияние на изучение арифметики не менее тысячи лет. Между тем эта работа не содержит в себе ничего особенно оригинального. Основной ее идеей является классификация чисел, причем она проводится на основах, всецело опирающихся на числовую мистику. В числовую классификацию Никомаха входят также и многоугольные числа по образцу пифагорейских. Наиболее интересным в «Арифметике» Никомаха является раздел суммирования числовых рядов. Здесь мы встречаем, например, указание на то, что кубические числа представляют собой суммы последовательных нечетных чисел. Так, 13 = 1; 23 = 3 + 5; 33 = 7 + 9 + 11; 43 = 13 + 15 + 17 + 19 и т. д.
Современником Никомаха надо считать астронома и геометра Менелая Александрийского, который написал трактат о сферических треугольниках, явившихся в свое время как бы фундаментом сферической геометрии. В этом же труде Менелая находится его знаменитая теорема, согласно которой «если какая-нибудь прямая линия пересекает три стороны треугольника или их продолжения, то произведение трех отрезков, не имеющих общих точек, равно произведению трех других отрезков».

Вопросы:

1. Что такое биссектриса?
   
2. Что такое медиана?
3. Что такое высота?
   
4. Соотношение высот и сторон треугольника?
   

Список использованных источников:

1. Урок на тему «Треугольники», Левченко В.С.
2. Журнал "Прикладная геометрия".
3. "Открытый урок" Издательский дом «Первое сентября» 2003-2010 г.

Отредактировано и выслано Потурнаком С. А.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.