|
|
(2 промежуточные версии не показаны) | Строка 1: |
Строка 1: |
- | <p><span class="fck_mw_special" _fck_mw_customtag="true" _fck_mw_tagname="metakeywords">Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Еще одна формула корней квадратного уравнения</span> | + | <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Еще одна формула корней квадратного уравнения, корни, формулу, квадратного уравнения</metakeywords> |
- | </p><p><b><a href="Гипермаркет знаний - первый в мире!">Гипермаркет знаний</a>>><a href="Математика">Математика</a>>><a href="Математика 8 класс">Математика 8 класс</a>>>Математика:Еще одна формула корней квадратного уравнения</b>
| + | |
- | </p><p><br />
| + | |
- | </p><p><br />
| + | |
- | </p><p><b> ЕЩЕ ОДНА ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ </b>
| + | |
- | </p><p><br />Мы с вами уже привыкли к тому, что корни квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + bх + с = 0 находятся по формуле
| + | |
- | </p><p><img src="/images/1/10/14-06-37.jpg" _fck_mw_filename="14-06-37.jpg" alt="" /><br /><br />(если, конечно, дискриминант D = b<sup>2</sup> — 4ас — неотрицательное число; если же D < О, то приведенная формула не имеет смысла, а квадратное уравнение не имеет корней). <br />Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что формулу (1) можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если Ъ есть четное число. <br />В самом деле, пусть у квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = О <br />коэффициент Ъ имеет вид Ъ — 2k. Подставив в формулу (1) число 2k вместо b, получим:
| + | |
- | </p><p><img src="/images/6/61/14-06-38.jpg" _fck_mw_filename="14-06-38.jpg" alt="" /><br /><br />Итак, корни квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + + 2kx + с = О можно вычислять по формуле
| + | |
- | </p><p><img src="/images/9/93/14-06-39.jpg" _fck_mw_filename="14-06-39.jpg" alt="" /><br />Сравните эту формулу с формулой (1). В чем ее преимущества?
| + | |
- | </p><p>Во-первых, в квадрат возводится не число b, а его половина <img src="/images/8/80/14-06-40.jpg" _fck_mw_filename="14-06-40.jpg" alt="" />
| + | |
- | </p><p>Во-вторых, вычитается из этого квадрата не 4ас, a просто ас.
| + | |
- | </p><p>В-третьих, в знаменателе содержится не 2а, а просто а. Как видите, по крайней мере в трех моментах мы облегчаем себе выкладки. Особенно приятно выглядит формула (2) для приведенного квадратного уравнения, т. е. для случая, когда а = 1. Тогда получаем
| + | |
- | </p><p><img src="/images/0/07/14-06-41.jpg" _fck_mw_filename="14-06-41.jpg" alt="" /><br /><br />Это — формула корней уравнения х<sup>2</sup> + 2kx + с — 0. <br />Вернемся к предыдущему параграфу и еще раз решим некоторые из имеющихся там квадратных уравнений — для сравнения трудоемкости вычислений по старой формуле (формуле (1)) и по новой формуле (формуле(2) или (3)). <br />В примере 1 из § 22 получилось квадратное уравнение х<sup>2</sup> + 10x - 7200 = 0. <br />Мы решали его так:
| + | |
- | </p><p><img src="/images/9/95/14-06-42.jpg" _fck_mw_filename="14-06-42.jpg" alt="" /><br /><br />А теперь решим то же квадратное уравнение по формуле (3), учитывая, что в данном случае b = 10, т. е. 2k = 10, k = 5. Имеем
| + | |
- | </p><p><img src="/images/7/76/14-06-43.jpg" _fck_mw_filename="14-06-43.jpg" alt="" /><br /><br />В примере 3 из § 22 было получено квадратное уравнение <br />х<sup>2</sup> - 92х + 960 = 0. <br />Мы решали его так:
| + | |
- | </p><p><img src="/images/b/b7/14-06-44.jpg" _fck_mw_filename="14-06-44.jpg" alt="" /><br /><br />А теперь решим это квадратное уравнение по формуле (3), учитывая, что в данном случае b = - 92, т. е. 2k = - 92, k = - 46. <br />Имеем
| + | |
- | </p><p><img src="/images/9/94/14-06-45.jpg" _fck_mw_filename="14-06-45.jpg" alt="" /><br /><br />Думается, что преимущества новой формулы вы оценили. <br />В заключение параграфа рассмотрим еще одно квадратное уравнение, которое мы решали по старой формуле (см. пример 6 из § 20), а теперь решим по-новому. Речь идет об уравнении
| + | |
- | </p><p><img src="/images/2/2d/14-06-46.jpg" _fck_mw_filename="14-06-46.jpg" alt="" /><br /><br />Сравните этот вариант решения с тем, который был предложен в § 20. Согласитесь, что так работать проще. <br />Итак, если вам встретилось квадратное уравнение вида ах<sup>2</sup> + 2kx + с = 0, то советуем пользоваться формулой (2) (или (3), в случае, когда а = 1), поскольку вычисления будут проще. Но если вы опасаетесь запутаться в обилии формул, то пользуйтесь привычной общей формулой корней квадратного уравнения. <br /><br /><br />
| + | |
- | </p><p><br />
| + | |
- | </p><p><sub>Календарно-тематическое планирование по математике, задачи и ответы школьнику <a href="Гипермаркет знаний - первый в мире!">онлайн</a>, курсы учителю по математике <a href="Математика">скачать</a></sub>
| + | |
- | </p><p><br />
| + | |
- | </p>
| + | |
- | <pre class="_fck_mw_lspace"><b><u>Содержание урока</u></b>
| + | |
- | <u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> конспект урока </b>
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> опорный каркас
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> презентация урока
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> акселеративные методы
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> интерактивные технологии
| + | |
| | | |
- | <b><u>Практика</u></b>
| + | '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]>>Математика: Еще одна формула корней квадратного уравнения''' |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> задачи и упражнения
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> самопроверка
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> практикумы, тренинги, кейсы, квесты
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> домашние задания
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> дискуссионные вопросы
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> риторические вопросы от учеников
| + | |
- |
| + | |
- | <b><u>Иллюстрации</u></b>
| + | |
- | <u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> аудио-, видеоклипы и мультимедиа </b>
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> фотографии, картинки
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> графики, таблицы, схемы
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> юмор, анекдоты, приколы, комиксы
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
| + | |
| | | |
- | <b><u>Дополнения</u></b> | + | <br> <br> |
- | <u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> рефераты</b> | + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> статьи | + | '''Еще одна формула корней квадратного уравнения''' |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> фишки для любознательных
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> шпаргалки | + | <br>Мы с вами уже привыкли к тому, что '''[[Степени и корни. Степенные функции. Основные результаты|корни]]''' квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + bх + с = 0 находятся по формуле |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> учебники основные и дополнительные | + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> словарь терминов | + | [[Image:14-06-37.jpg|320px|Формула]]<br><br>(если, конечно, дискриминант D = b<sup>2</sup> — 4ас — неотрицательное число; если же D < О, то приведенная формула не имеет смысла, а квадратное уравнение не имеет корней). |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> прочие
| + | |
- | <b><u></u></b> | + | Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что '''[[Конспект уроку на тему «Формула коренів квадратного рівняння»|формулу]]''' (1) можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число. <br>В самом деле, пусть у квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0. |
- | <u>Совершенствование учебников и уроков | + | |
- | </u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> исправление ошибок в учебнике</b> | + | коэффициент b имеет вид b — 2k. Подставив в формулу (1) число 2k вместо b, получим: [[Image:14-06-38.jpg|480px|Решение]]<br><br>Итак, корни квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + + 2kx + с = О можно вычислять по формуле |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> обновление фрагмента в учебнике
| + | |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> элементы новаторства на уроке
| + | [[Image:14-06-39.jpg|320px|Формула]]<br>Сравните эту формулу с формулой (1). В чем ее преимущества? |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> замена устаревших знаний новыми
| + | |
| + | Во-первых, в квадрат возводится не число b, а его половина [[Image:14-06-40.jpg|Формула]] |
| + | |
| + | Во-вторых, вычитается из этого квадрата не 4ас, a просто ас. |
| + | |
| + | В-третьих, в знаменателе содержится не 2а, а просто а. Как видите, по крайней мере в трех моментах мы облегчаем себе выкладки. Особенно приятно выглядит формула (2) для приведенного '''[[Презентація уроку на тему "Квадратні рівняння. Теорема Вієта"|квадратного уравнения]]''', т. е. для случая, когда а = 1. Тогда получаем |
| + | |
| + | [[Image:14-06-41.jpg|320px|Формула]]<br><br>Это — формула корней уравнения х<sup>2</sup> + 2kx + с — 0. |
| + | |
| + | Вернемся к предыдущему параграфу и еще раз решим некоторые из имеющихся там квадратных уравнений — для сравнения трудоемкости вычислений по старой формуле (формуле (1)) и по новой формуле (формуле(2) или (3)). |
| + | |
| + | В примере 1 из § 22 получилось квадратное уравнение х<sup>2</sup> + 10x - 7200 = 0. |
| + | |
| + | Мы решали его так: |
| + | |
| + | [[Image:14-06-42.jpg|420px|Решение]]<br><br>А теперь решим то же квадратное уравнение по формуле (3), учитывая, что в данном случае b = 10, т. е. 2k = 10, k = 5. Имеем |
| + | |
| + | [[Image:14-06-43.jpg|420px|Решение]]<br><br>В примере 3 из § 22 было получено квадратное уравнение х<sup>2</sup> - 92х + 960 = 0. |
| + | |
| + | Мы решали его так: |
| + | |
| + | [[Image:14-06-44.jpg|320px|Решение]]<br><br>А теперь решим это квадратное уравнение по формуле (3), учитывая, что в данном случае b = - 92, т. е. 2k = - 92, k = - 46. |
| + | |
| + | Имеем |
| + | |
| + | [[Image:14-06-45.jpg|320px|Решение]]<br><br>Думается, что преимущества новой формулы вы оценили. |
| + | |
| + | В заключение параграфа рассмотрим еще одно квадратное уравнение, которое мы решали по старой формуле (см. пример 6 из § 20), а теперь решим по-новому. Речь идет об уравнении |
| + | |
| + | [[Image:14-06-46.jpg|420px|Решение]]<br><br>Сравните этот вариант решения с тем, который был предложен в § 20. Согласитесь, что так работать проще. <br>Итак, если вам встретилось квадратное уравнение вида ах<sup>2</sup> + 2kx + с = 0, то советуем пользоваться формулой (2) (или (3), в случае, когда а = 1), поскольку вычисления будут проще. Но если вы опасаетесь запутаться в обилии формул, то пользуйтесь привычной общей формулой корней квадратного уравнения. <br><br> |
| + | |
| + | ''Мордкович А. Г., [http://xvatit.com/vuzi/ '''Алгебра''']. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. '' |
| + | |
| + | <br> |
| + | |
| + | <sub>[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса [[Математика|скачать]]</sub> |
| + | |
| + | <br> |
| + | |
| + | '''<u>Содержание урока</u>''' |
| + | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока ''' |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии |
| | | |
- | <b><u>Только для учителей</u></b>
| + | '''<u>Практика</u>''' |
- | <u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> идеальные уроки </b> | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> календарный план на год | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> методические рекомендации
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> программы | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания |
- | <img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> обсуждения | + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников |
| + | |
| + | '''<u>Иллюстрации</u>''' |
| + | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа ''' |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты |
| + | |
| + | '''<u>Дополнения</u>''' |
| + | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты''' |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие |
| + | '''<u></u>''' |
| + | <u>Совершенствование учебников и уроков |
| + | </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике''' |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми |
| + | |
| + | '''<u>Только для учителей</u>''' |
| + | <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки ''' |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы |
| + | [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения |
| + | |
| + | |
| + | '''<u>Интегрированные уроки</u>'''<u> |
| + | </u> |
| + | |
| + | <br> |
| | | |
| + | Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, [http://xvatit.com/index.php?do=feedback напишите нам]. |
| | | |
- | <b><u>Интегрированные уроки</u></b><u>
| + | Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - [http://xvatit.com/forum/ Образовательный форум]. |
- | </u>
| + | |
- | </pre>
| + | |
- | <p><br />
| + | |
- | </p><p>Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, <a href="http://xvatit.com/index.php?do=feedback">напишите нам</a>.
| + | |
- | </p><p>Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - <a href="http://xvatit.com/forum/">Образовательный форум</a>.
| + | |
- | </p>
| + | |
Текущая версия на 12:47, 8 октября 2012
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Еще одна формула корней квадратного уравнения
Еще одна формула корней квадратного уравнения
Мы с вами уже привыкли к тому, что корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 находятся по формуле
![Формула](/images/1/10/14-06-37.jpg)
(если, конечно, дискриминант D = b2 — 4ас — неотрицательное число; если же D < О, то приведенная формула не имеет смысла, а квадратное уравнение не имеет корней).
Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что формулу (1) можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число. В самом деле, пусть у квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
коэффициент b имеет вид b — 2k. Подставив в формулу (1) число 2k вместо b, получим: ![Решение](/images/6/61/14-06-38.jpg)
Итак, корни квадратного уравнения ах2 + + 2kx + с = О можно вычислять по формуле
![Формула](/images/9/93/14-06-39.jpg) Сравните эту формулу с формулой (1). В чем ее преимущества?
Во-первых, в квадрат возводится не число b, а его половина
Во-вторых, вычитается из этого квадрата не 4ас, a просто ас.
В-третьих, в знаменателе содержится не 2а, а просто а. Как видите, по крайней мере в трех моментах мы облегчаем себе выкладки. Особенно приятно выглядит формула (2) для приведенного квадратного уравнения, т. е. для случая, когда а = 1. Тогда получаем
![Формула](/images/0/07/14-06-41.jpg)
Это — формула корней уравнения х2 + 2kx + с — 0.
Вернемся к предыдущему параграфу и еще раз решим некоторые из имеющихся там квадратных уравнений — для сравнения трудоемкости вычислений по старой формуле (формуле (1)) и по новой формуле (формуле(2) или (3)).
В примере 1 из § 22 получилось квадратное уравнение х2 + 10x - 7200 = 0.
Мы решали его так:
![Решение](/images/9/95/14-06-42.jpg)
А теперь решим то же квадратное уравнение по формуле (3), учитывая, что в данном случае b = 10, т. е. 2k = 10, k = 5. Имеем
![Решение](/images/7/76/14-06-43.jpg)
В примере 3 из § 22 было получено квадратное уравнение х2 - 92х + 960 = 0.
Мы решали его так:
![Решение](/images/b/b7/14-06-44.jpg)
А теперь решим это квадратное уравнение по формуле (3), учитывая, что в данном случае b = - 92, т. е. 2k = - 92, k = - 46.
Имеем
![Решение](/images/9/94/14-06-45.jpg)
Думается, что преимущества новой формулы вы оценили.
В заключение параграфа рассмотрим еще одно квадратное уравнение, которое мы решали по старой формуле (см. пример 6 из § 20), а теперь решим по-новому. Речь идет об уравнении
![Решение](/images/2/2d/14-06-46.jpg)
Сравните этот вариант решения с тем, который был предложен в § 20. Согласитесь, что так работать проще. Итак, если вам встретилось квадратное уравнение вида ах2 + 2kx + с = 0, то советуем пользоваться формулой (2) (или (3), в случае, когда а = 1), поскольку вычисления будут проще. Но если вы опасаетесь запутаться в обилии формул, то пользуйтесь привычной общей формулой корней квадратного уравнения.
Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.
онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|