KNOWLEDGE HYPERMARKET


Свойство диагоналей параллелограмма
 
Строка 1: Строка 1:
-
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Свойство диагоналей параллелограмма</metakeywords>  
+
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Свойство диагоналей параллелограмма, отрезок, прямая, Треугольники</metakeywords>  
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]&gt;&gt;Математика: Свойство диагоналей параллелограмма'''  
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 8 класс|Математика 8 класс]]&gt;&gt;Математика: Свойство диагоналей параллелограмма'''  
Строка 5: Строка 5:
<br>  
<br>  
-
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; '''СВОЙСТВО ДИАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА'''
+
'''Свойство диагоналей параллелограмма'''  
-
<br>Теорема 6.2 (обратная теореме 6.1).'''''Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.'''''
+
<br>Теорема 6.2 (обратная теореме 6.1). Диагонали '''[[Паралелограм. Ознаки паралелограма. Властивості паралелограма|параллелограмма]]''' пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.  
-
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 120). Проведем его диагональ BD. Отметим на&nbsp; ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отрезок ОС<sub>1</sub>, равный АО.
+
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 120). Проведем его диагональ BD. Отметим на&nbsp; ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим '''[[Отрезок. Полные уроки|отрезок]]''' ОС<sub>1</sub>, равный АО.  
-
По теореме 6.1 четырехугольник ABC<sub>1</sub>D есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВС<sub>1</sub> параллельна AD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную AD. Значит, прямая ВС<sub>1</sub> совпадает с прямой ВС.
+
По теореме 6.1 четырехугольник ABC<sub>1</sub>D есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВС<sub>1</sub> параллельна AD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную AD. Значит, прямая ВС<sub>1</sub> совпадает с прямой ВС.  
-
Точно так же доказывается, что прямая DC<sub>1</sub> совпадает с прямой DC.
+
Точно так же доказывается, что '''[[Точка и прямая|прямая]]''' DC<sub>1</sub> совпадает с прямой DC.  
-
Значит, точка С<sub>1 </sub>совпадает с точкой С. Параллелограмм ABCD совпадает с ABC<sub>1</sub>D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
+
Значит, точка С<sub>1 </sub>совпадает с точкой С. Параллелограмм ABCD совпадает с ABC<sub>1</sub>D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.<br>
 +
[[Image:22-06-4.jpg|480px|Свойство диагоналей параллелограмма]]<br>Задача (6). Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
 +
'''Решение'''. Пусть ABCD — данный параллелограмм и EF — прямая, пересекающая параллельные стороны АВ и CD (рис. 121). '''[[Треугольник. Полные уроки|Треугольники]]''' ОАЕ и ОСЕ равны по второму признаку. У них стороны OA и ОС равны, так как О — середина диагонали АС. Углы при вершине О равны как вертикальные, а углы ЕАО и FCO равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ, CD и секущей АС.
-
[[Image:22-06-4.jpg]]<br><br><br>Задача (6). Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
+
Из равенства треугольников следует равенство сторон: OE=OF, что и требовалось доказать.&nbsp;
-
Решение. Пусть ABCD — данный параллелограмм и EF — прямая, пересекающая параллельные стороны АВ и CD (рис. 121). Треугольники ОАЕ и ОСЕ равны по второму признаку. У них стороны OA и ОС равны, так как О — середина диагонали АС. Углы при вершине О равны как вертикальные, а углы ЕАО и FCO равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ, CD и секущей АС.
+
<br> ''А. В. Погорелов, [http://xvatit.com/vuzi/ '''Геометрия'''] для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>
-
Из равенства треугольников следует равенство сторон: OE=OF, что и требовалось доказать.<br><br>&nbsp;
 
-
<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>
 
<sub>Планирование уроков по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, домашнее задание по математике 8 класса [[Математика|скачать]]</sub>  
<sub>Планирование уроков по математике [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], задачи и ответы по классам, домашнее задание по математике 8 класса [[Математика|скачать]]</sub>  
Строка 32: Строка 32:
  '''<u>Содержание урока</u>'''
  '''<u>Содержание урока</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
   
   
  '''<u>Практика</u>'''
  '''<u>Практика</u>'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-
 
+
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   
   
  '''<u>Дополнения</u>'''
  '''<u>Дополнения</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                           
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
  '''<u></u>'''
  '''<u></u>'''
  <u>Совершенствование учебников и уроков
  <u>Совершенствование учебников и уроков
-
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-
 
+
  '''<u>Только для учителей</u>'''
  '''<u>Только для учителей</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
   
   
   
   

Текущая версия на 19:58, 8 октября 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Свойство диагоналей параллелограмма


Свойство диагоналей параллелограмма


Теорема 6.2 (обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 120). Проведем его диагональ BD. Отметим на  ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отрезок ОС1, равный АО.

По теореме 6.1 четырехугольник ABC1D есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВС1 параллельна AD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную AD. Значит, прямая ВС1 совпадает с прямой ВС.

Точно так же доказывается, что прямая DC1 совпадает с прямой DC.

Значит, точка С1 совпадает с точкой С. Параллелограмм ABCD совпадает с ABC1D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Свойство диагоналей параллелограмма
Задача (6). Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.

Решение. Пусть ABCD — данный параллелограмм и EF — прямая, пересекающая параллельные стороны АВ и CD (рис. 121). Треугольники ОАЕ и ОСЕ равны по второму признаку. У них стороны OA и ОС равны, так как О — середина диагонали АС. Углы при вершине О равны как вертикальные, а углы ЕАО и FCO равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ, CD и секущей АС.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: OE=OF, что и требовалось доказать. 


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Планирование уроков по математике онлайн, задачи и ответы по классам, домашнее задание по математике 8 класса скачать


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.