KNOWLEDGE HYPERMARKET


Тригонометрические функции углового аргумента
(Создана новая страница размером '''Гипермаркет знаний>>[[Математика|...)
 
(2 промежуточные версии не показаны)
Строка 1: Строка 1:
-
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика: Тригонометрические функции углового аргумента<metakeywords>Тригонометрические функции углового аргумента</metakeywords>'''  
+
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика: Тригонометрические функции углового аргумента<metakeywords>Тригонометрические функции углового аргумента? косинус, синуса, окружностью, сантиметры, аргументом, прямоугольный треугольник</metakeywords>'''  
 +
<br>
-
А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс  
+
'''Тригонометрические функции углового аргумента'''<br>
 +
 
 +
<br>Термины «синус», «[[Косинус угла. Полные уроки|косинус]]», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были вам знакомы, правда, использовали вы их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс угла (а не числа, как это было в предыдущих параграфах).<br>
 +
 
 +
Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла — это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла — это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям [[4. Синус и косинус|синуса]], косинуса, тангенса и котангенса развивали мы в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны, в чем мы сейчас убедимся.<br>
 +
 
 +
Возьмем угол с градусной мерой &lt;х° и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 112: вершину угла совместим с центром окружности (с началом системы координат), а одну сторону угла совместим с положительным лучом оси абсцисс. Точку пересечения второй стороны угла с [[Окружность и круг|окружностью]] обозначим буквой М. Ординату точки М естественно считать синусом угла а°, а абсциссу этой точки — косинусом угла а°.
 +
 
 +
[[Image:Alg51.jpg|240px|Числовая окружность]]<br>
 +
 
 +
Для отыскания синуса или косинуса угла а° совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения. Достаточно заметить, что дуга АМ составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол а составляет от угла 360°. Если длину дуги АМ обозначить буквой то получим:
 +
 
 +
[[Image:Alg52.jpg|420px|Решение]]<br>Считают, что 30° — это градусная мера угла, а
 +
 
 +
[[Image:Alg53.jpg|420px|Решение]]<br>Ради краткости условились обозначение «рад» опускать, т.е. вполне допустимой является следующая запись:
 +
 
 +
[[Image:Alg54.jpg|240px|Решение]]<br>Так что же такое 1 радиан? Вы знаете, что есть различные меры длин отрезков: [[Вимірювання довжини відрізків у сантиметрах та дециметрах і сантиметрах|сантиметры]], метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° — это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую&nbsp; часть окружности. Угол в 1 радиан — 360 это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу 180° окружности. Из формулы&nbsp;&nbsp;получаем, 1 рад&nbsp;: что 1 рад = 57,3°.
 +
 
 +
Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым [[Тригонометрические функции числового аргумента|аргументом]]. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.
 +
 
 +
Завершая этот параграф, убедимся в том, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые вы изучали в геометрии, представляют собой частные случаи тех определений, что были предложены в этой главе.
 +
 
 +
[[Image:Alg57.jpg|480px|Теорема]]<br>Доказательство. Совместим [[Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника|прямоугольный треугольник]] АВС с числовой окружностью так, как показано на рис. 114: вершину А поместим в центр окружности, катет АС «пустим» по положительному направлению оси абсцисс. Точку пересечения гипотенузы АВ с окружностью обозначим буквой М. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую АС. Заметим, что АР и МР — абсцисса и ордината точки М, т.е. АР = соs А, МР = sin А. Учтем также, что АМ = 1 (радиус числовой окружности равен 1) и что АВ = с, АС = b, ВС = а.
 +
 
 +
Так как треугольники АМР и АВС подобны, то
 +
 
 +
[[Image:Alg58.jpg|480px|Теорема]]<br>Теорема полностью доказана.<br>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
''А.Г. Мордкович [http://xvatit.com/vuzi/ Алгебра] 9 класс''
<br>  
<br>  
Строка 8: Строка 39:
  '''<u>Содержание урока</u>'''
  '''<u>Содержание урока</u>'''
-
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
   
   
  '''<u>Практика</u>'''
  '''<u>Практика</u>'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-
 
+
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
-
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   
   
  '''<u>Дополнения</u>'''
  '''<u>Дополнения</u>'''
-
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                           
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
   
   
  <u>Совершенствование учебников и уроков
  <u>Совершенствование учебников и уроков
-
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-
 
+
  '''<u>Только для учителей</u>'''
  '''<u>Только для учителей</u>'''
-
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
  '''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
   
   
   
   

Текущая версия на 19:16, 10 октября 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Тригонометрические функции углового аргумента

Тригонометрические функции углового аргумента


Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были вам знакомы, правда, использовали вы их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс угла (а не числа, как это было в предыдущих параграфах).

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла — это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла — это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали мы в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны, в чем мы сейчас убедимся.

Возьмем угол с градусной мерой <х° и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 112: вершину угла совместим с центром окружности (с началом системы координат), а одну сторону угла совместим с положительным лучом оси абсцисс. Точку пересечения второй стороны угла с окружностью обозначим буквой М. Ординату точки М естественно считать синусом угла а°, а абсциссу этой точки — косинусом угла а°.

Числовая окружность

Для отыскания синуса или косинуса угла а° совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения. Достаточно заметить, что дуга АМ составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол а составляет от угла 360°. Если длину дуги АМ обозначить буквой то получим:

Решение
Считают, что 30° — это градусная мера угла, а

Решение
Ради краткости условились обозначение «рад» опускать, т.е. вполне допустимой является следующая запись:

Решение
Так что же такое 1 радиан? Вы знаете, что есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° — это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую  часть окружности. Угол в 1 радиан — 360 это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу 180° окружности. Из формулы  получаем, 1 рад : что 1 рад = 57,3°.

Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.

Завершая этот параграф, убедимся в том, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые вы изучали в геометрии, представляют собой частные случаи тех определений, что были предложены в этой главе.

Теорема
Доказательство. Совместим прямоугольный треугольник АВС с числовой окружностью так, как показано на рис. 114: вершину А поместим в центр окружности, катет АС «пустим» по положительному направлению оси абсцисс. Точку пересечения гипотенузы АВ с окружностью обозначим буквой М. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую АС. Заметим, что АР и МР — абсцисса и ордината точки М, т.е. АР = соs А, МР = sin А. Учтем также, что АМ = 1 (радиус числовой окружности равен 1) и что АВ = с, АС = b, ВС = а.

Так как треугольники АМР и АВС подобны, то

Теорема
Теорема полностью доказана.


А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс


Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.