KNOWLEDGE HYPERMARKET


Ломаная
 
(1 промежуточная версия не показана)
Строка 1: Строка 1:
-
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, Алгебра, урок, на Тему, Ломаная</metakeywords>  
+
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, Геометрия, урок, на Тему, Ломаная, фигура, Ломаная, треугольника, окружности</metakeywords>  
-
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика:Ломаная'''  
+
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика: Ломаная'''<br>
-
<br>  
+
<br>'''Ломаная'''
-
<br>'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ЛОМАНАЯ'''
+
<br>Ломаной А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А3 ... A<sub>n</sub> называется [[Геометрические фигуры|фигура]], которая состоит из точек А<sub>1</sub>, А<sub>2</sub>, А<sub>n</sub> и соединяющих их отрезков A<sub>1</sub>,А<sub>2</sub>, А<sub>2</sub>,А<sub>3</sub>, А<sub>n-1</sub>,А<sub>n</sub>. Точки А<sub>1</sub>, А<sub>2</sub>, А<sub>n</sub> называются вершинами ломаной, а отрезки A<sub>1</sub>,А<sub>2</sub>, А<sub>2</sub>,А<sub>3</sub>, А<sub>n-1</sub>,А<sub>n</sub> — звеньями ломаной. [[Урок 6. Длина ломаной. Периметр|Ломаная]] называется простой, если она не имеет самопересечений.
-
<br>'''''Ломаной А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А3 ... A<sub>n</sub> называется фигура, которая состоит из точек А<sub>1</sub>, А<sub>2</sub>, А<sub>n</sub> и соединяющих их отрезков A<sub>1</sub>,А<sub>2</sub>, А<sub>2</sub>,А<sub>3</sub>, А<sub>n-1</sub>,А<sub>n</sub>. Точки А<sub>1</sub>, А<sub>2</sub>, А<sub>n</sub> называются вершинами ломаной, а отрезки A<sub>1</sub>,А<sub>2</sub>, А<sub>2</sub>,А<sub>3</sub>, А<sub>n-1</sub>,А<sub>n</sub> — звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений.'''''  
+
'''''[[Image:24-06-71.jpg|480px|Ломаная]]'''''<br>
-
'''''[[Image:24-06-71.jpg]]'''''
+
На рисунке 273, а показана простая ломаная, а на рисунке 273, б — ломаная с самопересечением (в точке В). Длиной ломаной называется [http://xvatit.com/busines/ сумма] длин ее звеньев.<br>
 +
''[[Image:24-06-72.jpg|180px|Ломаная]]''
 +
<br> '''Теорема 13.1'''. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
-
На рисунке 273, а показана простая ломаная, а на рисунке 273, б — ломаная с самопересечением (в точке В). '''''Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.'''''
+
'''Доказательство'''. Пусть А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> ... A<sub>n</sub>— данная ломаная (рис. 274).
-
''
+
Заменим звенья А<sub>1</sub>А<sub>2</sub> и А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> одним звеном А<sub>1</sub>А<sub>3</sub>. Получим ломаную ''А<sub>1</sub>А<sub>3</sub>А<sub>4</sub> ... A<sub>n</sub>''. Так как по неравенству [[Треугольник. Полные уроки|треугольника]] А<sub>1</sub>А<sub>3</sub>&lt;А<sub>1</sub>А<sub>2</sub> + А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>, то ломаная A<sub>1</sub>A<sub>3</sub>A<sub>4</sub> ... A<sub>n</sub> имеет длину, не большую, чем исходная ломаная.  
-
 
+
-
''[[Image:24-06-72.jpg]]''
+
-
 
+
-
 
+
-
Теорема 13.1. '''''Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.'''''
+
-
 
+
-
Доказательство. Пусть '''''А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> ... A<sub>n</sub>'''''— данная ломаная (рис. 274).
+
-
 
+
-
Заменим звенья А<sub>1</sub>А<sub>2</sub> и А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> одним звеном А<sub>1</sub>А<sub>3</sub>. Получим ломаную '''''А<sub>1</sub>А<sub>3</sub>А<sub>4</sub> ... A<sub>n</sub>'''''. Так как по неравенству треугольника<br>А<sub>1</sub>А<sub>3</sub>&lt;А<sub>1</sub>А<sub>2</sub> + А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>, то ломаная A<sub>1</sub>A<sub>3</sub>A<sub>4</sub> ... A<sub>n</sub> имеет длину, не большую, чем исходная ломаная.  
+
Заменяя таким же образом звенья А<sub>1</sub>А<sub>3</sub> и А<sub>3</sub>А<sub>4</sub> звеном А<sub>1</sub>А<sub>4</sub>, переходим к ломаной А<sub>1</sub>А<sub>4</sub>А<sub>5</sub> ... А<sub>n</sub>, которая также имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. И т. д. В итоге мы придем к отрезку A<sub>1</sub>A<sub>n</sub> соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка A<sub>1</sub>A<sub>n</sub>. Теорема доказана.  
Заменяя таким же образом звенья А<sub>1</sub>А<sub>3</sub> и А<sub>3</sub>А<sub>4</sub> звеном А<sub>1</sub>А<sub>4</sub>, переходим к ломаной А<sub>1</sub>А<sub>4</sub>А<sub>5</sub> ... А<sub>n</sub>, которая также имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. И т. д. В итоге мы придем к отрезку A<sub>1</sub>A<sub>n</sub> соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка A<sub>1</sub>A<sub>n</sub>. Теорема доказана.  
-
Задача (1). Даны две окружности с радиусами R<sub>1</sub> и R<sub>2</sub> и расстоянием между центрами d&gt;R<sub>1</sub>+R<sub>2</sub>. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и Y этих окружностей?  
+
'''Задача (1)'''. Даны две [[Окружность, описанная около треугольника. Полные уроки|окружности]] с радиусами R<sub>1</sub> и R<sub>2</sub> и расстоянием между центрами d&gt;R<sub>1</sub>+R<sub>2</sub>. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и Y этих окружностей?<br>
 +
[[Image:24-06-73.jpg|480px|Задача]]<br>
 +
Решение. Для ломаной 0<sub>1</sub>ХУ0<sub>2</sub> по теореме 13.1 O<sub>1</sub>O<sub>2</sub>[[Image:24-06-54.jpg]]O<sub>1</sub>X + XY + YO<sub>2</sub> (рис. 275). Значит, d[[Image:24-06-54.jpg]]R<sub>1</sub>+XY +R<sub>2</sub>. Отсюда XY[[Image:24-06-66.jpg]]R<sub>1</sub>—R<sub>2</sub>. Так как AC = d — R<sub>1</sub>—R<sub>2</sub>, то наименьшее расстояние между точками окружностей равно d — R<sub>1</sub>—R<sub>2</sub>.
-
[[Image:24-06-73.jpg]]  
+
Для ломаной ХО<sub>1</sub>О<sub>2</sub>У по той же теореме ХУ [[Image:24-06-54.jpg]]R<sub>1</sub> +d +R<sub>2</sub>. Так как BD = d+R<sub>1</sub> +R<sub>2</sub>, то наибольшее расстояние между точками окружностей равно d+R<sub>1</sub> +R<sub>2</sub>,.&nbsp;
 +
<br> ''А. В. Погорелов, [http://xvatit.com/vuzi/ Геометрия] для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>
-
Решение. Для ломаной 0<sub>1</sub>ХУ0<sub>2</sub> по теореме 13.1 O<sub>1</sub>O<sub>2</sub>[[Image:24-06-54.jpg]]O<sub>1</sub>X + XY + YO<sub>2</sub> (рис. 275). Значит, d[[Image:24-06-54.jpg]]R<sub>1</sub>+XY +R<sub>2</sub>. Отсюда XY[[Image:24-06-66.jpg]]R<sub>1</sub>—R<sub>2</sub>. Так как AC = d — R<sub>1</sub>—R<sub>2</sub>, то наименьшее расстояние между точками окружностей равно d — R<sub>1</sub>—R<sub>2</sub>.
 
-
 
-
Для ломаной ХО<sub>1</sub>О<sub>2</sub>У по той же теореме ХУ [[Image:24-06-54.jpg]]R<sub>1</sub> +d +R<sub>2</sub>. Так как BD = d+R<sub>1</sub> +R<sub>2</sub>, то наибольшее расстояние между точками окружностей равно d+R<sub>1</sub> +R<sub>2</sub>,.<br><br><br><br>&nbsp;
 
-
 
-
<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>
 
<sub>Помощь школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 9 класса [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование</sub>  
<sub>Помощь школьнику [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]], Математика для 9 класса [[Математика|скачать]], календарно-тематическое планирование</sub>  
Строка 47: Строка 38:
  '''<u>Содержание урока</u>'''
  '''<u>Содержание урока</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
   
   
  '''<u>Практика</u>'''
  '''<u>Практика</u>'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-
 
+
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   
   
  '''<u>Дополнения</u>'''
  '''<u>Дополнения</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                           
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
  '''<u></u>'''
  '''<u></u>'''
  <u>Совершенствование учебников и уроков
  <u>Совершенствование учебников и уроков
-
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-
 
+
  '''<u>Только для учителей</u>'''
  '''<u>Только для учителей</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
   
   
   
   

Текущая версия на 11:41, 11 октября 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Ломаная


Ломаная


Ломаной А1А2А3 ... An называется фигура, которая состоит из точек А1, А2, Аn и соединяющих их отрезков A12, А23, Аn-1n. Точки А1, А2, Аn называются вершинами ломаной, а отрезки A12, А23, Аn-1n — звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений.

Ломаная

На рисунке 273, а показана простая ломаная, а на рисунке 273, б — ломаная с самопересечением (в точке В). Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Ломаная


Теорема 13.1. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Доказательство. Пусть А1А2А3 ... An— данная ломаная (рис. 274).

Заменим звенья А1А2 и А2А3 одним звеном А1А3. Получим ломаную А1А3А4 ... An. Так как по неравенству треугольника А1А31А2 + А2А3, то ломаная A1A3A4 ... An имеет длину, не большую, чем исходная ломаная.

Заменяя таким же образом звенья А1А3 и А3А4 звеном А1А4, переходим к ломаной А1А4А5 ... Аn, которая также имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. И т. д. В итоге мы придем к отрезку A1An соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка A1An. Теорема доказана.

Задача (1). Даны две окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между центрами d>R1+R2. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и Y этих окружностей?

Задача

Решение. Для ломаной 01ХУ02 по теореме 13.1 O1O224-06-54.jpgO1X + XY + YO2 (рис. 275). Значит, d24-06-54.jpgR1+XY +R2. Отсюда XY24-06-66.jpgR1—R2. Так как AC = d — R1—R2, то наименьшее расстояние между точками окружностей равно d — R1—R2.

Для ломаной ХО1О2У по той же теореме ХУ 24-06-54.jpgR1 +d +R2. Так как BD = d+R1 +R2, то наибольшее расстояние между точками окружностей равно d+R1 +R2,. 


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Помощь школьнику онлайн, Математика для 9 класса скачать, календарно-тематическое планирование


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.