KNOWLEDGE HYPERMARKET


Выпуклые многоугольники
 
(1 промежуточная версия не показана)
Строка 1: Строка 1:
-
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, Геометрия, урок, на Тему, Выпуклые многоугольники</metakeywords>  
+
<metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 9 класс, Геометрия, урок, на Тему, Выпуклые многоугольники, Ломаная, многоугольника, угол, треугольника</metakeywords>  
-
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика:Выпуклые многоугольники'''  
+
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика:Выпуклые многоугольники''' <br>  
-
<br>
+
-
'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ'''<br>
+
<br>  
-
'''''<br>Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают'''''. Простая замкнутая ломаная называется '''''многоугольником''''', если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 276). '''''Вершины ломаной''''' называются '''''вершинами многоугольника''''', а '''''звенья ломаной — сторонами многоугольника.'''''
+
'''Выпуклые многоугольники'''<br>  
-
'''''''Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями'''''. Многоугольник с n вершинами, а значит, и с n сторонами называется n-уголъником.<br>
+
<br>[[Урок 6. Длина ломаной. Периметр|Ломанаяназывается]] замкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 276). Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника.  
-
'''''Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником''''' (рис. 277).<br>&nbsp;<br>[[Image:24-06-74.jpg]]&nbsp;<br><br>Многоугольник называется '''''выпуклым''''', если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается '''''принадлежащей полуплоскости'''''. На рисунке 278, о изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б — невыпуклый. '''''Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.'''''
+
Отрезки, соединяющие не соседние вершины [[Площадь ортогональной проекции многоугольника|многоугольник]], называются диагоналями. Многоугольник с n вершинами, а значит, и с n сторонами называется n-угольником.<br>
-
<br>
+
Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 277).<br>&nbsp;<br>[[Image:24-06-74.jpg|480px|Плоский многоугольник]]&nbsp;<br><br>Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 278, о изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б — невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется [[Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник|угол]], образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.<br>  
-
[[Image:24-06-75.jpg]]<br><br>Теорема 13.2. '''''Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°-(n-2).'''''
+
[[Image:24-06-75.jpg|480px|Плоский многоугольник]]<br><br>'''Теорема 13.2'''. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°-(n-2).  
-
Доказательство. В случае n = b теорема справедлива. Пусть A<sub>1</sub>A<sub>2</sub> ... A<sub>n</sub> —данный выпуклый многоугольник и n&gt;b (рис. 279). Проведем n — b диагонали: А<sub>1</sub>А<sub>3</sub>, А<sub>1</sub>А<sub>4</sub>, ...A<sub>1</sub>A<sub>n-1</sub>. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n —2 треугольника: [[Image:21-06-11.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>, [[Image:21-06-11.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>3</sub>А<sub>4</sub>, ... .... [[Image:21-06-11.jpg]]A<sub>1</sub>A<sub>1-n</sub>A<sub>n</sub>. <br>
+
'''Доказательство'''. В случае n = b теорема справедлива. Пусть A<sub>1</sub>A<sub>2</sub> ... A<sub>n</sub> —данный выпуклый многоугольник и n&gt;b (рис. 279). Проведем n — b диагонали: А<sub>1</sub>А<sub>3</sub>, А<sub>1</sub>А<sub>4</sub>, ...A<sub>1</sub>A<sub>n-1</sub>. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n —2 треугольника: [[Image:21-06-11.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>, [[Image:21-06-11.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>3</sub>А<sub>4</sub>, ... .... [[Image:21-06-11.jpg]]A<sub>1</sub>A<sub>1-n</sub>A<sub>n</sub>. <br>  
-
Сумма углов многоугольника А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub> совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число этих треугольников есть n — 2. Поэтому сумма углов выпуклого n-угольника А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub> равна 180°-(n —2). Теорема доказана.
+
[http://xvatit.com/busines/ Сумма] углов многоугольника А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub> совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого [[Отрезок. Длина отрезка. Треугольник|треугольника]] равна 180°, а число этих треугольников есть n — 2. Поэтому сумма углов выпуклого n-угольника А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub> равна 180°-(n —2). Теорема доказана.  
-
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.
+
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.  
-
Задача (9). Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-угольника, взятых по одному при каждой вершине?
+
Задача (9). Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-угольника, взятых по одному при каждой вершине?  
-
Решение. Сумма внутреннего угла многоугольника и смежного с ним внешнего равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180° • n. Но сумма всех внутренних углов равна 180°•(n — 2). Значит, сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 180°• n-180°-(n-2)==360°.
+
Решение. Сумма внутреннего угла многоугольника и смежного с ним внешнего равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180° • n. Но сумма всех внутренних углов равна 180°•(n — 2). Значит, сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 180°• n-180°-(n-2)==360°.  
<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  
<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  
 +
 +
<br>
<sub>Рефераты, домашняя работа по математике [[Математика|скачать]], учебники скатать бесплатно, [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] уроки, вопросы и ответы</sub>  
<sub>Рефераты, домашняя работа по математике [[Математика|скачать]], учебники скатать бесплатно, [[Гипермаркет знаний - первый в мире!|онлайн]] уроки, вопросы и ответы</sub>  
Строка 33: Строка 34:
  '''<u>Содержание урока</u>'''
  '''<u>Содержание урока</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] конспект урока                      '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] конспект урока                      '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] опорный каркас   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] опорный каркас   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] презентация урока
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] презентация урока
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] акселеративные методы  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] акселеративные методы  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] интерактивные технологии  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] интерактивные технологии  
   
   
  '''<u>Практика</u>'''
  '''<u>Практика</u>'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] задачи и упражнения  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] задачи и упражнения  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] самопроверка
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] самопроверка
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] практикумы, тренинги, кейсы, квесты
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] домашние задания
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] домашние задания
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] дискуссионные вопросы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] дискуссионные вопросы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] риторические вопросы от учеников
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] риторические вопросы от учеников
-
 
+
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
  '''<u>Иллюстрации</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] аудио-, видеоклипы и мультимедиа '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фотографии, картинки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фотографии, картинки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] графики, таблицы, схемы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] графики, таблицы, схемы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] юмор, анекдоты, приколы, комиксы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
   
   
  '''<u>Дополнения</u>'''
  '''<u>Дополнения</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] рефераты'''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] рефераты'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] статьи  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] статьи  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] фишки для любознательных  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] фишки для любознательных  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] шпаргалки  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] шпаргалки  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] учебники основные и дополнительные
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] учебники основные и дополнительные
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] словарь терминов                           
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] словарь терминов                           
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] прочие  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] прочие  
  '''<u></u>'''
  '''<u></u>'''
  <u>Совершенствование учебников и уроков
  <u>Совершенствование учебников и уроков
-
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] исправление ошибок в учебнике'''
+
  </u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] исправление ошибок в учебнике'''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обновление фрагмента в учебнике  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обновление фрагмента в учебнике  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] элементы новаторства на уроке  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] элементы новаторства на уроке  
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] замена устаревших знаний новыми  
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] замена устаревших знаний новыми  
-
 
+
  '''<u>Только для учителей</u>'''
  '''<u>Только для учителей</u>'''
-
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] идеальные уроки '''
+
  <u></u>'''[[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] идеальные уроки '''
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] календарный план на год   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] календарный план на год   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] методические рекомендации   
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] методические рекомендации   
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] программы
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] программы
-
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px]] обсуждения
+
  [[Image:1236084776 kr.jpg|10x10px|1236084776 kr.jpg]] обсуждения
   
   
   
   

Текущая версия на 11:47, 11 октября 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика:Выпуклые многоугольники


Выпуклые многоугольники


Ломанаяназывается замкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 276). Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника.

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольник, называются диагоналями. Многоугольник с n вершинами, а значит, и с n сторонами называется n-угольником.

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 277).
 
Плоский многоугольник 

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 278, о изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б — невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Плоский многоугольник

Теорема 13.2. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°-(n-2).

Доказательство. В случае n = b теорема справедлива. Пусть A1A2 ... An —данный выпуклый многоугольник и n>b (рис. 279). Проведем n — b диагонали: А1А3, А1А4, ...A1An-1. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n —2 треугольника: 21-06-11.jpgА1А2А3, 21-06-11.jpgА1А3А4, ... .... 21-06-11.jpgA1A1-nAn.

Сумма углов многоугольника А1А2...Аn совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число этих треугольников есть n — 2. Поэтому сумма углов выпуклого n-угольника А1А2...Аn равна 180°-(n —2). Теорема доказана.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

Задача (9). Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-угольника, взятых по одному при каждой вершине?

Решение. Сумма внутреннего угла многоугольника и смежного с ним внешнего равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180° • n. Но сумма всех внутренних углов равна 180°•(n — 2). Значит, сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 180°• n-180°-(n-2)==360°.


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений


Рефераты, домашняя работа по математике скачать, учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.