'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс. Полные уроки|Математика 8 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Расстояние между точками. Полные уроки'''
'''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 8 класс. Полные уроки|Математика 8 класс. Полные уроки]]>>Геометрия: Расстояние между точками. Полные уроки'''
-
----
+
<br>
-
ТЕМА УРОКА: <u>'''Расстояние между точками.'''</u><br>
+
== Тема урока ==
-
=== Цели урока: ===
+
*'''Расстояние между точками.'''
+
+
== Цели урока ==
*Углубить знания по геометрии и познакомится с новым материалом для анализирования.
*Углубить знания по геометрии и познакомится с новым материалом для анализирования.
-
*Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.<br>
+
*Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
*Научиться применять свойства фигур при решении задач.
*Научиться применять свойства фигур при решении задач.
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
-
=== <br>Задачи урока: ===
+
== Задачи урока ==
*Проверить умение учащихся решать задачи.
*Проверить умение учащихся решать задачи.
*Заинтересовать в геометрии как науке.
*Заинтересовать в геометрии как науке.
-
<br>
+
== План урока ==
-
+
-
=== План урока: ===
+
-
#Вступительное слово.<br>
+
#Вступительное слово.
#Повторение ранее изученного материала.
#Повторение ранее изученного материала.
#Историческая справка.
#Историческая справка.
Строка 28:
Строка 28:
#Логические задачи.
#Логические задачи.
-
<br>
+
<br>
-
=== <u>Вступительное слово.</u> ===
+
=== Вступительное слово ===
-
В течение почти 2.5 тысячелетий евклидова геометрия является одним из столпов школьной математики. практически в неизменной форме она дошла до нашего времени. Случай этот уникален. почти забыта физика Аристотеля, о математическом анализе Архимеда вспоминают лишь историки математики. Школьная же геометрия базируется на геометрии Евклида. Разница в основном лишь в методике изложения.<br>
+
В течение почти 2.5 тысячелетий евклидова геометрия является одним из столпов школьной математики. практически в неизменной форме она дошла до нашего времени. Случай этот уникален. почти забыта физика Аристотеля, о математическом анализе Архимеда вспоминают лишь историки математики. Школьная же геометрия базируется на геометрии Евклида. Разница в основном лишь в методике изложения.<br>
-
{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="0"
-
|-
-
| [[Image:81062011 0.jpg]]<br>
-
|
-
Евклид - древнегреческий математик. Мировую известность приобрёл благодаря сочинению по основам математики «Начала»
-
<br>
+
[[Image:81062011 0.jpg|300px|Евклид]]
+
+
''Евклид - древнегреческий [http://xvatit.com/busines/jobs-career/ математик]. Мировую известность приобрёл благодаря сочинению по основам математики «Начала» ок. 300 г. до н. э.''
-
ок. 300 г. до н. э.
-
|}
+
{{#ev:youtube|1zapZdTbovw}}<br>
-
{{#ev:youtube|1zapZdTbovw}}<br>
+
Сила традиционной геометрии - в ее общности, универсальности. Слабость - в абстрагировании, создающем предпосылки для размытия основополагающих понятий геометрии, размытия, затрудняющего их сопоставление с реальными объектами, явлениями или процессами. До определенного времени этому обстоятельству не придавали серьезного значения, однако, когда наступила пора подвергнуть геометрию критическому переосмысливанию, высветилась эта слабая сторона геометрии. Возникла парадоксальная ситуация: самая точная и, по-видимому, '''самая наглядная наука - геометрия - базируется на понятиях''', '''не поддающихся точным определениям'''. Чтобы оправдать такое сильное утверждение, полезно напомнить некоторые истины.<br>
-
''Сила традиционной геометрии'' - в ее общности, универсальности. Слабость - в абстрагировании, создающем предпосылки для размытия основополагающих понятий геометрии, размытия, затрудняющего их сопоставление с реальными объектами, явлениями или процессами. До определенного времени этому обстоятельству не придавали серьезного значения, однако, когда наступила пора подвергнуть геометрию критическому переосмысливанию, высветилась эта слабая сторона геометрии. Возникла парадоксальная ситуация: самая точная и, по-видимому, '''самая наглядная наука - геометрия - базируется на понятиях''', '''не поддающихся точным определениям'''. Чтобы оправдать такое сильное утверждение, полезно напомнить некоторые истины.<br>
+
Учитель, начиная обучение геометрии, произносит слова: "'''Точка '''- объект, лишенный протяженности, '''линия '''- объект, характеризуемый длиной, но лишенный ширины" - и затем иллюстрирует эти определения, отмечая мелом на доске точку и проводя линию. Однако, размеры такой точки ~ 1 мм, ширина линии также ~ 1 мм - символ точечности? Это утверждение в значительной степени базируется на авторитете учителя.<br>
-
Учитель, начиная обучение геометрии, произносит слова: "'''Точка '''- объект, лишенный протяженности, '''линия '''- объект, характеризуемый длиной, но лишенный ширины" - и затем иллюстрирует эти определения, отмечая мелом на доске точку и проводя линию. Однако, размеры такой точки ~ 1 мм, ширина<br>линии также ~ 1 мм - символ точечности? Это утверждение в значительной степени базируется на авторитете учителя.<br>
+
Те же трудности возникают при попытках эмпирически воспроизвести другое основное понятие геометрии - прямую линию. Обычно полагают, что эталоном прямой является луч света, распространяющийся в пустом пространстве. Однако в соответствии с основными принципами оптики и квантовой механики ширина пучка света по порядку величины равна длине волны LAM, а это значение невозможно свести к нулю. <br>
-
Те же трудности возникают при попытках эмпирически воспроизвести другое основное понятие геометрии - прямую линию. Обычно полагают, что эталоном прямой является луч света, распространяющийся в пустом пространстве. Однако в соответствии с основными принципами оптики и квантовой механики ширина пучка света по порядку величины равна длине волны LAM, а это значение невозможно свести к нулю. <br>
=== <u>Повторение ранее изученного материала. </u><br> ===
+
=== Повторение ранее изученного материала ===
-
[[Image:O.gif]] В геометрии, '''точкой '''называют абстрактный объект в ''пространстве'', не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других измеримых характеристик.
+
В геометрии, '''точкой '''называют абстрактный объект в '''пространстве''', не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других измеримых характеристик.
-
[[Image:81062011 1.png]]
+
[[Image:81062011 1.png|300px|Расстояние между точками]]
-
[[Image:O.gif]] Таким образом, '''точкой '''называют нульмерный объект.
+
Таким образом, '''точкой '''называют нульмерный объект.
-
'''[[Image:O.gif]] Точка '''является одним из фундаментальных понятий в математике; любая геометрическая фигура считается состоящей из точек.<br>
+
'''Точка '''является одним из фундаментальных понятий в математике; любая геометрическая фигура считается состоящей из точек.
-
''С точкой все понятно, но что же подразумевает человек когда говорит "точка в пространстве"?''
+
С точкой все понятно, но что же подразумевает человек когда говорит "точка в пространстве"?
{{#ev:youtube|inmFX92ILjo}}
{{#ev:youtube|inmFX92ILjo}}
Строка 78:
Строка 74:
'''Геометрическая фигура''' это - любое множество точек, прямых и плоскостей.
'''Геометрическая фигура''' это - любое множество точек, прямых и плоскостей.
[[Image:21102010 3.jpg|300px|Расстояние между точками]]
-
Множество точек называется ''коллинеарным'', если существует прямая, содержащая все эти точки.<br>
-
Множество точек называется ''компланарным'', если существует плоскость, содержащая все эти точки.<br>
+
Множество точек называется '''коллинеарным''', если существует прямая, содержащая все эти точки.
-
Если точка A расположена на размеченной прямой, которая называется в этом случае "числовая прямая", то число, соответствующее этой точке, называется ее координатой. В дальнейшем, запись A(a) будет обозначать, что координата точки A число a. <br>
+
Множество точек называется '''компланарным''', если существует плоскость, содержащая все эти точки.
-
Расстояние между точками А(a) и В(b) на прямой - это модуль разности их координат, то есть AB=|(a-b)|.
+
Если точка A расположена на размеченной прямой, которая называется в этом случае "числовая прямая", то число, соответствующее этой точке, называется ее координатой. В дальнейшем, запись A(a) будет обозначать, что координата точки A число a.
-
<br>
+
Расстояние между точками А(a) и В(b) на прямой - это модуль разности их координат, то есть AB=|(a-b)|.
-
=== <u>Историческая справка.</u> ===
+
=== Историческая справка ===
Евклид начинает "Начала" с определения точки: "'''Точка есть то, что не имеет частей'''". Исторические корни двух названий точки, можно найти, смотря семантические пучки однокоренных слов, используемых для обозначения точки: здесь и "отпечаток", "след" и точка. Например, "stigmh" математическая точка (Arst), (но: "stigma " наколотая отметка; "stigmow" - укол, колотая рана). Отсюда понятно, первоначальное понятие точки, как центра . Оно обозначает колющее орудие, которым в древности погоняли животных в упряжке (старое русское слово "рожон").
Евклид начинает "Начала" с определения точки: "'''Точка есть то, что не имеет частей'''". Исторические корни двух названий точки, можно найти, смотря семантические пучки однокоренных слов, используемых для обозначения точки: здесь и "отпечаток", "след" и точка. Например, "stigmh" математическая точка (Arst), (но: "stigma " наколотая отметка; "stigmow" - укол, колотая рана). Отсюда понятно, первоначальное понятие точки, как центра . Оно обозначает колющее орудие, которым в древности погоняли животных в упряжке (старое русское слово "рожон").
Строка 98:
Строка 93:
В нашем случае речь идёт об острие ножки циркуля, закреплявшейся при вычерчивании круга. Этим термином пользовался ещё автор первых "Элементов" Гиппократ. .Латинские термины возникают не сразу. У '''Марциада Капеллы''' (5 в. н. э.) ещё говорится "punodum circult" (точка круга), и "media nota circult" (средняя метка круга).
В нашем случае речь идёт об острие ножки циркуля, закреплявшейся при вычерчивании круга. Этим термином пользовался ещё автор первых "Элементов" Гиппократ. .Латинские термины возникают не сразу. У '''Марциада Капеллы''' (5 в. н. э.) ещё говорится "punodum circult" (точка круга), и "media nota circult" (средняя метка круга).
-
<br>
-
=== <u>Расстояние между точками. </u> ===
+
=== Расстояние между точками ===
-
'''В координатах:'''
+
==== Пример №1 ====
-
[[Image:T.gif]] '''Теорема'''. ''Расстояние между точками A<sub>1</sub> и A<sub>2</sub> можно вычислить по формуле.''
+
'''Задание:'''
-
'' в пространстве'':
+
Рассмотрим простейший пример для нахождения [[Расстояние между точками|расстояния между двумя точками]], когда эти точки находятся на прямой. И так у нас есть прямая, на прямой обозначим две точки А и В. [[Координаты середины отрезка|Координаты]] точек равны 2 и 7, соответственно. <br>
-
[[Image:81062011 2.gif]]
+
[[Image:81062011 5.jpg|300px|Расстояние между точками]]
-
''на плоскости:''
+
'''Ответ:''' АВ=5
-
[[Image:81062011 3.gif|260x38px|81062011 3.gif]]
-
''на прямой:''
+
Ответ был очевиден и известен еще до начала решения. Банально, можно было просто посчитать количество единичных отрезков между точками.
-
[[Image:81062011 4.gif]]
+
Но что делать если точки находятся на плоскости и прямая этих точек не параллельна осям координат.
-
Попробуем применить эти формулы на практике и посмотрим что получится.
+
==== Пример №2 ====
-
==== Пример №1.<br> ====
+
'''Задание:'''
-
''Задание:''
+
Найти расстояние между точками А и В, если известны их [[Определение декартовых координат. Полные уроки|координаты]] (2;2) и (8;6).
-
Рассмотрим простейший пример для нахождения расстояния между двумя точками, когда эти точки находятся на прямой. И так у нас есть прямая, на прямой обозначим две точки А и В. Координаты точек равны 2 и 7, соответственно. <br>
+
[[Image:81062011 6.jpg|300px|Расстояние между точками]]
-
[[Image:81062011 5.jpg]]
+
'''Решение:'''
-
+
-
''Решение:''
+
-
+
-
По формулам: [[Image:81062011 6.gif]]
+
-
+
-
''Ответ:'' АВ=5
+
-
+
-
<br>
+
-
+
-
''Ответ был очевиден и известен еще до начала решения. Банально, можно было просто посчитать количество единичных отрезков между точками.''
+
-
+
-
''Но что делать если точки находятся на плоскости и прямая этих точек не параллельна осям координат.''
+
-
+
-
==== Пример №2.<br> ====
+
-
+
-
''Задание: ''
+
-
+
-
Найти расстояние между точками А и В, если известны их координаты (2;2) и (8;6).
+
-
+
-
[[Image:81062011 6.jpg]]
+
-
+
-
''Решение:''
+
Используем формулу для нахождения расстояния на плоскости. Подставляем соответствующие значения, получаем ответ.
Используем формулу для нахождения расстояния на плоскости. Подставляем соответствующие значения, получаем ответ.
-
[[Image:81062011 7.gif]]
+
'''Ответ:''' АВ=7,211
-
+
-
''Ответ:'' АВ=7,211
+
-
+
-
<br>
+
-
''Для нахождения расстояния мы используем формулы, не обязательно их заучивать, нужно просто их понять. И так в Примере №1 все предельно ясно, но вот в Пример №2 появляется вторая ось и расчеты немного усложняются. Грубо говоря мы находим смещение по каждой из осей(расстояние какое отрезок проходит по каждой из осей), т.е. сначала о оси абсцисс (ОХ) (х2-х1) возносим в квадрат, тоже самое действие проводим для значений по оси ординат (ОУ) (у2-у1) этаже самая манипуляция с квадратом. В конечном итоге суммируем полученные значения и извлекаем корень(корень извлекается потому что ранее значения были возведены в квадрат).''
+
Для нахождения расстояния мы используем формулы, не обязательно их заучивать, нужно просто их понять. И так в Примере №1 все предельно ясно, но вот в Пример №2 появляется вторая ось и расчеты немного усложняются. Грубо говоря мы находим смещение по каждой из осей(расстояние какое [[Задачі до уроку «Пропорційні відрізки. Побудова четвертого пропорційного відрізка до трьох даних відрізків»|отрезок]] проходит по каждой из осей), т.е. сначала о оси абсцисс (ОХ) (х2-х1) возносим в квадрат, тоже самое действие проводим для значений по оси ординат (ОУ) (у2-у1) этаже самая манипуляция с квадратом. В конечном итоге суммируем полученные значения и извлекаем корень(корень извлекается потому что ранее значения были возведены в квадрат).
Для внесения полной ясности рассмотрим пример с тремя координатами когда точки находятся в пространстве.
Для внесения полной ясности рассмотрим пример с тремя координатами когда точки находятся в пространстве.
-
==== Пример №3. ====
+
==== Пример №3 ====
-
''Задание:''
+
'''Задание:'''
Точка А(2;4;7) точка В(9;4;3).
Точка А(2;4;7) точка В(9;4;3).
-
Найти расстояние между А и В.<br>
+
Найти расстояние между А и В.<br>
-
''Решение:''
+
'''Ответ:''' АВ=8,062
-
[[Image:81062011 8.gif]]
+
Как видно с уравнения в этом случаи у нас добавилось смещение по оси аппликат (OZ).
-
''Ответ:'' АВ=8,062
-
''Как видно с уравнения в этом случаи у нас добавилось смещение по оси аппликат (OZ).''
С давних пор люди стремились облегчить вычисления. Самой древней "счётной машиной" былипальцы рук и ног, камешки, раковины и другие мелкие предметы. Ремесленники и торговцы пользовались для счёта доской, разграфлённой на столбцы, на которой с помощью камешков откладывались единицы различных разрядов. Эту доску называли абаком. От римлян к нам пришло слово "'''калькуляция'''", что означает буквально "'''счёт камушками'''". В настоящее время термин "''калькуляция''" используется в смысле вычисление. Усовершенствование абака привело к появлению счетов ( в древнем Китае - Суан-чан, в Японии-сорабан). Русские счеты появились в XVI в.<br>
-
[[Image:81062011 9.png]]
+
Машину для механического производство арифметических действий называют арифмометром. Одними из первых таких машин были машины, созданные в 1641 году французским учёным '''Блезом Паскалем''' (1623 - 1662) и в 1671 году Г.Лейбнцем. Массовое распространение получил арифмометр, сконструированные в 1874 году петербургским механиком В.Однером.<br>
-
<u></u>С давних пор люди стремились ''облегчить вычисления''. Самой древней "''счётной машиной''" были '''пальцы рук и ног, камешки, раковины и другие мелкие предметы'''. Ремесленники и торговцы пользовались для счёта доской, разграфлённой на столбцы, на которой с помощью камешков откладывались единицы различных разрядов. Эту доску называли абаком. От римлян к нам пришло слово "'''калькуляция'''", что означает буквально "'''счёт камушками'''". В настоящее время термин "''калькуляция''" используется в смысле вычисление. Усовершенствование абака привело к появлению счетов ( в древнем Китае - Суан-чан, в Японии-сорабан). Русские счеты появились в XVI в.<br>
+
[[Image:81062011 10.jpg|300px|Суммирующая машина Блеза Паскаля]]
-
Машину для механического производство арифметических действий называют арифмометром. Одними из первых таких машин были машины, созданные в 1641 году французским учёным '''Блезом Паскалем''' (1623 - 1662) и в 1671 году Г.Лейбнцем. Массовое распространение получил арифмометр, сконструированные в 1874 году петербургским механиком В.Однером.<br>
[[Image:81062011 11.jpg|300px|Суммирующая машина Блеза Паскаля]]
-
|-
+
-
| [[Image:81062011 10.jpg]]
+
-
| [[Image:81062011 11.jpg]]
+
-
|-
+
-
| colspan="2" | '''Суммирующая машина Блеза Паскаля'''
+
-
|}
+
-
<br>
-
Революцию в вычислительной технике совершили электронные вычислительные машины ('''ЭВМ'''), которые появились в середине XX столетия. '''Первая ''ЭВМ ''была создана в США в 1944 году'''. Первая советская ЭВМ была создана под руководством академика '''С.А.Лебедева''' (1902-1974) в 1950 году. Современные ЭВМ производят несколько миллионов операций в секунду и находят широкое применение в различных областях науки и народного хозяйств. Простейшие ЭВМ, получившей широкое распространение в практической деятельности, является микрокалькулятор.<u></u>
+
Революцию в вычислительной технике совершили [http://xvatit.com/it/fishki-ot-itshki/ электронные вычислительные машины] ('''ЭВМ'''), которые появились в середине XX столетия. '''Первая ''ЭВМ ''была создана в США в 1944 году'''. Первая советская ЭВМ была создана под руководством академика '''С.А.Лебедева''' (1902-1974) в 1950 году. Современные ЭВМ производят несколько миллионов операций в секунду и находят широкое применение в различных областях науки и народного хозяйств. Простейшие ЭВМ, получившей широкое распространение в практической деятельности, является [http://xvatit.com/it микрокалькулятор].
-
''Но есть и множество способов проводить арифметические репарации в уме.''
+
Но есть и множество способов проводить арифметические репарации в уме.
{{#ev:youtube|4foKjck3OiE}}
{{#ev:youtube|4foKjck3OiE}}
-
<u></u>
+
==Вопросы==
-
<u></u>
+
#''Что такое точка?''
+
#''В каких еще науках используется понятие точки?''
+
#''Какая разница в нахождении расстояния между точками в пространстве и на плоскости?''
#''Вилофич А. Н., учитель геометрии (9-11 класс), г. Москва, школа №354.''
+
#''Левченко В.С., учитель геометрии.''
-
<u></u>
----
----
-
<u>'''Вопросы:'''</u>
-
#Что такое точка?
+
'''Над уроком работали'''
-
#В каких еще науках используется понятие точки?
+
-
#Какая разница в нахождении расстояния между точками в пространстве и на плоскости?
+
-
<u>'''Список использованных источников:'''</u>
+
Потурнак С.А.
-
#И.Л.Розенталь "Геометрия, динамика, вселенная"
+
Васин Алексей
-
#Вилофич А. Н., учитель геометрии (9-11 класс), г. Москва, школа №354.
+
-
#Левченко В.С., учитель геометрии.
+
-
<br>
----
----
-
'''<u>Над уроком работали:</u>'''
-
-
Потурнак С.А.<br>
-
-
Васин Алексей
-
-
----
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
Проверить умение учащихся решать задачи.
Заинтересовать в геометрии как науке.
План урока
Вступительное слово.
Повторение ранее изученного материала.
Историческая справка.
Расстояние между точками.
Логические задачи.
Вступительное слово
В течение почти 2.5 тысячелетий евклидова геометрия является одним из столпов школьной математики. практически в неизменной форме она дошла до нашего времени. Случай этот уникален. почти забыта физика Аристотеля, о математическом анализе Архимеда вспоминают лишь историки математики. Школьная же геометрия базируется на геометрии Евклида. Разница в основном лишь в методике изложения.
Евклид - древнегреческий математик. Мировую известность приобрёл благодаря сочинению по основам математики «Начала» ок. 300 г. до н. э.
Сила традиционной геометрии - в ее общности, универсальности. Слабость - в абстрагировании, создающем предпосылки для размытия основополагающих понятий геометрии, размытия, затрудняющего их сопоставление с реальными объектами, явлениями или процессами. До определенного времени этому обстоятельству не придавали серьезного значения, однако, когда наступила пора подвергнуть геометрию критическому переосмысливанию, высветилась эта слабая сторона геометрии. Возникла парадоксальная ситуация: самая точная и, по-видимому, самая наглядная наука - геометрия - базируется на понятиях, не поддающихся точным определениям. Чтобы оправдать такое сильное утверждение, полезно напомнить некоторые истины.
Учитель, начиная обучение геометрии, произносит слова: "Точка - объект, лишенный протяженности, линия - объект, характеризуемый длиной, но лишенный ширины" - и затем иллюстрирует эти определения, отмечая мелом на доске точку и проводя линию. Однако, размеры такой точки ~ 1 мм, ширина линии также ~ 1 мм - символ точечности? Это утверждение в значительной степени базируется на авторитете учителя.
Те же трудности возникают при попытках эмпирически воспроизвести другое основное понятие геометрии - прямую линию. Обычно полагают, что эталоном прямой является луч света, распространяющийся в пустом пространстве. Однако в соответствии с основными принципами оптики и квантовой механики ширина пучка света по порядку величины равна длине волны LAM, а это значение невозможно свести к нулю.
Повторение ранее изученного материала
В геометрии, точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других измеримых характеристик.
Таким образом, точкой называют нульмерный объект.
Точка является одним из фундаментальных понятий в математике; любая геометрическая фигура считается состоящей из точек.
С точкой все понятно, но что же подразумевает человек когда говорит "точка в пространстве"?
Мы можем теперь использовать три основные понятия, чтобы дать основные определения.
Пространство - это множество всех точек.
Геометрическая фигура это - любое множество точек, прямых и плоскостей.
Точка, прямая и плоскость являются геометрическими фигурами.
Множество точек называется коллинеарным, если существует прямая, содержащая все эти точки.
Множество точек называется компланарным, если существует плоскость, содержащая все эти точки.
Если точка A расположена на размеченной прямой, которая называется в этом случае "числовая прямая", то число, соответствующее этой точке, называется ее координатой. В дальнейшем, запись A(a) будет обозначать, что координата точки A число a.
Расстояние между точками А(a) и В(b) на прямой - это модуль разности их координат, то есть AB=|(a-b)|.
Историческая справка
Евклид начинает "Начала" с определения точки: "Точка есть то, что не имеет частей". Исторические корни двух названий точки, можно найти, смотря семантические пучки однокоренных слов, используемых для обозначения точки: здесь и "отпечаток", "след" и точка. Например, "stigmh" математическая точка (Arst), (но: "stigma " наколотая отметка; "stigmow" - укол, колотая рана). Отсюда понятно, первоначальное понятие точки, как центра . Оно обозначает колющее орудие, которым в древности погоняли животных в упряжке (старое русское слово "рожон").
В нашем случае речь идёт об острие ножки циркуля, закреплявшейся при вычерчивании круга. Этим термином пользовался ещё автор первых "Элементов" Гиппократ. .Латинские термины возникают не сразу. У Марциада Капеллы (5 в. н. э.) ещё говорится "punodum circult" (точка круга), и "media nota circult" (средняя метка круга).
Расстояние между точками
Пример №1
Задание:
Рассмотрим простейший пример для нахождения расстояния между двумя точками, когда эти точки находятся на прямой. И так у нас есть прямая, на прямой обозначим две точки А и В. Координаты точек равны 2 и 7, соответственно.
Ответ: АВ=5
Ответ был очевиден и известен еще до начала решения. Банально, можно было просто посчитать количество единичных отрезков между точками.
Но что делать если точки находятся на плоскости и прямая этих точек не параллельна осям координат.
Пример №2
Задание:
Найти расстояние между точками А и В, если известны их координаты (2;2) и (8;6).
Решение:
Используем формулу для нахождения расстояния на плоскости. Подставляем соответствующие значения, получаем ответ.
Ответ: АВ=7,211
Для нахождения расстояния мы используем формулы, не обязательно их заучивать, нужно просто их понять. И так в Примере №1 все предельно ясно, но вот в Пример №2 появляется вторая ось и расчеты немного усложняются. Грубо говоря мы находим смещение по каждой из осей(расстояние какое отрезок проходит по каждой из осей), т.е. сначала о оси абсцисс (ОХ) (х2-х1) возносим в квадрат, тоже самое действие проводим для значений по оси ординат (ОУ) (у2-у1) этаже самая манипуляция с квадратом. В конечном итоге суммируем полученные значения и извлекаем корень(корень извлекается потому что ранее значения были возведены в квадрат).
Для внесения полной ясности рассмотрим пример с тремя координатами когда точки находятся в пространстве.
Пример №3
Задание:
Точка А(2;4;7) точка В(9;4;3).
Найти расстояние между А и В.
Ответ: АВ=8,062
Как видно с уравнения в этом случаи у нас добавилось смещение по оси аппликат (OZ).
Интересный факт
Эволюция вычислительных средств.
С давних пор люди стремились облегчить вычисления. Самой древней "счётной машиной" былипальцы рук и ног, камешки, раковины и другие мелкие предметы. Ремесленники и торговцы пользовались для счёта доской, разграфлённой на столбцы, на которой с помощью камешков откладывались единицы различных разрядов. Эту доску называли абаком. От римлян к нам пришло слово "калькуляция", что означает буквально "счёт камушками". В настоящее время термин "калькуляция" используется в смысле вычисление. Усовершенствование абака привело к появлению счетов ( в древнем Китае - Суан-чан, в Японии-сорабан). Русские счеты появились в XVI в.
Машину для механического производство арифметических действий называют арифмометром. Одними из первых таких машин были машины, созданные в 1641 году французским учёным Блезом Паскалем (1623 - 1662) и в 1671 году Г.Лейбнцем. Массовое распространение получил арифмометр, сконструированные в 1874 году петербургским механиком В.Однером.
Суммирующая машина Блеза Паскаля
Революцию в вычислительной технике совершили электронные вычислительные машины (ЭВМ), которые появились в середине XX столетия. Первая ЭВМ была создана в США в 1944 году. Первая советская ЭВМ была создана под руководством академика С.А.Лебедева (1902-1974) в 1950 году. Современные ЭВМ производят несколько миллионов операций в секунду и находят широкое применение в различных областях науки и народного хозяйств. Простейшие ЭВМ, получившей широкое распространение в практической деятельности, является микрокалькулятор.
Но есть и множество способов проводить арифметические репарации в уме.
Вопросы
Что такое точка?
В каких еще науках используется понятие точки?
Какая разница в нахождении расстояния между точками в пространстве и на плоскости?
Список использованных источников
И.Л.Розенталь "Геометрия, динамика, вселенная"
Вилофич А. Н., учитель геометрии (9-11 класс), г. Москва, школа №354.
Левченко В.С., учитель геометрии.
Над уроком работали
Потурнак С.А.
Васин Алексей
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
