*Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
+
-
== Задачи урока ==
+
<h2>Уравнение окружности</h2>
-
*Проверить умение учащихся решать задачи.
+
Самым простым из способов, представляющих уравнения окружности, является теорема Пифагора.
-
<br>
+
'''Теорема Пифагора:'''
-
== План урока ==
+
Вы уже знаете, что теорема Пифагора имеет как геометрическую формулировку, так и алгебраическую.
-
#Вступительное слово.
+
'''Геометрическая формулировка звучит так:'''
-
#Повторение ранее изученного материала.
+
-
#Уравнение окружности.
+
-
<br>
+
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
-
=== Вступительное слово ===
+
'''Алгебраическая формулировка звучит так:'''
-
По традиции начнем с повторения ранее изученного материала. Для того что бы полностью разобраться с уравнением окружности нам нужно вспомнить:<br>
+
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
*'''как окружность взаимосвязана с другими примитивами'''
+
-
*'''что такое прямоугольная система координат'''
+
Давайте возьмем окружность, центром которой является точка A (a; b) и радиус R. Теперь давайте на этой окружности возьмем произвольную точку В (x; y). В этом случае мы с вами можем применить теорему Пифагора.
-
*'''что такое окружность и круг на первый взгляд'''
В итоге, как видно с рисунка, мы с вами получили прямоугольный треугольник, который имеет стороны: АВ, ВС и СА.
-
Вы уверены что знаете, что такое окружность? Окружность- это не только замкнутая линия, но и совершенная линия, так считал '''Аристотель'''. А как считают сейчас? Где вы видите окружность? А она... Эллипс - окружность?<br>
+
В том случае, когда центр окружности расположен в начале координат, то есть, a = 0 и b = 0, то мы получаем уравнение окружности, которое принимает такой вид:
Обратно: любая точка В, координаты которой удовлетворяет данному уравнению окружности, принадлежат окружности.
-
Только в Древней Греции '''окружность '''и '''круг '''получили свои названия.
+
<h2>Немного истории</h2>
-
Самая простая из всех кривых линий - '''окружность'''. Это одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно '''Аристотелю''', небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии - окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII веке учением '''Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона'''.
+
А знаете ли вы, что оказывается термины «окружность» и «круг» получили свои названия еще во времена Древней Греции. Для древних греков окружность и круг были венцом совершенства, ведь они уже в те времена пришли к выводу, что окружность в каждой своей точке устроена таким образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Также они обратили внимание на то, что из всех фигур, которые имеют одинаковую длину периметра, только у круга наибольшая площадь.
+
Древние философы придавали огромное значение окружности, ведь она является одной из древнейших геометрических фигур. Если следовать учению Аристотеля, то все планеты и звезды нашей вселенной движутся по самой совершенной линии, которой является окружность. Да и еще на протяжении сотни лет ученые астрономы были уверены, что все планеты движутся по окружности. И лишь только в XVII веке учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона это суждение было опровергнуто.
Даже в древние времена круглые предметы вызывали огромный интерес у человека, так как тогда отсутствовали какие-либо технические сооружения, и для постройки знаменитых египетских пирамид приходилось использовать бревна круглой формы. Немного позже для перемещения огромных глыб, вместо бревен стали использовать колеса, так как они были легче в использовании.
-
''Галилео Галилей (итал. Galileo Galilei; 1564-1642) — итальянский физик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени.''
+
<h2>Геометрические примитивы</h2>
+
А теперь давайте вспомним, какие примитивные фигуры вы уже изучили и дадим им определения.
-
[[Image:13062011 3.jpg|300px|Иоганн Кеплер ]]
+
Вы уже знаете, что любой фигурой называют произвольное множество точек на плоскости.
-
''Иоганн Кеплер (нем. Johannes Kepler; 1571-1630) — немецкий математик, астроном, оптик и астролог. Открыл законы движения планет.''
+
К таким геометрическим фигурам можно отнести точку, прямую, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и др.
+
Также вам известно, что точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости. Но в геометрии этим фигурам не дается определения, и они являются неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости.
-
[[Image:13062011 4.jpg|300px|Исаак Ньютон ]]
+
Как правило, точки обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С, D ….
+
А вот прямые, обозначаются латинскими строчными буквами: а, b, с, d ….
-
''Сэр Исаак Ньютон (англ. Sir Isaac Newton, 1642-1727) — английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики.''<br>
+
«Точка» является одним из основных понятий в геометрии, но определения она не имеет. По теории Евклида, точкой является то, что нельзя разделить.
-
<br>
+
«Прямая» также является одним из главных геометрических понятий. Она представляет собой линию, которая незамкнутая, не искривленная и протяженная с двух сторон, у которой поперечное сечение стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.
-
=== Повторение ранее изученного материала ===
+
«Треугольник» является также простейшей геометрической фигурой, которая имеет три стороны и три угла. Можно сказать, что это такая часть плоскости, которая ограничена
+
тремя точками, и тремя отрезками, которые попарно соединяют эти точки.
-
Круглые тела в древности заинтересовали человека. Так в Древнем Египте для постройки знаменитых египетских пирамид никаких технических сооружений еще не было. Даже шлифовать огромные каменные глыбы приходилось вручную, а перемещали их с помощью бревен круглой формы. Позже вместо бревен стали использовать их части – в виде '''колес''', которые катились уже легче.
+
«Прямоугольник» является параллелограммом, с четырьмя углами, каждый из которых равен 90 градусам.
'''Фигура '''– это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.<br>
+
«Окружность» - это такая геометрическая фигура, у которой каждая точка равноудалена от центра окружности.
-
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.<br>
+
<br>[[Image:19102010 7.png|300px|Окружность]]<br>
-
Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.<br>
+
<h2>Связь окружности с другими фигурами</h2>
-
Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D …. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ….
+
Так как вы уже изучали тему «Окружность», то вам известно, что описанной окружностью многоугольника является такая окружность, которая охватывает все вершины этого многоугольника.
-
'''Точка '''— это одно из фундаментальных понятий геометрии, поэтому "точка" не имеет определения. Евклид определил точку как то, что нельзя разделить.<br>Также в геометрии нет определения "прямой" (имеется в виду прямая линия).
+
Если вы внимательно рассмотрите рисунок, то увидите, что центром пересечения серединных перпендикуляров окружности является точка О.
-
'''Прямая '''— одно из основных понятий геометрии.<br>Геометрическая прямая (прямая линия) — незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.
'''Треугольник '''— простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
+
А вот вписанной в многоугольник окружностью называют такую окружность, которая расположена внутри данного многоугольника и которая касается всех прямых, проходящих через его стороны.
-
'''Прямоугольник '''— это параллелограмм , у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
'''Окружность '''— геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.<br>
+
<h2>Прямоугольная система координат</h2>
+
Изображенная на рисунке система координат называется декартовой или прямоугольной. Первое свое название эта система координат получила благодаря имени своего создателя, а вторая, благодаря прямому углу, который равен 90°.
-
[[Image:19102010 7.png|300px|Окружность]]<br>
+
<br>[[Image:29052011 5.jpg|300px|Прямоугольная система координат]]<br>
+
+
<h2>Окружность и круг</h2>
+
А теперь давайте с вами вспомним все определения, которые непосредственно касаются таких понятий, как «окружность» и «круг».
-
==== Связь окружности с другими фигурами ====
+
Окружностью называют такую замкнутую прямую линию, у которой все точки равноудалены от центра.
-
'''Описанная окружность многоугольника''' — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
+
А кругом является та часть плоскости, которая ограниченная этой окружностью.
+
Но мы с вами также знаем, что каждая окружность имеет диаметр. Им называют отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр проходит через центр этой окружности и является максимальным расстоянием между точками этой фигуры.
Радиус окружности делит диаметр пополам, а также соединяет центр окружности с любой его точкой.
+
В отличие от диаметра, хорда не проходит через центр окружности, а располагается около нее.
-
'''Окружность называется вписанной''' в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.<br>
+
В окружности присутствует и такое понятие, как круговой сектор. Это часть круга, которая ограничивается дугой и двумя радиусами. Эти радиусы соединяют концы дуги с центром круга.
+
Ну и, как правило, в геометрии для построения окружности используют циркуль.
Такой простой, на первый взгляд многоугольник, который является треугольник издавна не оставлял равнодушными многих ученых математиков. Уделил свое внимание этой фигуре и такой знаменитый математик, как Леонард Эйлер. Он вывел и доказал теорему окружности девяти точек. В геометрии треугольника это обозначает, что есть окружность, которая проходит через середины всех имеющихся сторон треугольника. Такая окружность получила название окружности «Эйлера», «Фейербаха» или окружности шести точек.
-
И так эта система координат имеет '''два своих вполне оправданных названия'''. '''Первым из них является''' декартова, такое название она получила от фамилии своего автора. '''И второе не менее интересное''' и оправданное - прямоугольная система координат, происхождение такого имени становится понятным после первого взгляда на саму систему координат. Угол между двумя направляющими равен '''90°''' такое угол зачастую называют прямым, откуда и пошло второе название.
+
Окружностью девяти точек она называется благодаря следующей теореме:
[[Image:29052011 5.jpg|300px|Прямоугольная система координат]]
+
В 1765 году Леонард Эйлер представил доказательство того, что основания высот и середины сторон расположены на одной окружности. Благодаря этому доказательству и появилось название «окружность шести точек».
-
<br>
+
Но это доказательство еще носит имя Карла Фейербаха, так как он первым его опубликовал в 1821 году вместе с теоремой, которой дал свое имя.
-
+
-
==== Окружность и круг. ====
+
-
+
-
'''Окружность '''- это замкнутая прямая линия, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от одной внутренней точки, которая называется центром.
+
-
+
-
А '''круг '''- это часть плоскости, ограниченная окружностью.<br>
+
-
+
-
'''Диаметр '''- это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр этой окружности, это максимальное расстояние между точками одной фигуры. А вот половинка диаметра называется радиусом.
+
-
+
-
'''Радиус '''соединяет центр окружности с любой точкой окружности. Есть еще такое необычное слово - хорда.
+
-
+
-
'''Хорда '''- это отрезок, который соединяет две точки окружности, но, в отличие от диаметра, хорда не проходит через центр окружности - ей больше нравится находиться около окружности.<br>
+
-
+
-
'''Круговым сектором '''или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
+
-
+
-
Для построения окружности необходим новый чертежный инструмент – '''циркуль'''.
+
-
+
-
+
-
{{#ev:youtube|wjdLFDt1qKQ}}
+
-
+
-
+
-
=== Уравнение окружности ===
+
-
+
-
Есть много способов для предоставления уравнения окружности, но как по мне, одним из самых простых это с помощью теоремы '''Пифагора'''. <br>
+
-
+
-
'''Теорема Пифагора:'''<br>
+
-
+
-
'''Геометрическая формулировка:'''
+
-
+
-
*В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.<br>
Пусть есть окружность с центром в точке A (a; b) и радиусом R. Возьмем произвольную точку В (x; y) на окружности. Тогда, как видно из рисунка можно применить теорему Пифагора.<br>
В геометрии треугольника '''окружность девяти точек''' — это окружность, проходящая '''через середины всех трёх сторон треугольника'''. Она также называется окружностью '''Эйлера''', окружностью '''Фейербаха''', окружностью шести точек.<br>
+
-
+
-
Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:
+
-
+
-
Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.
+
-
+
-
'''Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:'''
+
-
+
-
*Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
+
-
*Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.
+
-
*(теорема Фейербаха) Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
+
-
+
-
Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1821 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее.
+
-
+
-
+
-
==Вопросы==
+
-
+
-
#''Что такое геометрические примитивы?''
+
-
#''В чем разница между кругом и окружностью?''
+
-
#''С помощью какой теоремы можно представить уравнение окружности?''
+
-
+
-
==Список использованных источников==
+
-
+
-
#''Бубенцова Марина Николаевна, учитель математики МОУ СОШ с. Ульяновка, Тамалинского района''
+
-
#''Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004''
+
-
#''Льюис Кэррол, «История с узелками»''
+
-
+
-
+
-
----
+
-
+
-
+
-
'''Над уроком работали'''
+
-
+
-
Потурнак С.А.
+
-
+
-
Бубенцова Марина Николаевна
+
-
+
-
+
-
----
+
-
+
-
+
-
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на [http://xvatit.com/forum/ '''Образовательном форуме'''], где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав [http://xvatit.com/club/blogs/ '''блог,'''] Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. [http://xvatit.com/school/guild/ '''Гильдия Лидеров Образования'''] открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.<br>
1. Уравнение окружности.
2. Исторические данные.
3. Повторение пройденного материала.
Уравнение окружности
Самым простым из способов, представляющих уравнения окружности, является теорема Пифагора.
Теорема Пифагора:
Вы уже знаете, что теорема Пифагора имеет как геометрическую формулировку, так и алгебраическую.
Геометрическая формулировка звучит так:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Алгебраическая формулировка звучит так:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Давайте возьмем окружность, центром которой является точка A (a; b) и радиус R. Теперь давайте на этой окружности возьмем произвольную точку В (x; y). В этом случае мы с вами можем применить теорему Пифагора.
В итоге, как видно с рисунка, мы с вами получили прямоугольный треугольник, который имеет стороны: АВ, ВС и СА.
В том случае, когда центр окружности расположен в начале координат, то есть, a = 0 и b = 0, то мы получаем уравнение окружности, которое принимает такой вид:
Обратно: любая точка В, координаты которой удовлетворяет данному уравнению окружности, принадлежат окружности.
Немного истории
А знаете ли вы, что оказывается термины «окружность» и «круг» получили свои названия еще во времена Древней Греции. Для древних греков окружность и круг были венцом совершенства, ведь они уже в те времена пришли к выводу, что окружность в каждой своей точке устроена таким образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Также они обратили внимание на то, что из всех фигур, которые имеют одинаковую длину периметра, только у круга наибольшая площадь.
Древние философы придавали огромное значение окружности, ведь она является одной из древнейших геометрических фигур. Если следовать учению Аристотеля, то все планеты и звезды нашей вселенной движутся по самой совершенной линии, которой является окружность. Да и еще на протяжении сотни лет ученые астрономы были уверены, что все планеты движутся по окружности. И лишь только в XVII веке учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона это суждение было опровергнуто.
Аристотель
Николай Коперник
Галилео Галилей
Иоганн Кеплер
Исаак Ньютон
Повторение ранее изученного материала
Даже в древние времена круглые предметы вызывали огромный интерес у человека, так как тогда отсутствовали какие-либо технические сооружения, и для постройки знаменитых египетских пирамид приходилось использовать бревна круглой формы. Немного позже для перемещения огромных глыб, вместо бревен стали использовать колеса, так как они были легче в использовании.
Геометрические примитивы
А теперь давайте вспомним, какие примитивные фигуры вы уже изучили и дадим им определения.
Вы уже знаете, что любой фигурой называют произвольное множество точек на плоскости.
К таким геометрическим фигурам можно отнести точку, прямую, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и др.
Также вам известно, что точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости. Но в геометрии этим фигурам не дается определения, и они являются неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости.
Как правило, точки обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С, D ….
А вот прямые, обозначаются латинскими строчными буквами: а, b, с, d ….
«Точка» является одним из основных понятий в геометрии, но определения она не имеет. По теории Евклида, точкой является то, что нельзя разделить.
«Прямая» также является одним из главных геометрических понятий. Она представляет собой линию, которая незамкнутая, не искривленная и протяженная с двух сторон, у которой поперечное сечение стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.
«Треугольник» является также простейшей геометрической фигурой, которая имеет три стороны и три угла. Можно сказать, что это такая часть плоскости, которая ограничена
тремя точками, и тремя отрезками, которые попарно соединяют эти точки.
«Прямоугольник» является параллелограммом, с четырьмя углами, каждый из которых равен 90 градусам.
«Окружность» - это такая геометрическая фигура, у которой каждая точка равноудалена от центра окружности.
Связь окружности с другими фигурами
Так как вы уже изучали тему «Окружность», то вам известно, что описанной окружностью многоугольника является такая окружность, которая охватывает все вершины этого многоугольника.
Если вы внимательно рассмотрите рисунок, то увидите, что центром пересечения серединных перпендикуляров окружности является точка О.
А вот вписанной в многоугольник окружностью называют такую окружность, которая расположена внутри данного многоугольника и которая касается всех прямых, проходящих через его стороны.
Прямоугольная система координат
Изображенная на рисунке система координат называется декартовой или прямоугольной. Первое свое название эта система координат получила благодаря имени своего создателя, а вторая, благодаря прямому углу, который равен 90°.
Окружность и круг
А теперь давайте с вами вспомним все определения, которые непосредственно касаются таких понятий, как «окружность» и «круг».
Окружностью называют такую замкнутую прямую линию, у которой все точки равноудалены от центра.
А кругом является та часть плоскости, которая ограниченная этой окружностью.
Но мы с вами также знаем, что каждая окружность имеет диаметр. Им называют отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр проходит через центр этой окружности и является максимальным расстоянием между точками этой фигуры.
Радиус окружности делит диаметр пополам, а также соединяет центр окружности с любой его точкой.
В отличие от диаметра, хорда не проходит через центр окружности, а располагается около нее.
В окружности присутствует и такое понятие, как круговой сектор. Это часть круга, которая ограничивается дугой и двумя радиусами. Эти радиусы соединяют концы дуги с центром круга.
Ну и, как правило, в геометрии для построения окружности используют циркуль.
Интересный факт
Окружность девяти точек
Такой простой, на первый взгляд многоугольник, который является треугольник издавна не оставлял равнодушными многих ученых математиков. Уделил свое внимание этой фигуре и такой знаменитый математик, как Леонард Эйлер. Он вывел и доказал теорему окружности девяти точек. В геометрии треугольника это обозначает, что есть окружность, которая проходит через середины всех имеющихся сторон треугольника. Такая окружность получила название окружности «Эйлера», «Фейербаха» или окружности шести точек.
Окружностью девяти точек она называется благодаря следующей теореме:
В 1765 году Леонард Эйлер представил доказательство того, что основания высот и середины сторон расположены на одной окружности. Благодаря этому доказательству и появилось название «окружность шести точек».
Но это доказательство еще носит имя Карла Фейербаха, так как он первым его опубликовал в 1821 году вместе с теоремой, которой дал свое имя.
