Версия 13:02, 14 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Приближенные значения действительных чисел

                             ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

И в 7-м и в 8-м классе мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.

Рассмотрим два уравнения: = 2 - х и = 4 - х. Первое уравнение имеет единственный корень х = 1, поскольку графики функций у = и у = 2 - х пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 112). Во втором случае графики функций — фс и у = 4 - х также пересекаются в одной точке В (рис. 113), но с «плохими» координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так:

Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная.Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа пользуются приближенным равенством 3,141 или 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например,
3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001; 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку 3,14, по избытку 3,15.
Знак приближенного равенства » вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 27.

Пример 1. Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел:

Решение,

а) Мы знаем, что = 2,236... (см. § 27), следовательно,   2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
б) 2 + = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
в) Имеем   0,31818... (см. § 26). Таким образом,   0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01;
7
— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И
Приближение по недостатку и приближение по избытку
называют иногда округлением числа.
Определение. Погрешностью приближе-
ния (абсолютной погрешностью) называют мо-
дуль разности между точным значением величи-
ны х и ее приближенным значением а: погреш-
абсолютная ность приближения — это | х - а |.
погрешность
Например, погрешность приближенного ра-
венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или
соответственно как \п - 3, 142 [.
Возникает чисто практический вопрос: какое приближение
лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае
погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи-
сла, для которого составляются приближения. Обычно при
округлении положительных чисел пользуются следующим пра-
вилом:
Правило округления. Если первая отбра-
сываемая цифра меньше 5, то нужно брать
приближение по недостатку; если первая от-
брасываемая цифра больше или равна 5, то
нужно брать приближение по избытку.
Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара-
графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе-
ния, для которых погрешность окажется наименьшей.
1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142;
здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте
после запятой), поэтому взяли приближение по избытку.
С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли-
жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на
пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01
надо взять приближение по недостатку: п « 3,14.
2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24
(приближение по избытку). ¦
3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « 
«4,24 (приближение по избытку).
7 7
4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318
2i2i
(приближение по недостатку).
Рассмотрим последний пример
подробнее. Возьмем укрупненный
фрагмент координатной прямой
7
(рис. 114). Точка — принадлежит
2i2i
отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка
7
не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов
22
0*^9
рис
отрезка равны соответственно
22
¦к ~ °'319
отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит,
Тг - °'318
, а длина
0,001
i - °>319
0,001.
Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не-
LiCi
достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не
превосходит 0,001.
До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01,
до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо-
вании терминологии.
Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo
говорят, что погрешность приближения не превосходит h
или что число х равно числу а с точностью до h.
Почему же важно уметь находить прибли-
женные значения чисел? Дело в том, что прак-
тически невозможно оперировать с бесконеч-
ными десятичными дробями и использовать их
для измерения величин. На практике во многих
случаях вместо точных значений берут приближения с заранее
заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в
калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная
десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа
(за редким исключением, когда выводимое число представляет
собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране).

_{Сборник конспектов уроков по математике скачать, календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.