KNOWLEDGE HYPERMARKET


Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами
Строка 9: Строка 9:
<br>В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.  
<br>В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.  
-
Пусть а и b — две стороны треугольника и [[Image:24-06-52.jpg]], [[Image:24-06-53.jpg]] — противолежащие им углы. Докажем, что если а &gt; р, то а &gt; Ь. И обратно: если а&gt;Ъ, то а&gt;р.<br>Если углы аир острые (рис. 267, с), то при а &gt; Р будет sin a&gt;sin p. А так как<br>sin а&nbsp;&nbsp; &nbsp;sin р<br>&nbsp;  
+
Пусть а и b — две стороны треугольника и [[Image:24-06-52.jpg]], [[Image:24-06-53.jpg]] — противолежащие им углы. Докажем, что если [[Image:24-06-52.jpg]] &gt; [[Image:24-06-53.jpg]], то а &gt; b. И обратно: если а&gt;b, то [[Image:24-06-52.jpg]]&gt;[[Image:24-06-53.jpg]].<br>Если углы [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-53.jpg]] острые (рис. 267, с), то при [[Image:24-06-52.jpg]] &gt; [[Image:24-06-53.jpg]] будет sin [[Image:24-06-52.jpg]]&gt;sin [[Image:24-06-53.jpg]]. А так как<br>sin [[Image:24-06-52.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp; sin [[Image:24-06-53.jpg]]<br>&nbsp;  
-
[[Image:24-06-51.jpg]]<br>Рис. 267<br><br>то а &gt; Ь. Если угол а тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180° — а острый (рис. 267, б). Причем угол 180° — а больше угла р как внешний угол треугольника, не смежный с углом р. Поэтому sin а = sin (180° —а) &gt; sin р. И мы снова заключаем, что а&gt;Ъ.<br>Докажем обратное утверждение. Пусть а&gt;Ъ. Надо доказать, что а&gt;р. Допустим, что а^р. Если а = Р, то треугольник равнобедренный и а = Ь. Если а&lt;р, то по доказанному a&lt;ib. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению а&gt;Ь, значит,а&gt;Р, что и требовалось доказать.<br>Задача (17). Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолез4сащая ему сторона наибольшая.<br>Решение. В треугольнике может быть только один тупой угол. Поэтому он больше любого из остальных углов. А значит, противолежащая ему сторона больше любой из двух других сторон треугольника. <br>  
+
[[Image:24-06-51.jpg]]<br>Рис. 267<br><br>то а &gt; b. Если угол [[Image:24-06-52.jpg]] тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180° — [[Image:24-06-52.jpg]] острый (рис. 267, б). Причем угол 180° — [[Image:24-06-52.jpg]] больше угла [[Image:24-06-53.jpg]] как внешний угол треугольника, не смежный с углом [[Image:24-06-53.jpg]]. Поэтому sin [[Image:24-06-52.jpg]] = sin (180° —а) &gt; sin [[Image:24-06-53.jpg]]. И мы снова заключаем, что а&gt;b.
 +
 
 +
Докажем обратное утверждение. Пусть а&gt;b. Надо доказать, что [[Image:24-06-52.jpg]]&gt;[[Image:24-06-53.jpg]]. Допустим, что [[Image:24-06-52.jpg]][[Image:24-06-54.jpg]][[Image:24-06-53.jpg]]. Если [[Image:24-06-52.jpg]] = [[Image:24-06-53.jpg]], то треугольник равнобедренный и а = b. Если [[Image:24-06-52.jpg]]&lt;[[Image:24-06-53.jpg]], то по доказанному a&lt;b. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению а&gt;Ь, значит,[[Image:24-06-52.jpg]]&gt;[[Image:24-06-53.jpg]], что и требовалось доказать.
 +
 
 +
Задача (17). Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наибольшая.
 +
 
 +
Решение. В треугольнике может быть только один тупой угол. Поэтому он больше любого из остальных углов. А значит, противолежащая ему сторона больше любой из двух других сторон треугольника. <br>  
<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  
<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  

Версия 11:02, 24 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами


                              СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ПРОТИВОЛЕЖАЩИМИ СТОРОНАМИ


В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Пусть а и b — две стороны треугольника и 24-06-52.jpg, 24-06-53.jpg — противолежащие им углы. Докажем, что если 24-06-52.jpg > 24-06-53.jpg, то а > b. И обратно: если а>b, то 24-06-52.jpg>24-06-53.jpg.
Если углы 24-06-52.jpg и 24-06-53.jpg острые (рис. 267, с), то при 24-06-52.jpg > 24-06-53.jpg будет sin 24-06-52.jpg>sin 24-06-53.jpg. А так как
sin 24-06-52.jpg    sin 24-06-53.jpg
 

24-06-51.jpg
Рис. 267

то а > b. Если угол 24-06-52.jpg тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180° — 24-06-52.jpg острый (рис. 267, б). Причем угол 180° — 24-06-52.jpg больше угла 24-06-53.jpg как внешний угол треугольника, не смежный с углом 24-06-53.jpg. Поэтому sin 24-06-52.jpg = sin (180° —а) > sin 24-06-53.jpg. И мы снова заключаем, что а>b.

Докажем обратное утверждение. Пусть а>b. Надо доказать, что 24-06-52.jpg>24-06-53.jpg. Допустим, что 24-06-52.jpg24-06-54.jpg24-06-53.jpg. Если 24-06-52.jpg = 24-06-53.jpg, то треугольник равнобедренный и а = b. Если 24-06-52.jpg<24-06-53.jpg, то по доказанному a<b. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению а>Ь, значит,24-06-52.jpg>24-06-53.jpg, что и требовалось доказать.

Задача (17). Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наибольшая.

Решение. В треугольнике может быть только один тупой угол. Поэтому он больше любого из остальных углов. А значит, противолежащая ему сторона больше любой из двух других сторон треугольника.


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Планы конспектов уроков по математике 9 класса скачать, учебники и книги бесплатно, разработки уроков по математике онлайн



Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.