|
|
|
| Строка 9: |
Строка 9: |
| | <br>В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол. | | <br>В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол. |
| | | | |
| - | Пусть а и b — две стороны треугольника и [[Image:24-06-52.jpg]], [[Image:24-06-53.jpg]] — противолежащие им углы. Докажем, что если а > р, то а > Ь. И обратно: если а>Ъ, то а>р.<br>Если углы аир острые (рис. 267, с), то при а > Р будет sin a>sin p. А так как<br>sin а sin р<br> | + | Пусть а и b — две стороны треугольника и [[Image:24-06-52.jpg]], [[Image:24-06-53.jpg]] — противолежащие им углы. Докажем, что если [[Image:24-06-52.jpg]] > [[Image:24-06-53.jpg]], то а > b. И обратно: если а>b, то [[Image:24-06-52.jpg]]>[[Image:24-06-53.jpg]].<br>Если углы [[Image:24-06-52.jpg]] и [[Image:24-06-53.jpg]] острые (рис. 267, с), то при [[Image:24-06-52.jpg]] > [[Image:24-06-53.jpg]] будет sin [[Image:24-06-52.jpg]]>sin [[Image:24-06-53.jpg]]. А так как<br>sin [[Image:24-06-52.jpg]] sin [[Image:24-06-53.jpg]]<br> |
| | | | |
| - | [[Image:24-06-51.jpg]]<br>Рис. 267<br><br>то а > Ь. Если угол а тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180° — а острый (рис. 267, б). Причем угол 180° — а больше угла р как внешний угол треугольника, не смежный с углом р. Поэтому sin а = sin (180° —а) > sin р. И мы снова заключаем, что а>Ъ.<br>Докажем обратное утверждение. Пусть а>Ъ. Надо доказать, что а>р. Допустим, что а^р. Если а = Р, то треугольник равнобедренный и а = Ь. Если а<р, то по доказанному a<ib. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению а>Ь, значит,а>Р, что и требовалось доказать.<br>Задача (17). Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолез4сащая ему сторона наибольшая.<br>Решение. В треугольнике может быть только один тупой угол. Поэтому он больше любого из остальных углов. А значит, противолежащая ему сторона больше любой из двух других сторон треугольника. <br> | + | [[Image:24-06-51.jpg]]<br>Рис. 267<br><br>то а > b. Если угол [[Image:24-06-52.jpg]] тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180° — [[Image:24-06-52.jpg]] острый (рис. 267, б). Причем угол 180° — [[Image:24-06-52.jpg]] больше угла [[Image:24-06-53.jpg]] как внешний угол треугольника, не смежный с углом [[Image:24-06-53.jpg]]. Поэтому sin [[Image:24-06-52.jpg]] = sin (180° —а) > sin [[Image:24-06-53.jpg]]. И мы снова заключаем, что а>b. |
| | + | |
| | + | Докажем обратное утверждение. Пусть а>b. Надо доказать, что [[Image:24-06-52.jpg]]>[[Image:24-06-53.jpg]]. Допустим, что [[Image:24-06-52.jpg]][[Image:24-06-54.jpg]][[Image:24-06-53.jpg]]. Если [[Image:24-06-52.jpg]] = [[Image:24-06-53.jpg]], то треугольник равнобедренный и а = b. Если [[Image:24-06-52.jpg]]<[[Image:24-06-53.jpg]], то по доказанному a<b. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению а>Ь, значит,[[Image:24-06-52.jpg]]>[[Image:24-06-53.jpg]], что и требовалось доказать. |
| | + | |
| | + | Задача (17). Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наибольшая. |
| | + | |
| | + | Решение. В треугольнике может быть только один тупой угол. Поэтому он больше любого из остальных углов. А значит, противолежащая ему сторона больше любой из двух других сторон треугольника. <br> |
| | | | |
| | <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br> | | <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br> |
Версия 11:02, 24 июня 2010
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ПРОТИВОЛЕЖАЩИМИ СТОРОНАМИ
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Пусть а и b — две стороны треугольника и  ,  — противолежащие им углы. Докажем, что если > , то а > b. И обратно: если а>b, то >.
Если углы и острые (рис. 267, с), то при > будет sin >sin . А так как
sin sin
Рис. 267
то а > b. Если угол тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180° — острый (рис. 267, б). Причем угол 180° — больше угла как внешний угол треугольника, не смежный с углом . Поэтому sin = sin (180° —а) > sin . И мы снова заключаем, что а>b.
Докажем обратное утверждение. Пусть а>b. Надо доказать, что >. Допустим, что  . Если = , то треугольник равнобедренный и а = b. Если <, то по доказанному a<b. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению а>Ь, значит,>, что и требовалось доказать.
Задача (17). Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наибольшая.
Решение. В треугольнике может быть только один тупой угол. Поэтому он больше любого из остальных углов. А значит, противолежащая ему сторона больше любой из двух других сторон треугольника.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Планы конспектов уроков по математике 9 класса скачать, учебники и книги бесплатно, разработки уроков по математике онлайн
Содержание урока
 конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|
