KNOWLEDGE HYPERMARKET


Подобие правильных выпуклых многоугольников
(Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
Строка 5: Строка 5:
<br>  
<br>  
-
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ'''
+
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ'''  
-
<br>Теорема 13.4. '''''Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны'''''.
+
<br>Теорема 13.4. '''''Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны'''''.  
-
Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р<sub>1</sub>: А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub>, P<sub>2</sub>: B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>...B<sub>n</sub> — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.
+
Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р<sub>1</sub>: А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub>, P<sub>2</sub>: B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>...B<sub>n</sub> — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.  
-
Треугольники А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> и В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> равны по первому признаку. У них А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>=В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>, А2Аз = В2Вл и [[Image:20-06-61.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>.
+
Треугольники А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> и В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> равны по первому признаку. У них А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>=В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>, А2Аз = В2Вл и [[Image:20-06-61.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>.  
-
<br>&nbsp;<br>[[Image:24-06-87.jpg]]<br><br><br>Подвергнем многоугольник Pi движению, при котором его вершины Ai, А2, A3 переходят в вершины Bi, В2, Вз соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А^ перейдет в некоторую точку С. Точки Вл иС лежат по одну сторону с точкой В\ относительно прямой В2В3. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то /^В2ВзС= /-В2В3В4 и ВЗС=ВЗВА- А значит, точка С совпадает с точкой В^. Итак, при нашем движении вершина А^ переходит в вершину В^. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В5 и т. д. То есть многоугольник Р\ переводится движением в многоугольник Р2, а значит, они равны.<br>Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник Pi преобразованию подобия, например<br>В в<br>гомотетии,&nbsp; с&nbsp; коэффициентом&nbsp; подобия&nbsp; k — -р-^-.&nbsp; При&nbsp; этом<br>получим правильный п-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Рг.<br>По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник Ps, а значит, многоугольник Рг переводится в многоугольник Рг преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.<br>У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных «-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных п-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры п-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных п-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.<br><br>&nbsp;
+
<br>&nbsp;<br>[[Image:24-06-87.jpg]]<br><br><br>Подвергнем многоугольник P<sub>1</sub> движению, при котором его вершины А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> переходят в вершины В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А<sub>4</sub> перейдет в некоторую точку С. Точки В<sub>4</sub> иС лежат по одну сторону с точкой В<sub>1</sub> относительно прямой В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>С= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>В<sub>4</sub> и В<sub>З</sub>С=В<sub>З</sub>В<sub>4</sub>- А значит, точка С совпадает с точкой В<sub>4</sub>. Итак, при нашем движении вершина А4<sub></sub> переходит в вершину В<sub>4</sub>. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В<sub>5</sub> и т. д. То есть многоугольник Р<sub>1</sub> переводится движением в многоугольник Р<sub>2</sub>, а значит, они равны.<br>
 +
 
 +
Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник P<sub>1</sub> преобразованию подобия, например&nbsp; в гомотетии,&nbsp; с&nbsp; коэффициентом&nbsp; подобия&nbsp; [[Image:24-06-88.jpg]]-.&nbsp; При&nbsp; этом получим правильный n-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Р<sub>2</sub>.
 +
 
 +
По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник P<sub>2</sub>, а значит, многоугольник Р<sub>1</sub> переводится в многоугольник Р<sub>2</sub> преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.
 +
 
 +
У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных n-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных n-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры n-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных n-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.<br><br>&nbsp;  
<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  
<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  

Версия 18:41, 24 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика:Подобие правильных выпуклых многоугольников


                                              ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ


Теорема 13.4. Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.

Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р1: А1А2...Аn, P2: B1B2...Bn — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.

Треугольники А1А2А3 и В1В2В3 равны по первому признаку. У них А1А21В2, А2Аз = В2Вл и 20-06-61.jpgА1А2А3= 20-06-61.jpgВ1В2В3.


 
24-06-87.jpg


Подвергнем многоугольник P1 движению, при котором его вершины А1А2А3 переходят в вершины В1В2В3 соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А4 перейдет в некоторую точку С. Точки В4 иС лежат по одну сторону с точкой В1 относительно прямой В2В3. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то 20-06-61.jpgВ2В3С= 20-06-61.jpgВ2В3В4 и ВЗС=ВЗВ4- А значит, точка С совпадает с точкой В4. Итак, при нашем движении вершина А4 переходит в вершину В4. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В5 и т. д. То есть многоугольник Р1 переводится движением в многоугольник Р2, а значит, они равны.

Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник P1 преобразованию подобия, например  в гомотетии,  с  коэффициентом  подобия  24-06-88.jpg-.  При  этом получим правильный n-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Р2.

По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник P2, а значит, многоугольник Р1 переводится в многоугольник Р2 преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.

У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных n-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных n-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры n-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных n-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.

 


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Планирование по математике , учебники и книги онлайн, курсы и задачи по математике для 9 класса скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.