Тригонометрические функции числового аргумента — Гипермаркет знаний

KNOWLEDGE HYPERMARKET

Тригонометрические функции числового аргумента

 		Версия 10:46, 2 июля 2010 (просмотреть исходный код)
User9  (Обсуждение | вклад)
← Предыдущая правка
		Версия 10:58, 2 июля 2010 (просмотреть исходный код)
User9  (Обсуждение | вклад) 
Следующая правка →
		
Строка 1:
Строка 1:
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика: Тригонометрические функции числового аргумента'''    '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика: Тригонометрические функции числового аргумента'''  
  
  + <br> 
  
  + ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА<br>Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.<br>Чтобы, по числу t найти значение sin t, нужно:<br>1)&nbsp;&nbsp;&nbsp; расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);<br>2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; на окружности найти точку, соответствующую числу 2;<br>3)&nbsp;&nbsp;&nbsp; найти ординату этой точки. Эта ордината и есть sin t.<br>Фактически речь идет о функции u = sin t, где 2 — любое действительное число. Вы умеете вычислять некоторые значения этой функции (например, [[Image:Alg41.jpg]], знаете некоторые ее свойства.<br>Точно так же можно считать, что в предыдущем параграфе вы получили некоторые представления еще о трех функциях: [[Image:Alg42.jpg]] Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.<br>Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, неметрические которые из этих соотношений вы уже знаете: 
  
- ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА<br>Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.<br>Чтобы, по числу t найти значение sin t, нужно:<br>1)&nbsp;&nbsp;&nbsp; расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);<br>2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; на окружности найти точку, соответствующую числу 2;<br>3)&nbsp;&nbsp;&nbsp; найти ординату этой точки. Эта ордината и есть sin t.<br>Фактически речь идет о функции u = sin t, где 2 — любое действительное число. Вы умеете вычислять некоторые значения этой функции (например, [[Image:alg41.jpg]], знаете некоторые ее свойства.<br>Точно так же можно считать, что в предыдущем параграфе вы получили некоторые представления еще о трех функциях: [[Image:alg42.jpg]] Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.<br>Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, неметрические которые из этих соотношений вы уже знаете: + [[Image:Alg43.jpg]] <br>Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t&nbsp; и ctg t  
  
- [[Image:alg43.jpg]] <br>Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t&nbsp; и ctg t + [[Image:Alg44.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Упростить выражение: 
  
- [[Image:alg44.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Упростить выражение: + [[Image:Alg45.jpg]]  
  
- [[Image:alg45.jpg]] + '''Р е ш е н и е.''' а) Имеем: 
  
- '''Р е ш е н и е.''' а) Имеем: + [[Image:Alg46.jpg]]<br>Мы получили еще две важные формулы:  
  
- [[Image:alg46.jpg]]<br>Мы получили еще две важные формулы: + [[Image:Alg47.jpg]]<br>Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.<br>'''Пример 2.''' Известно, что [[Image:Alg48.jpg]]&nbsp; Вычислить соответствующие значения [[Image:Alg49.jpg]]  
-   + 
- [[Image:alg47.jpg]]<br>Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.<br>'''Пример 2.''' Известно, что [[Image:alg48.jpg]]&nbsp; Вычислить соответствующие значения [[Image:alg49.jpg]]   + 
  
 Р е ш е н и е. Из соотношения    Р е ш е н и е. Из соотношения  
  
- [[Image:alg410.jpg]]<br>Из уравнения соз2 2 = — находим, что соз 2 = - или сое 2 = - ~. По<br>условию, аргумент 2 принадлежит первой четверти числовой окружности, а в ней соз 2 &gt; 0. Значит, из двух указанных выше возможно-<br>4<br>стеи выбираем первую: сое I = ^ .<br>Зная значения зш 2 и сое 2, нетрудно вычислить соответствующие значения 2 и с*,^ 2:<br>зш I 3 4 3&nbsp;&nbsp;&nbsp; . 1 4<br>^ I =-----=&nbsp;&nbsp;&nbsp; с!^ 2 =-= -.<br>К соз 2 5 5 4'&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1В * 3<br>4&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4 Ответ: соз 1= - ; - ~ ; 2 = - .<br>5&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp;&nbsp; о<br>5 71<br>Пример 3. Известно, что ^ = ~ ^ &gt; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp; Найти значе-<br>ния 3111 2, соз 2, сЬ&amp; 2.<br>Решение. Воспользуемся соотношением<br>1 + 1*4= 1<br>соз'11<br>По условию, 2 = - — , значит,<br>_&nbsp;&nbsp;&nbsp; Г 5 V 169 ' , 144<br>соз2 2 = 1 + 12 ] = Ш&gt;асов*= ШГ<br>Из последнего уравнения находим, что<br>12 12<br>соз 2 = — или соз 2 = - —.<br>По условию, аргумент 2 принадлежит второй четверти числовой окружности, а в ней соз 2 &lt; 0. Значит, из двух указанных выше возможностей выбираем вторую:<br>12<br>соз2 = --.<br>176<br>5.21.Ц<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Зная значения * и соа I, нетрудно вычислить соответствующие значения зт I и с1;§ V.<br>Тз;<br>81114<br>=-, значит, зт 1 = соа I =<br>соз I<br>' 5 '&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; ' 12'<br>Г 12,&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; Г<br><br>1<br>Ьё* 5<br>12<br>У<br>12&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5&nbsp;&nbsp;&nbsp; 12<br>О т в е т: соз I = -— ; зт&lt;=7^;&nbsp;&nbsp;&nbsp; •<br>1о&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1о&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5 + [[Image:Alg410.jpg]]<br>Из уравнения [[Image:alg411.jpg]] находим, что [[Image:alg412.jpg]] По условию, аргумент t принадлежит первой четверти числовой окружности, а в ней соs t &gt; 0. Значит, из двух указанных выше возможностеи выбираем первую: [[Image:alg413.jpg]]<br>Зная значения sin t и соs t, нетрудно вычислить соответствующие значения tg t и ctg t:
  +  
  + [[Image:alg414.jpg]]<br>'''Пример 3. '''Известно, что [[Image:alg415.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp; Найти значения sin t, соs t, ctg t.<br>'''Решение.''' Воспользуемся соотношением
  +  
  + [[Image:alg416.jpg]]<br>По условию, аргумент t принадлежит второй четверти числовой окружности, а в ней соs t &lt; 0. Значит, из двух указанных выше возможностей выбираем вторую:
  +  
  + [[Image:alg417.jpg]]<br>Зная значения tg t и соs t, нетрудно вычислить соответствующие значения sin t и сtg t.
  +  
  + [[Image:alg418.jpg]]<br><br><br>
  
 А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс    А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс  
Версия 10:58, 2 июля 2010
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Тригонометрические функции числового аргумента 

 
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.
Чтобы, по числу t найти значение sin t, нужно:
1)    расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);
2)    на окружности найти точку, соответствующую числу 2;
3)    найти ординату этой точки. Эта ордината и есть sin t.
Фактически речь идет о функции u = sin t, где 2 — любое действительное число. Вы умеете вычислять некоторые значения этой функции (например, , знаете некоторые ее свойства.
Точно так же можно считать, что в предыдущем параграфе вы получили некоторые представления еще о трех функциях:  Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.
Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, неметрические которые из этих соотношений вы уже знаете: 
 
Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t  и ctg t 

Пример 1. Упростить выражение: 
 
Р е ш е н и е. а) Имеем: 

Мы получили еще две важные формулы: 

Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.
Пример 2. Известно, что   Вычислить соответствующие значения  
Р е ш е н и е. Из соотношения 

Из уравнения  находим, что  По условию, аргумент t принадлежит первой четверти числовой окружности, а в ней соs t > 0. Значит, из двух указанных выше возможностеи выбираем первую: 
Зная значения sin t и соs t, нетрудно вычислить соответствующие значения tg t и ctg t:

Пример 3. Известно, что     Найти значения sin t, соs t, ctg t.
Решение. Воспользуемся соотношением

По условию, аргумент t принадлежит второй четверти числовой окружности, а в ней соs t < 0. Значит, из двух указанных выше возможностей выбираем вторую:

Зная значения tg t и соs t, нетрудно вычислить соответствующие значения sin t и сtg t.




А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс 

 
_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать} 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B0%D1%80%D0%B3%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0»
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]&gt;&gt;[[Математика|Математика]]&gt;&gt;[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]&gt;&gt;Математика: Тригонометрические функции числового аргумента'''
+<br>
+ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА<br>Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.<br>Чтобы, по числу t найти значение sin t, нужно:<br>1)&nbsp;&nbsp;&nbsp; расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);<br>2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; на окружности найти точку, соответствующую числу 2;<br>3)&nbsp;&nbsp;&nbsp; найти ординату этой точки. Эта ордината и есть sin t.<br>Фактически речь идет о функции u = sin t, где 2 — любое действительное число. Вы умеете вычислять некоторые значения этой функции (например, [[Image:Alg41.jpg]], знаете некоторые ее свойства.<br>Точно так же можно считать, что в предыдущем параграфе вы получили некоторые представления еще о трех функциях: [[Image:Alg42.jpg]] Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.<br>Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, неметрические которые из этих соотношений вы уже знаете:
-ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА<br>Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.<br>Чтобы, по числу t найти значение sin t, нужно:<br>1)&nbsp;&nbsp;&nbsp; расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);<br>2)&nbsp;&nbsp;&nbsp; на окружности найти точку, соответствующую числу 2;<br>3)&nbsp;&nbsp;&nbsp; найти ординату этой точки. Эта ордината и есть sin t.<br>Фактически речь идет о функции u = sin t, где 2 — любое действительное число. Вы умеете вычислять некоторые значения этой функции (например, [[Image:alg41.jpg]], знаете некоторые ее свойства.<br>Точно так же можно считать, что в предыдущем параграфе вы получили некоторые представления еще о трех функциях: [[Image:alg42.jpg]] Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.<br>Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, неметрические которые из этих соотношений вы уже знаете:
+[[Image:Alg43.jpg]] <br>Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t&nbsp; и ctg t
-[[Image:alg43.jpg]] <br>Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t&nbsp; и ctg t
+[[Image:Alg44.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Упростить выражение:
-[[Image:alg44.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Упростить выражение:
+[[Image:Alg45.jpg]]
-[[Image:alg45.jpg]]
+'''Р е ш е н и е.''' а) Имеем:
-'''Р е ш е н и е.''' а) Имеем:
+[[Image:Alg46.jpg]]<br>Мы получили еще две важные формулы:
-[[Image:alg46.jpg]]<br>Мы получили еще две важные формулы:
+[[Image:Alg47.jpg]]<br>Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.<br>'''Пример 2.''' Известно, что [[Image:Alg48.jpg]]&nbsp; Вычислить соответствующие значения [[Image:Alg49.jpg]]
-[[Image:alg47.jpg]]<br>Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.<br>'''Пример 2.''' Известно, что [[Image:alg48.jpg]]&nbsp; Вычислить соответствующие значения [[Image:alg49.jpg]]
 Р е ш е н и е. Из соотношения
-[[Image:alg410.jpg]]<br>Из уравнения соз2 2 = — находим, что соз 2 = - или сое 2 = - ~. По<br>условию, аргумент 2 принадлежит первой четверти числовой окружности, а в ней соз 2 &gt; 0. Значит, из двух указанных выше возможно-<br>4<br>стеи выбираем первую: сое I = ^ .<br>Зная значения зш 2 и сое 2, нетрудно вычислить соответствующие значения 2 и с*,^ 2:<br>зш I 3 4 3&nbsp;&nbsp;&nbsp; . 1 4<br>^ I =-----=&nbsp;&nbsp;&nbsp; с!^ 2 =-= -.<br>К соз 2 5 5 4'&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1В * 3<br>4&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4 Ответ: соз 1= - ; - ~ ; 2 = - .<br>5&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp;&nbsp; о<br>5 71<br>Пример 3. Известно, что ^ = ~ ^ &gt; 2&nbsp;&nbsp;&nbsp; Найти значе-<br>ния 3111 2, соз 2, сЬ&amp; 2.<br>Решение. Воспользуемся соотношением<br>1 + 1*4= 1<br>соз'11<br>По условию, 2 = - — , значит,<br>_&nbsp;&nbsp;&nbsp; Г 5 V 169 ' , 144<br>соз2 2 = 1 + 12 ] = Ш&gt;асов*= ШГ<br>Из последнего уравнения находим, что<br>12 12<br>соз 2 = — или соз 2 = - —.<br>По условию, аргумент 2 принадлежит второй четверти числовой окружности, а в ней соз 2 &lt; 0. Значит, из двух указанных выше возможностей выбираем вторую:<br>12<br>соз2 = --.<br>176<br>5.21.Ц<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Зная значения * и соа I, нетрудно вычислить соответствующие значения зт I и с1;§ V.<br>Тз;<br>81114<br>=-, значит, зт 1 = соа I =<br>соз I<br>' 5 '&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; ' 12'<br>Г 12,&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; Г<br><br>1<br>Ьё* 5<br>12<br>У<br>12&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5&nbsp;&nbsp;&nbsp; 12<br>О т в е т: соз I = -— ; зт&lt;=7^;&nbsp;&nbsp;&nbsp; •<br>1о&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1о&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5
+[[Image:Alg410.jpg]]<br>Из уравнения [[Image:alg411.jpg]] находим, что [[Image:alg412.jpg]] По условию, аргумент t принадлежит первой четверти числовой окружности, а в ней соs t &gt; 0. Значит, из двух указанных выше возможностеи выбираем первую: [[Image:alg413.jpg]]<br>Зная значения sin t и соs t, нетрудно вычислить соответствующие значения tg t и ctg t:
+[[Image:alg414.jpg]]<br>'''Пример 3. '''Известно, что [[Image:alg415.jpg]]&nbsp;&nbsp;&nbsp; Найти значения sin t, соs t, ctg t.<br>'''Решение.''' Воспользуемся соотношением
+[[Image:alg416.jpg]]<br>По условию, аргумент t принадлежит второй четверти числовой окружности, а в ней соs t &lt; 0. Значит, из двух указанных выше возможностей выбираем вторую:
+[[Image:alg417.jpg]]<br>Зная значения tg t и соs t, нетрудно вычислить соответствующие значения sin t и сtg t.
+[[Image:alg418.jpg]]<br><br><br>
 А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

© Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: