2. Цілі раціональні вирази. Дробові раціональні вирази.
2. Цілі раціональні вирази. Дробові раціональні вирази.
+
+
<br>
+
+
<u>'''1. Що таке алгебраїчний вираз?Що таке вирази зі змінними?''' </u>
-
'''1. Що таке алгебраїчний вираз?Що таке вирази зі змінними?'''
Якщо з'єднати числа, знаки дій, дужки в одному виразі, то отримаємо числовий вираз. Приклади числових виразів: 1+2 (1 / 2+ 3 / 4) * 15- 8: 2; (3 / 5)- 2 (4 / 5)* 3;
Якщо з'єднати числа, знаки дій, дужки в одному виразі, то отримаємо числовий вираз. Приклади числових виразів: 1+2 (1 / 2+ 3 / 4) * 15- 8: 2; (3 / 5)- 2 (4 / 5)* 3;
Строка 26:
Строка 29:
Якщо у виразі крім чисел використовувати букви, то отримаємо буквенний вираз.
Якщо у виразі крім чисел використовувати букви, то отримаємо буквенний вираз.
-
'''Буквеними виразами називають''' записи, в яких числа і букви з’єднані знаками дій. Наприклад, '''x-3, x+y, 3a+2b, c:d.'''
+
'''Буквеними виразами називають''' записи, в яких числа і букви з’єднані знаками дій. Наприклад, '''x-3, x+y, 3a+2b, c:d.''' Буквений вираз, який показує залежність між величинами, позначеними буквами, '''називається формулою.''' Наприклад, позначимо довжину шляху буквою '''S''', швидкість рівномірного руху – буквою '''V''', а час – буквою '''t'''. Тоді вираз '''S=V*t''' є формулою шляху. Із цієї формули можна виразити інші змінні величини:'''V=S/t''' - формула швидкості,'''t=S/V''' - формула часу.
-
Буквений вираз, який показує залежність між величинами, позначеними буквами, '''називається формулою.'''
+
-
Наприклад, позначимо довжину шляху буквою '''S''', швидкість рівномірного руху – буквою '''V''', а час – буквою '''t'''. Тоді вираз '''S=V*t''' є формулою шляху. Із цієї формули можна виразити інші змінні величини:'''V=S/t''' - формула швидкості,'''t=S/V''' - формула часу.
+
'''Перетворення виразів:'''
'''Перетворення виразів:'''
-
1. При розкритті дужок, перед якими стоїть "+", цей знак і дужки можна опустити. Наприклад, '''a+(-b+c+4)=a-b+c+4. '''
+
1. При розкритті дужок, перед якими стоїть "+", цей знак і дужки можна опустити. Наприклад, '''a+(-b+c+4)=a-b+c+4. '''
-
2. Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак "-", слід опустити дужки і знак "-", змінивши знаки всіх доданків у дужках на протилежні. Наприклад, '''-(a-b)=-a+b; x-(-y+z)=x+y-z. '''
+
2. Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак "-", слід опустити дужки і знак "-", змінивши знаки всіх доданків у дужках на протилежні. Наприклад, '''-(a-b)=-a+b; x-(-y+z)=x+y-z. '''
-
3. Якщо перед дужками стоїть множник, то на нього умножають кожний доданок у дужках. Наприклад, '''6+4(a-b)=6+4a-4b; -4(5-3a)=-20+12a.'''
+
3. Якщо перед дужками стоїть множник, то на нього умножають кожний доданок у дужках. Наприклад, '''6+4(a-b)=6+4a-4b; -4(5-3a)=-20+12a.'''
-
Доданки, які мають однакову буквену частину, називають подібними доданками. Наприклад, '''4a і (-5a).'''
+
Доданки, які мають однакову буквену частину, називають подібними доданками. Наприклад, '''4a і (-5a).'''
-
Додавання і віднімання подібних доданків називається зведенням подібних доданків. Щоб звести подібні доданки треба додаті їх коефіціенти і результат помножити на їх спільну буквену частину. Наприклад, '''-4a+6a=(-4+6)a=2a; a-4a+7a=(1-4+7)a=4a. '''
+
Додавання і віднімання подібних доданків називається зведенням подібних доданків. Щоб звести подібні доданки треба додаті їх коефіціенти і результат помножити на їх спільну буквену частину. Наприклад, '''-4a+6a=(-4+6)a=2a; a-4a+7a=(1-4+7)a=4a. '''
Якщо доданки мають спільний множник, то його можна винести за дужки. Наприклад,'''6x+6y=6(x+y); 2ab+b=b(2a+1)'''.
Якщо доданки мають спільний множник, то його можна винести за дужки. Наприклад,'''6x+6y=6(x+y); 2ab+b=b(2a+1)'''.
-
Якщо доданки мають спільний множник, то його можна винести за дужки, а в дужках залишиться сума інших множників. Наприклад, '''6a+6b=6(a+b); 2xy+y=y(2x+1).'''
+
Якщо доданки мають спільний множник, то його можна винести за дужки, а в дужках залишиться сума інших множників. Наприклад, '''6a+6b=6(a+b); 2xy+y=y(2x+1).'''
+
<br> <u>'''2. Цілі раціональні вирази. Дробові раціональні вирази'''</u>
-
2. Цілі раціональні вирази. Дробові раціональні вирази
<u>'''Цілими раціональними виразами'''</u> називаються числові вирази, а також вирази із змінними, які можуть містити дії додавання, віднімання, множення, піднесення змінних до натурального степеня. Приклади цілих раціональних виразів:
<u>'''Цілими раціональними виразами'''</u> називаються числові вирази, а також вирази із змінними, які можуть містити дії додавання, віднімання, множення, піднесення змінних до натурального степеня. Приклади цілих раціональних виразів:
+
<br>
-
+
[[Image:1801-1.jpg]]
-
[[Image:1801-1.jpg]]
+
<br> Вирази '''не є''' цілими раціональними, бо містять операції піднесення до від'ємного степеня і ділення на змінні.
<br> Вирази '''не є''' цілими раціональними, бо містять операції піднесення до від'ємного степеня і ділення на змінні.
+
<br>
+
{{#ev:youtube|Kf9OqBRpeho }}
-
{{#ev:youtube|Kf9OqBRpeho }}
+
<br> '''Дробові раціональні вирази. Основна властивість раціонального дробу'''
-
+
-
<br> '''Дробові раціональні вирази. Основна властивість раціонального дробу'''
+
<u>'''Дробовими раціональними (дробово-раціональними) виразами'''</u> називають вирази із змінними, які можуть містити операції додавання, віднімання, множення, піднесення змінних до натурального степеня, а також ділення на вирази із змінними. Приклади дробово-раціональних виразів:
<u>'''Дробовими раціональними (дробово-раціональними) виразами'''</u> називають вирази із змінними, які можуть містити операції додавання, віднімання, множення, піднесення змінних до натурального степеня, а також ділення на вирази із змінними. Приклади дробово-раціональних виразів:
+
<br>
-
+
[[Image:1801-2.jpg]]
-
[[Image:1801-2.jpg]]
+
<br> <u>'''Раціональним дробом'''</u> називається вираз P/Q , де P і Q – раціональні вирази, причому вираз Q обов'язково містить змінні. Приклади раціональних дробів:
<br> <u>'''Раціональним дробом'''</u> називається вираз P/Q , де P і Q – раціональні вирази, причому вираз Q обов'язково містить змінні. Приклади раціональних дробів:
Строка 75:
Строка 75:
<br>
<br>
-
[[Image:1801-3.jpg]]
+
[[Image:1801-3.jpg]]
<br> Основна властивість дробу Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз, то дістанемо дріб, який тотожно дорівнює даному. Наприклад
<br> Основна властивість дробу Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз, то дістанемо дріб, який тотожно дорівнює даному. Наприклад
+
<br>
+
[[Image:1801-4.jpg]]
-
[[Image:1801-4.jpg]]
+
<br>
-
+
-
+
Основна властивість дробу дає можливість замінити дріб тотожно рівним йому дробом. Таке перетворення називають скороченням дробу (скорочення дробу - reduction of fraction) . Наприклад
Основна властивість дробу дає можливість замінити дріб тотожно рівним йому дробом. Таке перетворення називають скороченням дробу (скорочення дробу - reduction of fraction) . Наприклад
+
<br>
+
[[Image:1801-5.jpg]]
-
[[Image:1801-5.jpg]]
+
<br>
-
+
-
+
Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники, а знаменник залишити той самий. Щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник від'ємника, а знаменник залишити той самий. Наприклад
Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники, а знаменник залишити той самий. Щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник від'ємника, а знаменник залишити той самий. Наприклад
+
<br>
+
[[Image:1801-6.jpg]]
-
[[Image:1801-6.jpg]]
+
<br>
-
+
-
+
Якщо треба знайти суму або різницю дробів з різними знаменниками, то спочатку їх зводять до спільного знаменника. Наприклад
Якщо треба знайти суму або різницю дробів з різними знаменниками, то спочатку їх зводять до спільного знаменника. Наприклад
+
<br>
+
[[Image:1801-7.jpg]]
-
[[Image:1801-7.jpg]]
+
<br>
-
+
-
+
Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити окремо їх чисельники і окремо знаменники і перший добуток записати чисельником, а другий - знаменником дробу. Наприклад
Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити окремо їх чисельники і окремо знаменники і перший добуток записати чисельником, а другий - знаменником дробу. Наприклад
+
<br>
+
[[Image:1801-8.jpg]]
-
[[Image:1801-8.jpg]]
+
<br>
-
+
-
+
Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник і перший результат записати у чисельнику, а другий - у знаменнику дробу. Наприклад
Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник і перший результат записати у чисельнику, а другий - у знаменнику дробу. Наприклад
+
<br>
+
[[Image:1801-9.jpg]]
-
[[Image:1801-9.jpg]]
+
<br>
-
+
-
+
Щоб поділити один дріб на другий, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого. Наприклад
Щоб поділити один дріб на другий, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого. Наприклад
+
<br>
+
[[Image:1801-10.jpg]]
-
[[Image:1801-10.jpg]]
+
<br>
-
+
-
+
Значення дробу дорівнює нулю лише, коли чисельник перетворюється на нуль:
Значення дробу дорівнює нулю лише, коли чисельник перетворюється на нуль:
+
<br>
+
[[Image:1801-11.jpg]]
-
[[Image:1801-11.jpg]]
+
<br>
-
+
-
+
Дріб не має змісту у випадку, коли знаменник перетворюється на нуль:
Дріб не має змісту у випадку, коли знаменник перетворюється на нуль:
-
<br> [[Image:1801-12.jpg]]
+
<br> [[Image:1801-12.jpg]]
-
+
+
<br>
Вираз, складений з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня, називається раціональним виразом.
Вираз, складений з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня, називається раціональним виразом.
-
<br>
+
<br>
-
{{#ev:youtube|2TEDSiTmyxw }}
+
{{#ev:youtube|2TEDSiTmyxw }}
-
<br> <u>'''Перевір себе:'''</u>
+
<br> <u>'''Перевір себе:'''</u>
1. Відомо, що a-b=6; с=5. Знайти значення виразу: 1) a - b+3c; 2) c*(b-a); 3)3/c - 2/a-b.
1. Відомо, що a-b=6; с=5. Знайти значення виразу: 1) a - b+3c; 2) c*(b-a); 3)3/c - 2/a-b.
Строка 159:
Строка 159:
2. При яких значеннях змінної має сенс вираз: 1) 3х+4; 2) 8/с-5; 3) 1/(1+1/х).
2. При яких значеннях змінної має сенс вираз: 1) 3х+4; 2) 8/с-5; 3) 1/(1+1/х).
-
<br> <u>'''Список використаної літератури:'''</u>
+
<br> <u>'''Список використаної літератури:'''</u>
+
+
1. Урок на тему «Вирази зі змінними» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323).
+
+
2. Урок на тему «Цілі і дробові раціональні вирази» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323).
-
1. Урок на тему «Вирази зі змінними» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323). 2. Урок на тему «Цілі і дробові раціональні вирази» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323). 3. Істер О. А. «Алгебра. 7 клас». 4. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задачізавдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків, Гімназія, 2004. – 112 с.: іл.
+
3. Істер О. А. «Алгебра. 7 клас». 4. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків, Гімназія, 2004. – 112 с.: іл.
Тема 5. Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази
Мета: дізнатися, що таке вирази зі змінними; зрозуміти, які вирази називаються раціональними; навчитися розв’язувати приклади із раціональними виразами.
План: 1. Що таке алгебраїчний вираз? Що таке вирази зі змінними?
2. Цілі раціональні вирази. Дробові раціональні вирази.
1. Що таке алгебраїчний вираз?Що таке вирази зі змінними?
Якщо з'єднати числа, знаки дій, дужки в одному виразі, то отримаємо числовий вираз. Приклади числових виразів: 1+2 (1 / 2+ 3 / 4) * 15- 8: 2; (3 / 5)- 2 (4 / 5)* 3;
Числовий вираз дорівнює числу, яке ми отримаємо, виконавши всі дії в цьому числовому виразі.
Якщо у виразі крім чисел використовувати букви, то отримаємо буквенний вираз.
Буквеними виразами називають записи, в яких числа і букви з’єднані знаками дій. Наприклад, x-3, x+y, 3a+2b, c:d. Буквений вираз, який показує залежність між величинами, позначеними буквами, називається формулою. Наприклад, позначимо довжину шляху буквою S, швидкість рівномірного руху – буквою V, а час – буквою t. Тоді вираз S=V*t є формулою шляху. Із цієї формули можна виразити інші змінні величини:V=S/t - формула швидкості,t=S/V - формула часу.
Перетворення виразів:
1. При розкритті дужок, перед якими стоїть "+", цей знак і дужки можна опустити. Наприклад, a+(-b+c+4)=a-b+c+4.
2. Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак "-", слід опустити дужки і знак "-", змінивши знаки всіх доданків у дужках на протилежні. Наприклад, -(a-b)=-a+b; x-(-y+z)=x+y-z.
3. Якщо перед дужками стоїть множник, то на нього умножають кожний доданок у дужках. Наприклад, 6+4(a-b)=6+4a-4b; -4(5-3a)=-20+12a.
Доданки, які мають однакову буквену частину, називають подібними доданками. Наприклад, 4a і (-5a).
Додавання і віднімання подібних доданків називається зведенням подібних доданків. Щоб звести подібні доданки треба додаті їх коефіціенти і результат помножити на їх спільну буквену частину. Наприклад, -4a+6a=(-4+6)a=2a; a-4a+7a=(1-4+7)a=4a.
Якщо доданки мають спільний множник, то його можна винести за дужки. Наприклад,6x+6y=6(x+y); 2ab+b=b(2a+1).
Якщо доданки мають спільний множник, то його можна винести за дужки, а в дужках залишиться сума інших множників. Наприклад, 6a+6b=6(a+b); 2xy+y=y(2x+1).
2. Цілі раціональні вирази. Дробові раціональні вирази
Цілі раціональні вирази
Цілими раціональними виразами називаються числові вирази, а також вирази із змінними, які можуть містити дії додавання, віднімання, множення, піднесення змінних до натурального степеня. Приклади цілих раціональних виразів:
Вирази не є цілими раціональними, бо містять операції піднесення до від'ємного степеня і ділення на змінні.
Дробові раціональні вирази. Основна властивість раціонального дробу
Дробовими раціональними (дробово-раціональними) виразами називають вирази із змінними, які можуть містити операції додавання, віднімання, множення, піднесення змінних до натурального степеня, а також ділення на вирази із змінними. Приклади дробово-раціональних виразів:
Раціональним дробом називається вираз P/Q , де P і Q – раціональні вирази, причому вираз Q обов'язково містить змінні. Приклади раціональних дробів:
Основна властивість дробу Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз, то дістанемо дріб, який тотожно дорівнює даному. Наприклад
Основна властивість дробу дає можливість замінити дріб тотожно рівним йому дробом. Таке перетворення називають скороченням дробу (скорочення дробу - reduction of fraction) . Наприклад
Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники, а знаменник залишити той самий. Щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник від'ємника, а знаменник залишити той самий. Наприклад
Якщо треба знайти суму або різницю дробів з різними знаменниками, то спочатку їх зводять до спільного знаменника. Наприклад
Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити окремо їх чисельники і окремо знаменники і перший добуток записати чисельником, а другий - знаменником дробу. Наприклад
Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник і перший результат записати у чисельнику, а другий - у знаменнику дробу. Наприклад
Щоб поділити один дріб на другий, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого. Наприклад
Значення дробу дорівнює нулю лише, коли чисельник перетворюється на нуль:
Дріб не має змісту у випадку, коли знаменник перетворюється на нуль:
Вираз, складений з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня, називається раціональним виразом.
Перевір себе:
1. Відомо, що a-b=6; с=5. Знайти значення виразу: 1) a - b+3c; 2) c*(b-a); 3)3/c - 2/a-b.
2. При яких значеннях змінної має сенс вираз: 1) 3х+4; 2) 8/с-5; 3) 1/(1+1/х).
Список використаної літератури:
1. Урок на тему «Вирази зі змінними» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323).
2. Урок на тему «Цілі і дробові раціональні вирази» викладача Конченко Т. М. , Гімназії міжнародних відносин, м. Київ (СЗШ №323).
3. Істер О. А. «Алгебра. 7 клас». 4. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., ЯкірМ. С. Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання з алгебри для 7 класу. – Харків, Гімназія, 2004. – 112 с.: іл.
Відредаговано і надіслано Мазуренко М.С.
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
