Версия 10:54, 8 октября 2012

Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Еще одна формула корней квадратного уравнения

<a href="Гипермаркет знаний - первый в мире!">Гипермаркет знаний</a>>><a href="Математика">Математика</a>>><a href="Математика 8 класс">Математика 8 класс</a>>>Математика:Еще одна формула корней квадратного уравнения

Еще одна формула корней квадратного уравнения

Мы с вами уже привыкли к тому, что корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 находятся по формуле

<img src="/images/1/10/14-06-37.jpg" _fck_mw_filename="14-06-37.jpg" alt="" />

(если, конечно, дискриминант D = b² — 4ас — неотрицательное число; если же D < О, то приведенная формула не имеет смысла, а квадратное уравнение не имеет корней).
Но математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что формулу (1) можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если Ъ есть четное число.
В самом деле, пусть у квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = О
коэффициент Ъ имеет вид Ъ — 2k. Подставив в формулу (1) число 2k вместо b, получим:

<img src="/images/6/61/14-06-38.jpg" _fck_mw_filename="14-06-38.jpg" alt="" />

Итак, корни квадратного уравнения ах² + + 2kx + с = О можно вычислять по формуле

<img src="/images/9/93/14-06-39.jpg" _fck_mw_filename="14-06-39.jpg" alt="" />
Сравните эту формулу с формулой (1). В чем ее преимущества?

Во-первых, в квадрат возводится не число b, а его половина <img src="/images/8/80/14-06-40.jpg" _fck_mw_filename="14-06-40.jpg" alt="" />

Во-вторых, вычитается из этого квадрата не 4ас, a просто ас.

В-третьих, в знаменателе содержится не 2а, а просто а. Как видите, по крайней мере в трех моментах мы облегчаем себе выкладки. Особенно приятно выглядит формула (2) для приведенного квадратного уравнения, т. е. для случая, когда а = 1. Тогда получаем

<img src="/images/0/07/14-06-41.jpg" _fck_mw_filename="14-06-41.jpg" alt="" />

Это — формула корней уравнения х² + 2kx + с — 0.
Вернемся к предыдущему параграфу и еще раз решим некоторые из имеющихся там квадратных уравнений — для сравнения трудоемкости вычислений по старой формуле (формуле (1)) и по новой формуле (формуле(2) или (3)).
В примере 1 из § 22 получилось квадратное уравнение х² + 10x - 7200 = 0.
Мы решали его так:

<img src="/images/9/95/14-06-42.jpg" _fck_mw_filename="14-06-42.jpg" alt="" />

А теперь решим то же квадратное уравнение по формуле (3), учитывая, что в данном случае b = 10, т. е. 2k = 10, k = 5. Имеем

<img src="/images/7/76/14-06-43.jpg" _fck_mw_filename="14-06-43.jpg" alt="" />

В примере 3 из § 22 было получено квадратное уравнение
х² - 92х + 960 = 0.
Мы решали его так:

<img src="/images/b/b7/14-06-44.jpg" _fck_mw_filename="14-06-44.jpg" alt="" />

А теперь решим это квадратное уравнение по формуле (3), учитывая, что в данном случае b = - 92, т. е. 2k = - 92, k = - 46.
Имеем

<img src="/images/9/94/14-06-45.jpg" _fck_mw_filename="14-06-45.jpg" alt="" />

Думается, что преимущества новой формулы вы оценили.
В заключение параграфа рассмотрим еще одно квадратное уравнение, которое мы решали по старой формуле (см. пример 6 из § 20), а теперь решим по-новому. Речь идет об уравнении

<img src="/images/2/2d/14-06-46.jpg" _fck_mw_filename="14-06-46.jpg" alt="" />

Сравните этот вариант решения с тем, который был предложен в § 20. Согласитесь, что так работать проще.
Итак, если вам встретилось квадратное уравнение вида ах² + 2kx + с = 0, то советуем пользоваться формулой (2) (или (3), в случае, когда а = 1), поскольку вычисления будут проще. Но если вы опасаетесь запутаться в обилии формул, то пользуйтесь привычной общей формулой корней квадратного уравнения.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.