|
|
Строка 7: |
Строка 7: |
| <br>В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603). | | <br>В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603). |
| | | |
- | <br> Например, для уравнения Зx2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна <img src="/images/6/60/14-06-48.jpg" _fck_mw_filename="14-06-48.jpg" alt="" />, а произведение корней равно <img src="/images/8/80/14-06-49.jpg" _fck_mw_filename="14-06-49.jpg" alt="" /><br> т. е. - 2. А для уравнения х<sup>2</sup> - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2. <br>Доказательство теоремы Виета. Корни х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + bх + с = 0 находятся по формулам | + | <br> Например, для уравнения Зx2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна [[Image:14-06-48.jpg]] , а произведение корней равно [[Image:14-06-49.jpg]] т. е. - 2. А для уравнения х<sup>2</sup> - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2. |
| | | |
- | <img src="/images/9/9a/14-06-50.jpg" _fck_mw_filename="14-06-50.jpg" alt="" /><br><br>где D = b<sup>2</sup> — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, <br>получим
| + | Доказательство теоремы Виета. Корни х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> квадратного уравнения ах<sup>2</sup> + bх + с = 0 находятся по формулам [[Image:14-06-50.jpg]] <br><br>где D = b<sup>2</sup> — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, получим |
| | | |
- | <img src="/images/9/95/14-06-51.jpg" _fck_mw_filename="14-06-51.jpg" alt="" /><br><br>Теперь вычислим произведение корней х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> Имеем
| + | [[Image:14-06-51.jpg]]<br><br>Теперь вычислим произведение корней х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> Имеем |
| | | |
- | <img src="/images/d/df/14-06-52.jpg" _fck_mw_filename="14-06-52.jpg" alt="" /><br><br>Второе соотношение доказано: <img src="/images/4/48/14-06-53.jpg" _fck_mw_filename="14-06-53.jpg" alt="" /><br>'''''Замечание.''''' Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. <br>Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. В этом случае получаем:
| + | [[Image:14-06-52.jpg]]<br>Второе соотношение доказано: [[Image:14-06-53.jpg]] |
| | | |
- | x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub> = -p, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> =q<br>'''''т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.'''''<br>С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> — корни приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. Тогда
| + | <br>'''''Замечание.''''' Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. |
| | | |
- | <img src="/images/4/4f/14-06-54.jpg" _fck_mw_filename="14-06-54.jpg" alt="" /><br><br>Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.
| + | Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. В этом случае получаем: |
| + | |
| + | x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub> = -p, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> =q |
| + | |
| + | т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. |
| + | |
| + | С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х<sub>1</sub> и х<sub>2</sub> — корни приведенного квадратного уравнения х<sup>2</sup> + рх + q = 0. Тогда |
| + | |
| + | [[Image:14-06-54.jpg]]<br><br>Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся. |
| | | |
| <br> | | <br> |
| | | |
- | <img src="/images/6/6c/14-06-55.jpg" _fck_mw_filename="14-06-55.jpg" alt="" /><br><br>Доказательство. Имеем
| + | [[Image:14-06-55.jpg]]<br>Доказательство. Имеем |
| | | |
- | <img src="/images/3/33/14-06-56.jpg" _fck_mw_filename="14-06-56.jpg" alt="" /><br>'''<br>Пример 1'''. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх<sup>2</sup> - 10x + 3. <br>Решение. Решив уравнение Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх<sup>2</sup> - 10x + 3: х<sub>1</sub> = 3, х2 = <img src="/images/d/dd/14-06-57.jpg" _fck_mw_filename="14-06-57.jpg" alt="" />. <br>Воспользовавшись теоремой 2, получим <br>
| + | [[Image:14-06-56.jpg]]<br>'''<br>Пример 1'''. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх<sup>2</sup> - 10x + 3. <br>Решение. Решив уравнение Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх<sup>2</sup> - 10x + 3: х<sub>1</sub> = 3, х2 = [[Image:14-06-57.jpg]]. <br>Воспользовавшись теоремой 2, получим <br> |
| | | |
- | <img src="/images/3/3d/14-06-58.jpg" _fck_mw_filename="14-06-58.jpg" alt="" /><br><br>Есть смысл вместо <img src="/images/7/7c/14-06-59.jpg" _fck_mw_filename="14-06-59.jpg" alt="" /> написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1). <br>Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки: <br>
| + | [[Image:14-06-58.jpg]]<br><br>Есть смысл вместо [[Image:14-06-59.jpg]] написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1). <br>Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки: <br> |
| | | |
| Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = Зх<sup>2</sup> - 9х - х + 3 = <br>= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1). <br> | | Зх<sup>2</sup> - 10x + 3 = Зх<sup>2</sup> - 9х - х + 3 = <br>= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1). <br> |
Строка 31: |
Строка 39: |
| Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован. <br>'''Пример 1'''. Сократить дробь <br> | | Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован. <br>'''Пример 1'''. Сократить дробь <br> |
| | | |
- | <img src="/images/0/00/14-06-60.jpg" _fck_mw_filename="14-06-60.jpg" alt="" /><br><br>Решение. Из уравнения 2х<sup>2</sup> + 5х + 2 = 0 находим х<sub>1</sub> = - 2, <br>
| + | [[Image:14-06-60.jpg]]<br><br>Решение. Из уравнения 2х<sup>2</sup> + 5х + 2 = 0 находим х<sub>1</sub> = - 2, <br> |
| | | |
- | <img src="/images/9/92/14-06-61.jpg" _fck_mw_filename="14-06-61.jpg" alt="" /><br><br>Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х<sub>1</sub> = 6, х<sub>2</sub> = -2. Поэтому <br>х<sup>2</sup>- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2). <br>А теперь сократим заданную дробь:<br>
| + | [[Image:14-06-61.jpg]]<br><br>Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х<sub>1</sub> = 6, х<sub>2</sub> = -2. Поэтому <br>х<sup>2</sup>- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2). <br>А теперь сократим заданную дробь:<br> |
| | | |
- | <img src="/images/4/45/14-06-62.jpg" _fck_mw_filename="14-06-62.jpg" alt="" /><br><br>'''Пример 3'''. Разложить на множители выражения: <br>а)x4 + 5x<sup>2</sup>+6; б)2x+<img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />-3<br>Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х<sup>2</sup>. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у<sup>2</sup> + bу + 6. <br>Решив уравнение у<sup>2</sup> + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у<sup>2</sup> + 5у + 6: у<sub>1</sub> = - 2, у<sub>2</sub> = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим<br>
| + | [[Image:14-06-62.jpg]]<br><br>'''Пример 3'''. Разложить на множители выражения: <br>а)x4 + 5x<sup>2</sup>+6; б)2x+[[Image:14-06-63.jpg]]-3<br>Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х<sup>2</sup>. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у<sup>2</sup> + bу + 6. <br>Решив уравнение у<sup>2</sup> + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у<sup>2</sup> + 5у + 6: у<sub>1</sub> = - 2, у<sub>2</sub> = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим<br> |
| | | |
- | у<sup>2</sup> + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3). <br>Осталось вспомнить, что у = x<sup>2</sup> , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br>x<sup>4</sup> + 5х<sup>2</sup>+ 6 = (х<sup>2</sup> + 2)(х<sup>2</sup> + 3). <br>б) Введем новую переменную у = <img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у<sup>2</sup> + у - 3. Решив уравнение <br>2у<sup>2</sup> + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у<sup>2</sup> + у - 3: <br>y<sub>1</sub> = 1, y<sub>2</sub>= <img src="/images/7/7a/14-06-64.jpg" _fck_mw_filename="14-06-64.jpg" alt="" />. Далее, используя теорему 2, получим: <br> | + | у<sup>2</sup> + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3). <br>Осталось вспомнить, что у = x<sup>2</sup> , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br>x<sup>4</sup> + 5х<sup>2</sup>+ 6 = (х<sup>2</sup> + 2)(х<sup>2</sup> + 3). <br>б) Введем новую переменную у = [[Image:14-06-63.jpg]]. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у<sup>2</sup> + у - 3. Решив уравнение <br>2у<sup>2</sup> + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у<sup>2</sup> + у - 3: <br>y<sub>1</sub> = 1, y<sub>2</sub>= [[Image:14-06-64.jpg]]. Далее, используя теорему 2, получим: <br> |
| | | |
- | <img src="/images/6/64/14-06-65.jpg" _fck_mw_filename="14-06-65.jpg" alt="" /><br><br>Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br>
| + | [[Image:14-06-65.jpg]]<br><br>Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, <br> |
| | | |
- | <img src="/images/4/4f/14-06-66.jpg" _fck_mw_filename="14-06-66.jpg" alt="" /><br><br>В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением: <br>если числа х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub> таковы, что х<sup>1</sup> + х<sup>2</sup> = - р, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> = q, то эти числа — корни уравнения <br>С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.
| + | [[Image:14-06-66.jpg]]<br><br>В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением: <br>если числа х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub> таковы, что х<sup>1</sup> + х<sup>2</sup> = - р, x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> = q, то эти числа — корни уравнения <br>С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры. |
| | | |
| 1) х<sup>2</sup> - 11х + 24 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = 11, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 24. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = 3. | | 1) х<sup>2</sup> - 11х + 24 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = 11, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 24. Нетрудно догадаться, что х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = 3. |
Строка 49: |
Строка 57: |
| 3) х<sup>2</sup> + х - 12 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -1, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -12. Легко догадаться, что х<sub>1</sub> = 3, х2 = -4. <br>Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней. | | 3) х<sup>2</sup> + х - 12 = 0. Здесь x<sub>1</sub> + х<sub>2</sub> = -1, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -12. Легко догадаться, что х<sub>1</sub> = 3, х2 = -4. <br>Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней. |
| | | |
- | 4) 5х<sup>2</sup> + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х<sub>1</sub> = 1 — корень уравнения. Так как х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" />, а х<sub>1</sub> = 1, то получаем, что х<sub>2</sub> = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" /> . | + | 4) 5х<sup>2</sup> + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х<sub>1</sub> = 1 — корень уравнения. Так как х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = -[[Image:14-06-67.jpg]], а х<sub>1</sub> = 1, то получаем, что х<sub>2</sub> = -[[Image:14-06-67.jpg]] . |
| | | |
| 5) х<sup>2</sup> - 293x + 2830 = 0. Здесь х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub> = 293, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х<sub>1</sub> = 283, х<sub>2</sub> = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул). | | 5) х<sup>2</sup> - 293x + 2830 = 0. Здесь х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub> = 293, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub> = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х<sub>1</sub> = 283, х<sub>2</sub> = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул). |
| | | |
- | 6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х<sup>2</sup> + рх + q = 0. <br>Имеем х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub>= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub>= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х<sup>2</sup>-4х-32 = 0. | + | 6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х<sub>1</sub> = 8, х<sub>2</sub> = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х<sup>2</sup> + рх + q = 0. |
| + | |
| + | Имеем х<sub>1</sub>+ х<sub>2</sub>= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х<sub>1</sub>х<sub>2</sub>= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х<sup>2</sup>-4х-32 = 0. |
| + | |
| + | |
| | | |
| ''Мордкович А. Г., [http://xvatit.com/vuzi/ '''Алгебра''']. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. '' | | ''Мордкович А. Г., [http://xvatit.com/vuzi/ '''Алгебра''']. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил. '' |
Версия 11:12, 8 октября 2012
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Теорема Виета)
Теорема Виета
В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).
Например, для уравнения Зx2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно т. е. - 2. А для уравнения х2 - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
Доказательство теоремы Виета. Корни х1 и х2 квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 находятся по формулам
где D = b2 — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, получим
![14-06-51.jpg](/images/9/95/14-06-51.jpg)
Теперь вычислим произведение корней х1 и х2 Имеем
![14-06-52.jpg](/images/d/df/14-06-52.jpg) Второе соотношение доказано:
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. В этом случае получаем:
x1 = x2 = -p, x1x2 =q
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х1 и х2 — корни приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. Тогда
![14-06-54.jpg](/images/4/4f/14-06-54.jpg)
Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.
![14-06-55.jpg](/images/6/6c/14-06-55.jpg) Доказательство. Имеем
![14-06-56.jpg](/images/3/33/14-06-56.jpg)
Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх2 - 10x + 3. Решение. Решив уравнение Зх2 - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх2 - 10x + 3: х1 = 3, х2 = . Воспользовавшись теоремой 2, получим
![14-06-58.jpg](/images/3/3d/14-06-58.jpg)
Есть смысл вместо написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх2 - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1). Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки:
Зх2 - 10x + 3 = Зх2 - 9х - х + 3 = = Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).
Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован. Пример 1. Сократить дробь
![14-06-60.jpg](/images/0/00/14-06-60.jpg)
Решение. Из уравнения 2х2 + 5х + 2 = 0 находим х1 = - 2,
![14-06-61.jpg](/images/9/92/14-06-61.jpg)
Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х1 = 6, х2 = -2. Поэтому х2- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2). А теперь сократим заданную дробь:
![14-06-62.jpg](/images/4/45/14-06-62.jpg)
Пример 3. Разложить на множители выражения: а)x4 + 5x2+6; б)2x+ -3 Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х2. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у2 + bу + 6. Решив уравнение у2 + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у2 + 5у + 6: у1 = - 2, у2 = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим
у2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3). Осталось вспомнить, что у = x2 , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак, x4 + 5х2+ 6 = (х2 + 2)(х2 + 3). б) Введем новую переменную у = . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у2 + у - 3. Решив уравнение 2у2 + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у2 + у - 3: y1 = 1, y2= . Далее, используя теорему 2, получим:
![14-06-65.jpg](/images/6/64/14-06-65.jpg)
Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
![14-06-66.jpg](/images/4/4f/14-06-66.jpg)
В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением: если числа х1, х2 таковы, что х1 + х2 = - р, x1x2 = q, то эти числа — корни уравнения С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.
1) х2 - 11х + 24 = 0. Здесь x1 + х2 = 11, х1х2 = 24. Нетрудно догадаться, что х1 = 8, х2 = 3.
2) х2 + 11х + 30 = 0. Здесь x1 + х2 = -11, х1х2 = 30. Нетрудно догадаться, что х1 = -5, х2 = -6. Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.
3) х2 + х - 12 = 0. Здесь x1 + х2 = -1, х1х2 = -12. Легко догадаться, что х1 = 3, х2 = -4. Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.
4) 5х2 + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х1 = 1 — корень уравнения. Так как х1х2 = - , а х1 = 1, то получаем, что х2 = - .
5) х2 - 293x + 2830 = 0. Здесь х1+ х2 = 293, х1х2 = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х1 = 283, х2 = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).
6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х1 = 8, х2 = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0.
Имеем х1+ х2= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х1х2= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х2-4х-32 = 0.
Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.
онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|