KNOWLEDGE HYPERMARKET


Приближенные значения действительных чисел
Строка 19: Строка 19:
'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,  
'''Пример 1.''' Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: <br>[[Image:14-06-159.jpg]]<br>Решение,  
-
а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] [[Image:14-06-161.jpg]]4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-162.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом, [[Image:14-06-162.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>—&nbsp;» 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это | х - а |. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п «&nbsp;3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п «&nbsp;3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п «&nbsp;3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J&amp; = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 «&nbsp;<br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — «&nbsp;0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °&gt;319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ &lt; h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>  
+
а) Мы знаем, что [[Image:14-06-160.jpg]] = 2,236... (см. § 27), следовательно, [[Image:14-06-160.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; [[Image:14-06-160.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>б) 2 +[[Image:14-06-160.jpg]] = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + [[Image:14-06-160.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + [[Image:14-06-160.jpg]] 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. <br>в) Имеем [[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-162.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-163.jpg]] 0,31818... (см. § 26). Таким образом, [[Image:14-06-162.jpg]]&nbsp;[[Image:14-06-164.jpg]][[Image:14-06-163.jpg]] 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; <br>7 <br>—&nbsp;» 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И <br>Приближение по недостатку и приближение по избытку <br>называют иногда округлением числа. <br>Определение. Погрешностью приближе- <br>ния (абсолютной погрешностью) называют мо- <br>дуль разности между точным значением величи- <br>ны х и ее приближенным значением а: погреш- <br>абсолютная ность приближения — это | х - а |. <br>погрешность <br>Например, погрешность приближенного ра- <br>венства п «&nbsp;3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или <br>соответственно как \п - 3, 142 [. <br>Возникает чисто практический вопрос: какое приближение <br>лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае <br>погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи- <br>сла, для которого составляются приближения. Обычно при <br>округлении положительных чисел пользуются следующим пра- <br>вилом: <br>Правило округления. Если первая отбра- <br>сываемая цифра меньше 5, то нужно брать <br>приближение по недостатку; если первая от- <br>брасываемая цифра больше или равна 5, то <br>нужно брать приближение по избытку. <br>Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара- <br>графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе- <br>ния, для которых погрешность окажется наименьшей. <br>1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п «&nbsp;3,142; <br>здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте <br>после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. <br>С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли- <br>жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на <br>пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01 <br>надо взять приближение по недостатку: п «&nbsp;3,14. <br>2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24 <br>(приближение по избытку). ¦ <br>3) 2 + J&amp; = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 «&nbsp;<br>«4,24 (приближение по избытку). <br>7 7 <br>4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — «&nbsp;0,318 <br>2i2i <br>(приближение по недостатку). <br>Рассмотрим последний пример <br>подробнее. Возьмем укрупненный <br>фрагмент координатной прямой <br>7 <br>(рис. 114). Точка — принадлежит <br>2i2i <br>отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка <br>7 <br>не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов <br>22 <br>0*^9 <br>рис <br>отрезка равны соответственно <br>22 <br>¦к ~ °'319 <br>отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит, <br>Тг - °'318 <br>, а длина <br>0,001 <br>i - °&gt;319 <br>0,001. <br>Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не- <br>LiCi <br>достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не <br>превосходит 0,001. <br>До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01, <br>до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо- <br>вании терминологии. <br>Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ &lt; h, mo <br>говорят, что погрешность приближения не превосходит h <br>или что число х равно числу а с точностью до h. <br>Почему же важно уметь находить прибли- <br>женные значения чисел? Дело в том, что прак- <br>тически невозможно оперировать с бесконеч- <br>ными десятичными дробями и использовать их <br>для измерения величин. На практике во многих <br>случаях вместо точных значений берут приближения с заранее <br>заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в <br>калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная <br>десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа <br>(за редким исключением, когда выводимое число представляет <br>собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране). <br><br><br><br><br><br>  
<br>  
<br>  

Версия 13:07, 14 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Приближенные значения действительных чисел



                             ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

И в 7-м и в 8-м классе мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор подбирали «хорошие» примеры.

Рассмотрим два уравнения: 14-06-154.jpg = 2 - х и 14-06-154.jpg = 4 - х. Первое уравнение имеет единственный корень х = 1, поскольку графики функций у =14-06-154.jpg и у = 2 - х пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 112). Во втором случае графики функций 14-06-154.jpg— фс и у = 4 - х также пересекаются в одной точке В (рис. 113), но с «плохими» координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так:14-06-155.jpg


14-06-156.jpg


Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная.Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа 14-06-157.jpg пользуются приближенным равенством 14-06-158.jpg3,141 или 14-06-158.jpg 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа п по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа к по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например,
14-06-158.jpg3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001;14-06-158.jpg 3,1416 — приближение по избытку с точностью до 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем, с точностью до 0,01: по недостатку 14-06-158.jpg 3,14, по избытку 14-06-158.jpg 3,15.
Знак приближенного равенства » вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 27.

Пример 1. Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел:
14-06-159.jpg
Решение,

а) Мы знаем, что 14-06-160.jpg = 2,236... (см. § 27), следовательно, 14-06-160.jpg 14-06-163.jpg 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 14-06-160.jpg 14-06-163.jpg 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
б) 2 +14-06-160.jpg = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Значит, 2 + 14-06-160.jpg14-06-163.jpg 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2 + 14-06-160.jpg 4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01.
в) Имеем 14-06-164.jpg14-06-162.jpg 14-06-163.jpg 0,31818... (см. § 26). Таким образом, 14-06-162.jpg 14-06-164.jpg14-06-163.jpg 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01;
7
— » 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. (И
Приближение по недостатку и приближение по избытку
называют иногда округлением числа.
Определение. Погрешностью приближе-
ния (абсолютной погрешностью) называют мо-
дуль разности между точным значением величи-
ны х и ее приближенным значением а: погреш-
абсолютная ность приближения — это | х - а |.
погрешность
Например, погрешность приближенного ра-
венства п « 3,141 или п а 3,142 выражается как \п - 3, 1411 или
соответственно как \п - 3, 142 [.
Возникает чисто практический вопрос: какое приближение
лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае
погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного чи-
сла, для которого составляются приближения. Обычно при
округлении положительных чисел пользуются следующим пра-
вилом:
Правило округления. Если первая отбра-
сываемая цифра меньше 5, то нужно брать
приближение по недостатку; если первая от-
брасываемая цифра больше или равна 5, то
нужно брать приближение по избытку.
Применим это правило ко всем рассмотренным в этом пара-
графе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближе-
ния, для которых погрешность окажется наименьшей.
1) п = 3,141592... . С точностью до 0,001 имеем п « 3,142;
здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте
после запятой), поэтому взяли приближение по избытку.
С точностью до 0,0001 имеем п а 3,1416 — и здесь взяли прибли-
жение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на
пятом месте после запятой) равна 9. А вот срочностью до 0,01
надо взять приближение по недостатку: п « 3,14.
2) JE = 2,236... . С точностью до 0,01 имеем JE * 2,24
(приближение по избытку). ¦
3) 2 + J& = 4,236... . С точностью до 0,01 имеем 2 + ,/5 « 
«4,24 (приближение по избытку).
7 7
4) — = 0,31818... . С точностью до 0,001 имеем — « 0,318
2i2i
(приближение по недостатку).
Рассмотрим последний пример
подробнее. Возьмем укрупненный
фрагмент координатной прямой
7
(рис. 114). Точка — принадлежит
2i2i
отрезку [0,318, 0,319], значит, ее расстояния от концов отрезка
7
не превосходят длины отрезка. Расстояния точки — от концов
22
0*^9
рис
отрезка равны соответственно
22
¦к ~ °'319
отрезка [0,318, 0,319] равна 0,001. Значит,
Тг - °'318
, а длина
0,001
i - °>319
0,001.
Итак, в обоих случаях (и для приближения числа — по не-
LiCi
достатку, и для приближения его по избытку) погрешность не
превосходит 0,001.
До сих пор мы говорили: приближения с точностью до 0,01,
до 0,001 и т. д. Теперь мы можем навести порядок в использо-
вании терминологии.
Если а — приближенное значение числа х и \ х — а\ < h, mo
говорят, что погрешность приближения не превосходит h
или что число х равно числу а с точностью до h.
Почему же важно уметь находить прибли-
женные значения чисел? Дело в том, что прак-
тически невозможно оперировать с бесконеч-
ными десятичными дробями и использовать их
для измерения величин. На практике во многих
случаях вместо точных значений берут приближения с заранее
заданной точностью (погрешностью). Эта идея заложена и в
калькуляторах, на дисплеях которых высвечивается конечная
десятичная дробь, т. е. приближение выводимого на экран числа
(за редким исключением, когда выводимое число представляет
собой конечную десятичную дробь, умещающуюся на экране).






Сборник конспектов уроков по математике скачать, календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам онлайн


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.