Версия 07:58, 5 октября 2012

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 5 класс>>Математика:Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

Чтобы сравнить объемы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объемы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объем болыш объема второго сосуда.

А если заполнить водой второй сосуд не удастся, то объем первого сосуда меньше объема второго.

Если наполнить формочку влажным песком, а потом перевернуть и снять ее, получится фигура, имеющая тот же объем, что и формочка (рис. 83).

Для измерения объемов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм3), кубический сантиметр (см3), кубический дециметр (дм³), кубический метр (м³), кубический километр (км³).

Например: кубический сантиметр — это объем куба с ребром 1 см (рис. 84).

Кубический дециметр называют также литром.

1 л = 1 дм³

Фигура на рисунке 85 состоит из 4 кубиков с ребром 1 см. Значит, ее объем равен 4 см³.

Выведем правило для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда. Пусть прямоугольный параллелепипед имеет длину 4 см, ширину 3 см и высоту 2 см (рис. 86, а). Разобьем его на два слоя толщиной 1 см

(рис. 86, б). Каждый из этих слоев состоит из 3 столбиков длиной 4 см (рис. 86, s), а каждый столбик — из 4 кубиков с ребром 1 см (рис. 86, г).

Значит, объем каждого столбика равен 4 см3, каждого слоя — 4 • 3 ( см³), а всего прямоугольного параллелепипеда — (4 • 3) • 2, то есть 24 см³.

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид

V = abc,
где V — объем; а, b, с — измерения.

Если ребро куба равно 4 см, то объем куба равен 4 • 4 • 4 = 43 (см³), то есть 64 см³.

Если ребро куба равно а, то объем V куба равен a • a • a = a³

Значит, формула объема куба имеет вид

V = a³

Именно поэтому запись а³ называют кубом числа а.

Объем куба с ребром 1 м равен 1 м³. А так как 1 м = 10 дм, то 1 м³ = 103 дм³, то есть 1 м³ = 1000 дм³ = 1000 л.
Таким же образом находим, что

1 л = 1 дм3 = 1000 см³; 1 см3 = 1000 мм³;
1 км³ = 1 000 000 000 м³ (см. форзац).

Фигура состоит из 19 кубиков со стороной 1*см каждый; чему равен объем этой фигуры?
Что такое кубический сантиметр; кубический метр?
Как еще называют кубический дециметр?
Скольким кубическим сантиметрам равен 1 литр?
Скольким литрам равен кубический метр?
Сколько кубических метров в кубическом километре?
Напишите формулу объема прямоугольного параллелепипеда.
Что означает в этой формуле буква V; буквы а, b, с?
Напишите формулу объема куба.

819. Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры (рис. 87). Найдите объемы и площади поверхностей этих фигур.

820. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если

а) а = 6 см, b = 10 см, с = 5 см;
б) а = 30 дм, b = 20 дм, с = 30 дм;
в) а = 8 дм, b = 6 м, с = 12 м;
г) а = 2 дм 1 см, b = 1 дм 7 см, с = 8 см;
д) а = 3 м, b = 2 дм, с = 15 см.

821. Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см². Определите высоту этого параллелепипеда, если его объем равен 96 см³.

822. Объем комнаты равен 60 м³. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен.

823. Найдите объем куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см.

824. Найдите объем куба, если площадь его поверхности равна 96 см².

825. Выразите:

а) в кубических сантиметрах: 5 дм³ 635 см3;            2 дм³ 80 см³;
б) в кубических дециметрах: 6 м³ 580 дм³;               7 м³ 15 дм³;
в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм³;      12 540 000 см³.

826. Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?

827. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

828. Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделен на две части Найдите объем и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объем параллелепипеда сумме объемов его частей? Можна ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.

829. Вычислите устно:

830. Восстановите цепочку вычислений:

831. Найдите значение выражения:

а)2³ + 3²;              б)3³ + 5²;

в) 4³ + 6;               г) 10³ - 10.

832. Сколько десятков получится в частном:

а) 1652 : 7;             в) 1632 : 12;
б) 774 : 6;               г) 2105 : 5?

833. Согласны ли вы с утверждением:

а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом;
б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом;
в) каждая грань куба — квадрат?

834. Четыре одинаковые бочки вмещают 26 ведер воды. Сколько ведер воды могут вместить 10 таких бочек?

835. Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье (с застежкой)?

836. Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 89):

а) две грани, имеющие общее ребро;
б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани;
в) вертикальные ребра.

837. Решите задачу:

1) Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого.

2) Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго.

838. Выполните действия:

1) 668 • (3076 + 5081);
2)783 • (66 161 - 65 752);
3) 2 111 022 : (5960 - 5646);
4) 2 045 639 : (6700 - 6279).

839. На Русы в старину использовались в качестве единиц измерения объема ведрб (около 12 л), штоф {десятая часть ведра). В США, Англии и других странах используются бйррель {около 159 л), галлбн (около 4 л), бушель {около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы, какие из них больше 1 м³?

840. Найдите объемы фигур, изображенных на рисунке 90. Объем каждого кубика равен 1 см³.

841. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда (рис. 91).

842. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения — 48 дм, 16 дм и 12 дм.

843. Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м³ сена равна 6 ц.

844. Выразите в кубических дециметрах:

2 м³ 350 дм³;        18 000 см³;
3 м³ 7 дм³;            210 000 см³.
4 м³ 30 дм³;

845. Объем прямоугольного параллелепипеда 1248 см³. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда.

846. С помощью формулы V = abc вычислите:

а) V, если а = 3 дм, b = 4 дм, с = 5 дм;
б) а, если V = 2184 см³, b = 12 см, с =13 см;
в) b, если V = 9200 см³, а = 23 см, с = 25 см;
г) аЬ если V = 1088 дм³, с = 17 см.

Каков смысл произведения ab?

847. Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую а — возраст отца — через b — возраст сына. Найдите по этой формуле:

а) а, если b = 10;                б) а, если b = 18;                   в) b, если а = 48.

848. Найдите значение выражения:

а) 700 700 - 6054 • (47 923 - 47 884) - 65 548;
б) 66 509 + 141 400 : (39 839 - 39 739) + 1985;
в) (851 + 2331) : 74 - 34;
г) (14 084 : 28 - 23) -27-12 060;
д) (102 + II2 + 122) : 73 + 895;
е) 2555 : (132 + 142) + 35.

849. Подсчитайте по таблице (рис. 92):

а) сколько раз встречается цифра 9;
б) сколько раз всего в таблице встречаются цифры 6 и 7 (не считая их по отдельности);
в) сколько раз всего встречаются цифры 5, б и 8 (не считая их по отдельности).

200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, применялись различные системы единиц для измерения длины, массы и других величин. Соотношения между мерами были сложны, существовали разные определения для единиц измерения. Например, и до сих пор в Великобритании существуют две различные «тонны» (в 2000 и в 2940 фунтов), более 50 различных «бушелей» и т. п. Это затрудняло развитие науки, торговли между странами. Поэтому назрела необходимость введения единой системы мер, удобной для всех стран, с простыми соотношениями между единицами.

Такая система — ее назвали метрической системой мер — была разработана во Франции. Основную единииу длины, 1 метр (от греческого слова «метрон» — мера), определили как сорокамиллионную долю окружности Земли, основную единицу массы, 1 килограмм — как массу 1 дм³ чистой воды. Остальные единицы определялись через эти две, соотношения между единицами одной величины равнялись 10, 100, 1000 и т. д.

Метрическая система мер принята большинством стран мира, в России ее введение началось с 1899 года. Большие заслуги во введении и распространении метрической системы мер в нашей стране принадлежат Дмитрию Ивановичу Менделееву, великому русскому химику.

Однако по традиции и в настоящее время иногда пользуются старыми единицами. Моряки измеряют расстояния милями (1852 м) и кабельтовыми (десятая часть мили, то есть около 185 м), скорость — узлйми (1 миля в час). Массу алмазов измеряют в карйтах (200 мг, то есть пятая часть грамма -— масса пшеничного зерна). Объем нефти измеряют в бйррелях (159 л) и т. д.

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Книги, учебники математике скачать, конспект на помощь учителю и ученикам, учиться онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.