KNOWLEDGE HYPERMARKET


Преобразование подобия
(Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
Строка 5: Строка 5:
<br>  
<br>  
-
'''&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ'''
+
'''&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&nbsp; ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ'''  
-
<br>Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k — одно и то же для всех точек X, У. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.<br>Л<br>&nbsp;<br>Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный к-ОХ, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.<br>Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.<br>Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и У — две произвольные точки фигуры (рис. 235).<br>&nbsp;<br>При гомотетии точки X к Y переходят в точки X' и У на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k-OX, OY'= = k-OY. Отсюда следуют векторные равенства<br>ОХ'^кОХ, OY' = kOY. Вычитая эти равенства почленно, получим:<br>ОУ' -ОХ' = к (ОУ - ОХ).<br>Так как OY'— ОХ'= X'Y', OY-OX=XY, то X'Y' = kXY. Значит, \X'Y'\=-k |ХУ|, т. е. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.<br>Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.<br>Задача (4). На рисунке 236 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).<br>Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 X1000 см = = 27 м, 4X1000 см = 40 м.<br>&nbsp;
+
<br>Преобразование фигуры F в фигуру F' называется '''''преобразованием подобия''''', если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k — одно и то же для всех точек X, У. Число k называется '''''коэффициентом подобия'''''. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.<br><br>[[Image:24-06-1.jpg]]
 +
 
 +
&nbsp;<br>Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k-ОХ, где k — положительное число. '''''Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О'''''. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.
 +
 
 +
Теорема 11.1. '''''Гомотетия есть преобразование подобия.'''''<br>Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и У — две произвольные точки фигуры (рис. 235).
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Image:24-06-2.jpg]]<br>&nbsp;<br>При гомотетии точки X к Y переходят в точки X' и У на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k'''.'''OX, OY'= = k'''.'''OY. Отсюда следуют векторные равенства
 +
 
 +
[[Image:24-06-3.jpg]]
 +
 
 +
Вычитая эти равенства почленно, получим:
 +
 
 +
[[Image:24-06-3.jpg]]
 +
 
 +
Значит, |X'Y'|=-k |ХУ|, т. е. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.
 +
 
 +
Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.
 +
 
 +
Задача (4). На рисунке 236 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).
 +
 
 +
Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 X1000 см = = 27 м, 4X1000 см = 40 м.<br>&nbsp;  
<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  
<br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  

Версия 06:13, 24 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Преобразование подобия


                                               ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ


Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k — одно и то же для всех точек X, У. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.

24-06-1.jpg

 
Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k-ОХ, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.

Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.
Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и У — две произвольные точки фигуры (рис. 235).


24-06-2.jpg
 
При гомотетии точки X к Y переходят в точки X' и У на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k.OX, OY'= = k.OY. Отсюда следуют векторные равенства

24-06-3.jpg

Вычитая эти равенства почленно, получим:

24-06-3.jpg

Значит, |X'Y'|=-k |ХУ|, т. е. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.

Задача (4). На рисунке 236 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 X1000 см = = 27 м, 4X1000 см = 40 м.
 


А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать


Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки


Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.