Теорема косинусов — Гипермаркет знаний

KNOWLEDGE HYPERMARKET

Теорема косинусов

 		Версия 10:02, 24 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад)
 (Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
← Предыдущая правка
		Версия 10:33, 24 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад) 
Следующая правка →
		
Строка 5:
Строка 5:
 <br>    <br>  
  
- <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ''' + <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ'''  
  
- <br>Теорема 12.1 (теорема косинусов).'''''Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними'''''. + <br>Теорема 12.1 (теорема косинусов).'''''Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними'''''.  
  
- <br> + <br>  
  
- [[Image:24-06-36.jpg]]<br>&nbsp;<br>Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС<sup>2</sup>=АВ<sup>2</sup>+АС<sup>2</sup>—2АВ-АС-cosА. <br>Имеем векторное равенство ВС=АС В. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим: <br>ВС'=АВ'+АС'-2АВАС, <br>или <br>ВС'=АВ^ +АС^-2АВ-АС COS А. <br>Теорема доказана. <br>Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине&nbsp; <br>проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее&nbsp; <br>продолжение (рис. 263, б). Знак АС-cos А зависит от угла А: «-|-», <br>если угол А острый, « — », если угол А тупой. Отсюда&nbsp; <br>получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме&nbsp; <br>квадратов двух других сторон « + » удвоенное произведение одной <br>из них на проекцию другой. Знак * + » надо брать, когда <br>противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол <br>острый. <br>Задача (7). Даны стороны треугольника а, Ь, с. <br>Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с. <br>Решение. Имеем a' = b' + c'±2c-AD (рис. 264). <br>Отсюда АВ= ±:° ~^ . По теореме Пифагора <br>CD=^fAC'-AD'~=-yJ Ь'-[^^^^)\ <br><br><br>0 /&nbsp;&nbsp;&nbsp; \ь<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>D<br>&nbsp;<br><br>&nbsp; + [[Image:24-06-36.jpg]]<br>&nbsp;<br>Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС<sup>2</sup>=АВ<sup>2</sup>+АС<sup>2</sup>—2АВ-АС-cosА. <br>Имеем векторное равенство [[Image:24-06-37.jpg]]. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:  
  +  
  + [[Image:24-06-38.jpg]]
  +  
  + <br>Теорема доказана.  
  +  
  + Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине&nbsp; проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее&nbsp; продолжение (рис. 263, б). Знак АС-cos А зависит от угла А: «+», если угол А острый, «&nbsp;—&nbsp;», если угол А тупой. Отсюда&nbsp; получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме&nbsp; квадратов двух других сторон «&nbsp;[[Image:24-06-39.jpg]]» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак « +&nbsp;» надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол острый.  
  +  
  + Задача (7). Даны стороны треугольника а, b, с.  
  +  
  + Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.  
  +  
  + Решение. Имеем a<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>±2c-AD (рис. 264).  
  +  
  + Отсюда  
  +  
  + [[Image:24-06-40.jpg]]
  +  
  +  
  +  
  + [[Image:24-06-41.jpg]]
  +  
  + <br>&nbsp;  
  
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>    <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  

Версия 10:33, 24 июня 2010
 
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Теорема косинусов 

 

                                            ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 

Теорема 12.1 (теорема косинусов).Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 

 

 
Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС²=АВ²+АС²—2АВ-АС-cosА. 
Имеем векторное равенство . Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим: 


Теорема доказана. 
Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине  проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее  продолжение (рис. 263, б). Знак АС-cos А зависит от угла А: «+», если угол А острый, « — », если угол А тупой. Отсюда  получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме  квадратов двух других сторон « » удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак « + » надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол острый. 
Задача (7). Даны стороны треугольника а, b, с. 
Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с. 
Решение. Имеем a² = b² + c²±2c-AD (рис. 264). 
Отсюда 





  

 А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений 
 
_{Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно онлайн, Математика для 9 класса скачать, школьная программа по математике, планы конспектов уроков} 

 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%BE%D0%B2»
@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 <br>
 <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ'''
 <br>Теорема 12.1 (теорема косинусов).'''''Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними'''''.
 <br>
-[[Image:24-06-36.jpg]]<br>&nbsp;<br>Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС<sup>2</sup>=АВ<sup>2</sup>+АС<sup>2</sup>—2АВ-АС-cosА. <br>Имеем векторное равенство ВС=АС В. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим: <br>ВС'=АВ'+АС'-2АВАС, <br>или <br>ВС'=АВ^ +АС^-2АВ-АС COS А. <br>Теорема доказана. <br>Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине&nbsp; <br>проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее&nbsp; <br>продолжение (рис. 263, б). Знак АС-cos А зависит от угла А: «-|-», <br>если угол А острый, « — », если угол А тупой. Отсюда&nbsp; <br>получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме&nbsp; <br>квадратов двух других сторон « + » удвоенное произведение одной <br>из них на проекцию другой. Знак * + » надо брать, когда <br>противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол <br>острый. <br>Задача (7). Даны стороны треугольника а, Ь, с. <br>Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с. <br>Решение. Имеем a' = b' + c'±2c-AD (рис. 264). <br>Отсюда АВ= ±:° ~^ . По теореме Пифагора <br>CD=^fAC'-AD'~=-yJ Ь'-[^^^^)\ <br><br><br>0 /&nbsp;&nbsp;&nbsp; \ь<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>D<br>&nbsp;<br><br>&nbsp;
+[[Image:24-06-36.jpg]]<br>&nbsp;<br>Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС<sup>2</sup>=АВ<sup>2</sup>+АС<sup>2</sup>—2АВ-АС-cosА. <br>Имеем векторное равенство [[Image:24-06-37.jpg]]. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:
+[[Image:24-06-38.jpg]]
+<br>Теорема доказана.
+Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине&nbsp; проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее&nbsp; продолжение (рис. 263, б). Знак АС-cos А зависит от угла А: «+», если угол А острый, «&nbsp;—&nbsp;», если угол А тупой. Отсюда&nbsp; получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме&nbsp; квадратов двух других сторон «&nbsp;[[Image:24-06-39.jpg]]» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак « +&nbsp;» надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол острый.
+Задача (7). Даны стороны треугольника а, b, с.
+Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
+Решение. Имеем a<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>±2c-AD (рис. 264).
+Отсюда
+[[Image:24-06-40.jpg]]
+[[Image:24-06-41.jpg]]
+<br>&nbsp;
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: