|
|
|
| Строка 5: |
Строка 5: |
| | <br> | | <br> |
| | | | |
| - | '''ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ'''<br> | + | '''ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ'''<br> |
| | | | |
| - | <br>'''''Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.''''' | + | <br>'''''Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.''''' |
| | | | |
| - | Многоугольник называется '''''вписанным в окружность''''', если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется '''''описанным около окружности''''', если все его стороны касаются некоторой окружности.<br> | + | Многоугольник называется '''''вписанным в окружность''''', если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется '''''описанным около окружности''''', если все его стороны касаются некоторой окружности.<br> |
| | | | |
| - | Теорема 13.3. '''''Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.'''''<br> | + | Теорема 13.3. '''''Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.'''''<br> |
| | | | |
| - | Доказательство. Пусть А и В — две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин А и В. Пусть О — точка их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ и углами при основании, равными [[Image:24-06-76.jpg]] где [[Image:24-06-52.jpg]] —угол многоугольника.<br> | + | Доказательство. Пусть А и В — две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин А и В. Пусть О — точка их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ и углами при основании, равными [[Image:24-06-76.jpg]] где [[Image:24-06-52.jpg]] —угол многоугольника.<br> |
| | | | |
| - | Соединим точку О с вершиной С, соседней с В. Треугольники АВО и СВО равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны как стороны многоугольника, а углы при вершине В равны Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС равнобедренный с углом при вершине С, равным [[Image:24-06-76.jpg]], т. е. СО есть биссектриса угла С.<br>Теперь соединяем точку О с вершиной D, соседней с С, и доказываем, что треугольник COD равнобедренный и DO — биссектриса угла D многоугольника. И т. д.<br> <br>В итоге получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина — точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом,<br>равным высотам треугольников, опущенным из вершины О. Теорема доказана.<br>Вписанная и описанная окружности<br>правильного многоугольника имеют<br>один и тот же центр. Его называют<br>центром многоугольника. Угол, под ко-<br>торым видна сторона правильного мно-<br>гоугольника из его центра, называет-<br>ся центральным углом многоуголь-<br>Рис. 280 ника.<br><br><br><br> | + | Соединим точку О с вершиной С, соседней с В. Треугольники АВО и СВО равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны как стороны многоугольника, а углы при вершине В равны [[Image:24-06-76.jpg]] Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС равнобедренный с углом при вершине С, равным [[Image:24-06-76.jpg]], т. е. СО есть биссектриса угла С.<br>Теперь соединяем точку О с вершиной D, соседней с С, и доказываем, что треугольник COD равнобедренный и DO — биссектриса угла D многоугольника. И т. д.<br> <br>В итоге получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина — точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины О. Теорема доказана. |
| | + | |
| | + | Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр. Его называют центром многоугольника. Угол, под которым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника.<br><br>[[Image:24-06-77.jpg]]<br><br> |
| | | | |
| | <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br> | | <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br> |
Версия 13:17, 24 июня 2010
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика:Правильные многоугольники
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Теорема 13.3. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.
Доказательство. Пусть А и В — две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин А и В. Пусть О — точка их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ и углами при основании, равными  где  —угол многоугольника.
Соединим точку О с вершиной С, соседней с В. Треугольники АВО и СВО равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны как стороны многоугольника, а углы при вершине В равны Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС равнобедренный с углом при вершине С, равным , т. е. СО есть биссектриса угла С.
Теперь соединяем точку О с вершиной D, соседней с С, и доказываем, что треугольник COD равнобедренный и DO — биссектриса угла D многоугольника. И т. д.
В итоге получается, что каждый треугольник, у которого одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина — точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины О. Теорема доказана.
Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр. Его называют центром многоугольника. Угол, под которым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Книги, учебники математике скачать, конспект на помощь учителю и ученикам, учиться онлайн
Содержание урока
 конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|
