Подобие правильных выпуклых многоугольников

KNOWLEDGE HYPERMARKET

 		Версия 17:40, 24 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад)
 (Создана новая страница размером <metakeywords>Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, ...)
← Предыдущая правка
		Версия 18:41, 24 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад) 
Следующая правка →
		
Строка 5:
Строка 5:
 <br>    <br>  
  
- &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ''' + &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ'''  
  
- <br>Теорема 13.4. '''''Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны'''''. + <br>Теорема 13.4. '''''Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны'''''.  
  
- Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р<sub>1</sub>: А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub>, P<sub>2</sub>: B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>...B<sub>n</sub> — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением. + Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р<sub>1</sub>: А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub>, P<sub>2</sub>: B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>...B<sub>n</sub> — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.  
  
- Треугольники А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> и В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> равны по первому признаку. У них А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>=В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>, А2Аз = В2Вл и [[Image:20-06-61.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>. + Треугольники А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> и В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> равны по первому признаку. У них А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>=В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>, А2Аз = В2Вл и [[Image:20-06-61.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>.  
  
- <br>&nbsp;<br>[[Image:24-06-87.jpg]]<br><br><br>Подвергнем многоугольник Pi движению, при котором его вершины Ai, А2, A3 переходят в вершины Bi, В2, Вз соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А^ перейдет в некоторую точку С. Точки Вл иС лежат по одну сторону с точкой В\ относительно прямой В2В3. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то /^В2ВзС= /-В2В3В4 и ВЗС=ВЗВА- А значит, точка С совпадает с точкой В^. Итак, при нашем движении вершина А^ переходит в вершину В^. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В5 и т. д. То есть многоугольник Р\ переводится движением в многоугольник Р2, а значит, они равны.<br>Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник Pi преобразованию подобия, например<br>В в<br>гомотетии,&nbsp; с&nbsp; коэффициентом&nbsp; подобия&nbsp; k — -р-^-.&nbsp; При&nbsp; этом<br>получим правильный п-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Рг.<br>По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник Ps, а значит, многоугольник Рг переводится в многоугольник Рг преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.<br>У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных «-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных п-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры п-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных п-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.<br><br>&nbsp; + <br>&nbsp;<br>[[Image:24-06-87.jpg]]<br><br><br>Подвергнем многоугольник P<sub>1</sub> движению, при котором его вершины А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> переходят в вершины В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А<sub>4</sub> перейдет в некоторую точку С. Точки В<sub>4</sub> иС лежат по одну сторону с точкой В<sub>1</sub> относительно прямой В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>С= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>В<sub>4</sub> и В<sub>З</sub>С=В<sub>З</sub>В<sub>4</sub>- А значит, точка С совпадает с точкой В<sub>4</sub>. Итак, при нашем движении вершина А4<sub></sub> переходит в вершину В<sub>4</sub>. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В<sub>5</sub> и т. д. То есть многоугольник Р<sub>1</sub> переводится движением в многоугольник Р<sub>2</sub>, а значит, они равны.<br>
  +  
  + Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник P<sub>1</sub> преобразованию подобия, например&nbsp; в гомотетии,&nbsp; с&nbsp; коэффициентом&nbsp; подобия&nbsp; [[Image:24-06-88.jpg]]-.&nbsp; При&nbsp; этом получим правильный n-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Р<sub>2</sub>.
  +  
  + По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник P<sub>2</sub>, а значит, многоугольник Р<sub>1</sub> переводится в многоугольник Р<sub>2</sub> преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.
  +  
  + У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных n-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных n-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры n-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных n-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.<br><br>&nbsp;  
  
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>    <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  

Версия 18:41, 24 июня 2010
 
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика:Подобие правильных выпуклых многоугольников 

 
                                              ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 

Теорема 13.4. Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны. 
Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р₁: А₁А₂...А_n, P₂: B₁B₂...B_n — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением. 
Треугольники А₁А₂А₃ и В₁В₂В₃ равны по первому признаку. У них А₁А₂=В₁В₂, А2Аз = В2Вл и А₁А₂А₃= В₁В₂В₃. 

 



Подвергнем многоугольник P₁ движению, при котором его вершины А₁А₂А₃ переходят в вершины В₁В₂В₃ соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А₄ перейдет в некоторую точку С. Точки В₄ иС лежат по одну сторону с точкой В₁ относительно прямой В₂В₃. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то В₂В₃С= В₂В₃В₄ и В_ЗС=В_ЗВ₄- А значит, точка С совпадает с точкой В₄. Итак, при нашем движении вершина А4 переходит в вершину В₄. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В₅ и т. д. То есть многоугольник Р₁ переводится движением в многоугольник Р₂, а значит, они равны.

Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник P₁ преобразованию подобия, например  в гомотетии,  с  коэффициентом  подобия  -.  При  этом получим правильный n-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Р₂.
По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник P₂, а значит, многоугольник Р₁ переводится в многоугольник Р₂ преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.
У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных n-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных n-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры n-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных n-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.

  

 А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений 
 
_{Планирование по математике , учебники и книги онлайн, курсы и задачи по математике для 9 класса скачать} 
 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D1%8B%D0%BF%D1%83%D0%BA%D0%BB%D1%8B%D1%85_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2»
@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 <br>
 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ'''
 <br>Теорема 13.4. '''''Правильные выпуклые п-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны'''''.
 Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р<sub>1</sub>: А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>...А<sub>n</sub>, P<sub>2</sub>: B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>...B<sub>n</sub> — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.
 Треугольники А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> и В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> равны по первому признаку. У них А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>=В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>, А2Аз = В2Вл и [[Image:20-06-61.jpg]]А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub>= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>.
-<br>&nbsp;<br>[[Image:24-06-87.jpg]]<br><br><br>Подвергнем многоугольник Pi движению, при котором его вершины Ai, А2, A3 переходят в вершины Bi, В2, Вз соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А^ перейдет в некоторую точку С. Точки Вл иС лежат по одну сторону с точкой В\ относительно прямой В2В3. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то /^В2ВзС= /-В2В3В4 и ВЗС=ВЗВА- А значит, точка С совпадает с точкой В^. Итак, при нашем движении вершина А^ переходит в вершину В^. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В5 и т. д. То есть многоугольник Р\ переводится движением в многоугольник Р2, а значит, они равны.<br>Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник Pi преобразованию подобия, например<br>В в<br>гомотетии,&nbsp; с&nbsp; коэффициентом&nbsp; подобия&nbsp; k — -р-^-.&nbsp; При&nbsp; этом<br>получим правильный п-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Рг.<br>По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник Ps, а значит, многоугольник Рг переводится в многоугольник Рг преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.<br>У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных «-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных п-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры п-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных п-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.<br><br>&nbsp;
+<br>&nbsp;<br>[[Image:24-06-87.jpg]]<br><br><br>Подвергнем многоугольник P<sub>1</sub> движению, при котором его вершины А<sub>1</sub>А<sub>2</sub>А<sub>3</sub> переходят в вершины В<sub>1</sub>В<sub>2</sub>В<sub>3</sub> соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А<sub>4</sub> перейдет в некоторую точку С. Точки В<sub>4</sub> иС лежат по одну сторону с точкой В<sub>1</sub> относительно прямой В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>С= [[Image:20-06-61.jpg]]В<sub>2</sub>В<sub>3</sub>В<sub>4</sub> и В<sub>З</sub>С=В<sub>З</sub>В<sub>4</sub>- А значит, точка С совпадает с точкой В<sub>4</sub>. Итак, при нашем движении вершина А4<sub></sub> переходит в вершину В<sub>4</sub>. Далее таким же способом заключаем, что вершина переходит в вершину В<sub>5</sub> и т. д. То есть многоугольник Р<sub>1</sub> переводится движением в многоугольник Р<sub>2</sub>, а значит, они равны.<br>
+Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник P<sub>1</sub> преобразованию подобия, например&nbsp; в гомотетии,&nbsp; с&nbsp; коэффициентом&nbsp; подобия&nbsp; [[Image:24-06-88.jpg]]-.&nbsp; При&nbsp; этом получим правильный n-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Р<sub>2</sub>.
+По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник P<sub>2</sub>, а значит, многоугольник Р<sub>1</sub> переводится в многоугольник Р<sub>2</sub> преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.
+У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных n-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных n-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры n-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных n-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.<br><br>&nbsp;
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: