Версия 09:55, 1 июля 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Арифметическая прогрессия

 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
1. Основные понятия.
Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d — разностью арифметической прогрессии.
Таким образом, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (а_n), заданная рекуррентно соотношениями

(а и д, — заданные числа).
Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она арифметической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что разность между любым членом последовательности и предшествующим ему членом постоянна то перед вами — арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом.
Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9,11,... .
Это арифметическая прогрессия, у которой а₁ = 1, d = 2.
Пример 2. 20,17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... .
Это арифметическая прогрессия, у которой а₁ = 20, d = -3.
Пример 3. 8, 8, 8, 8, 8, 8,... .
Это арифметическая прогрессия, у которой а₁ = 8, d = 0.
Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d > 0 (см. пример 1), и убывающей, если d < 0 (см. пример 2).
Для обозначения того, что последовательность (а_n) является арифметической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:

Значок + заменяет словосочетание «арифметическая прогрессия».
Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким-то конкретным членом последовательности, например за а_n, то получится конечная арифметическая прогрессия

Иногда в конечной арифметической прогрессии удобно записывать не только несколько членов в начале, но и несколько членов в конце, например так:

В дальнейших пунктах этого параграфа рассмотрим наиболее важные свойства арифметической прогрессии.
2. Формула п-го члена арифметической прогрессии.
Задание арифметической прогрессии, о котором идет речь в определении, является рекуррентным. Во многих случаях оно неудобно: чтобы вычислить, например, аш, надо предварительно найти предшествующие 99 членов последовательности. Эту вычислительную работу можно существенно упростить, если удастся найти формулу п-го члена, т.е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии.
Рассмотрим арифметическую прогрессию с разностью й. Имеем:
121
4.15.
ПРОГРЕССИИ
а1 = а1'
а2 = а1 + Й,
а3 = а2 + й = (а1 + й) + й = ^ + 2й, а4 = а3 + Л = (а, + 2й) + й = а1 + Зй, а6 = а4 + й = (а1 + Зй) + й = ^ + 4й и т.д. Нетрудно догадаться, что для любого номера п справедливо равенство
( ап = а\ + (" ~ !)<*• )
(1)
Это — формула п-го члена арифметической прогрессии.
Важное -замечание. «Нетрудно догадаться», «можно сообразить» и т.д. — это стилистические обороты из области интуиции, догадки, озарения. Разумеется, математики ими пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Формулу (1) мы «прочувствовали», но не обосновали. Приведем (для интересующихся) доказательство.
Если л = 1, то в, = а, + (1 - 1 )с/ — верное равенство, т.е. формула (1) для п = 1 верна.
Предположим, что формула (1) верна для натурального числа п — к, т.е. предположим, что верно равенство ак — а, + (к - 1 )с/. Докажем, что тогда формула (1) верна и для следующего натурального числа л = к+ 1, т.е. докажем, что зж = а, + Ы.
В самом деле, по определению арифметической прогрессии, зк+1 = ак + д. Далее имеем
ак+) = ак + 6= (а, + (к- 1)с/) + 6= а, + Ы.
А теперь смотрите: для л = 1 формула (1) верна (это мы проверили). Далее мы доказали, что если формула (1) верна для л = к, то она верна и для п = к + 1. Воспользуемся этим: формула (1) верна для п — 1, значит, она верна и для п = 2; так как она верна для п — 2, то она верна и для п = 3 и т.д. Значит, формула (1) верна для любого натурального числа п.
Приведенный метод рассуждений носит название «метод математической индукции».
122
4.15.
ПРОГРЕССИИ
Перепишем формулу п-го члена арифметической прогрессии ап = а1 + (п - 1)б? в виде ап = дп + (а1 - й) и введем обозначения: ап = у, а1~ <1 — т. Получим у = йп + т, или, подробнее,
у = (^x + т,xеN.
Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию (у = йх + т), заданную на множестве N натуральных чисел. Угловой коэффициент этой линейной функции равен й — разности арифметической прогрессии. На рис. 95 схематически изображен график арифметической прогрессии — изолированные точки на прямой (с абсциссами х = 1, х = 2, х = 3 и т.д.).
VI    ^                                       
                                           
                                           
                                        я    >
1                                I' п 1|    УЛ       
    1    2        4        г*    6               
0            г'                                X
Ф ф    .Л                                       
                                           
Рис. 95
Вернемся к примерам 1, 2 и 3, рассмотренным выше. 1) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой ах — 1, й = 2. Составим формулу п-го члена:
ап = + (п - 1)й, ап= 1 + (п- 1)-2, а = 2п - 1
л
(заметим, что эту формулу нетрудно было угадать, глядя на заданную последовательность нечетных чисел 1, 3, 5, 7, ...).
123
4.16. ||
ПРОГРЕССИИ
2)    20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой а1 = 20, д, = -3. Составим формулу п-го члена:
ап = а1 + (п- 1)й, ап = 20 + (л - 1) ■ (-3), а =23-3 л.
П
3)    8,8, 8.....Это арифметическая прогрессия, у которой аг = 8,
(1 = 0. Составим формулу п-го члена:
ап = а1 + (п- 1)й, а"= 8 + (л - 1)-0, а =8.
Л
Пример 4. Дана арифметическая прогрессия
а1> а2' аз> •••>ап' — •
а)    Известно, что аг = 5, й = 4. Найти а22.
б)    Известно, что ах = -2, й = 3, ап = 118. Найти л.
в)    Известно, что й = -2, а39 = 83. Найти аг.
г)    Известно, что аг = 7, а15= -35. Найти <1.
Решение. Во всех случаях в основе решения лежит формула п-го члена арифметической прогрессии
ап = аг + (л - 1)й.
а)    Положив в формуле п-го члена арифметической прогрессии п = 22,получим
а22 = аг + 2Ы = 5 + 21-4 = 89.
б)    Имеем
ап = аг + (п - 1)й,
т.е.
118 = -2 + (л-1)-3. Решая составленное линейное уравнение, находим:
118 = Зл - 5, л = 41.
в)    Имеем
а39= аг + 38й,
т.е.
83 = ^ + 38-(-2). Из этого уравнения находим а1 = 159.
124
4.16. ||
ПРОГРЕССИИ
г) Имеем
а15= ах + 14й,
т.е.
-35 = 7 + 14 Л. Из этого уравнения находим: 14й = -42, й = -3.
О т в е т: а) а22 = 89; б) п = 41; в) ах = 159; г) <1 = -3.
Пример 5. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена прогрессии на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти двадцатый член этой прогрессии.
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
Условия задачи можно кратко записать так:
1)-4-а1,    а2, а3, ..., ап, ... ;
2)    а9 = 7а2;
3)а10    = 2а5 + 5.
Воспользовавшись (несколько раз) формулой п-го члена арифметической прогрессии, получим:
а9 = аг + 8Ф, а2 = ах + а; а10 = ах + М; а5 = а1 + Ы.
Тогда второе условие задачи (а9 = 7а2) можно записать в виде
+ 8й = 7(ах + д),
т.е.
а = 6 аг.
Третье условие задачи (а10= 2аь + 5) можно записать в виде а1 + М = 2 (а1 + 4й) + 5,
т.е.
Л = ах + 5.
В итоге получаем очень простую систему двух линейных уравнений с двумя переменными а1 и й:
Л = 6а,, й = а, + 5,
125
4.16. ||
ПРОГРЕССИИ
которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Решая систему, находим = 1, й = 6.
Теперь мы можем записать арифметическую прогрессию 1,7, 13,19, 25,31,....
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Требуется вычислить а20. Имеем а20 = а1 + 19й = 1 + 19'6=115.
О т в е т: а20 = 115.
Замечание. В рассмотренном примере речь шла о конкретной математической модели — арифметической прогрессии. Первый этап решения мы назвали, как обычно, «составление математической модели». Получается, что мы составили математическую модель для математической модели. Как это понимать? Дело в том, что при решении задач очень часто приходится заменять одну математическую модель другой, более простой. Так обстоит дело и в рассмотренной задаче: математическую модель, оформленную в виде условий 1), 2) и 3), нам удалось заменить более привычной моделью — системой уравнений.
3. Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии.
Пусть дана конечная арифметическая прогрессия а . а . а.....а . а \ а .
1' 2> 3' ' л-2 п—1 п
Обозначим через <§л сумму ее членов, т.е.
= + й2 + «3 + - + ап-2 + ап-1 + ап
Выведем формулу для нахождения этой суммы.
Для начала заметим, что
а. + а = а, + а .
с    П—1    I    Л
В самом деле, по определению арифметической прогрессии, а. = а, + й, а = а -Л. Значит,
2 1 1 л-1 п    1
а2 + "л-1 = (й1 + + К -<*)-<», +
126
4.16. ||
ПРОГРЕССИИ
Аналогично можно установить, что
а, + а „ = а. + а =а. + а
3 л-2 2 л-1 1 л
и вообще что сумма члена, находящегося на к-м месте от начала конечной арифметической прогрессии, и члена, находящегося на к-м месте от ее конца, равна сумме первого и последнего членов прогрессии.
Рассмотрим конкретный пример отыскания 5>п. Дана конечная арифметическая прогрессия 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100. Сумму ее членов вычислим следующим образом:
8]00 = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = = 101+101+ 101+ ... + 101 =
(50 слагаемых)
= 101-50 = 5050.
Замечание. Рассказывают, что немецкий математик XIX века Карл Фридрих Гаусс додумался до приведенного выше решения примера в возрасте 5 лет.
Применим аналогичную идею для произвольной арифметической прогрессии. Имеем:
5 = а, + а„ + а, + ... + а „ + а , + а,
л 1 2 3    л-2 п-1 л1
8 =а +а , + а „ + ... + а. + а. + а,.
л л л-1 л-2    3 2 1
Сложив эти два равенства, получим
28, = + а.) + («2 + <*„-,) + (а, + а„_2) + ...
- + ("л-2 + "з) + ("л-! + "г) + К + а1>-
В правой части равенства п пар слагаемых, каждая пара, как мы установили выше, равна аг + ап. Значит, получаем
28п = п(ах + ап), т.е.
_ п(а1 + аП)
Это — формула суммы п членов арифметической прогрессии.
127
4.16. ||
ПРОГРЕССИИ
Пример 6. Дана конечная арифметическая прогрессия а . и . а.....а .
1' 2 3' ' п
а)    Известно, что ах = 5, д, = 4, п = 22. Найти <§п, т.е. <§22.
б)    Известно, что ах = 7, п = 8, 58 = 140. Найти й.
Р е ш е н и е. а) Имеем а = а, = а, + 21й = 5 + 21•4 = 89.
'    Л    1
Значит, 522 = 22(а^) = 11 • (5 + 89) = 1034.
б) Сначала найдем ап, т.е. а8. Имеем
_ 8(а1 + а8) " ^ '
т.е.
140 = 4 (ах + а8), 140 = 4(7 + а8), 35 = 7 + а8.
В итоге получаем, что а8 = 28.
А теперь применим к а8 формулу п-го члена арифметической прогрессии а8 = а1 + 16,, т.е. 28 = 7 + Чй, откуда находим 6 = 3. О т в е т: а) 522= 1034; 6)6 = 3.
Пример 7. Найти сумму всех четных трехзначных чисел. Решение. Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 100,102,104,..., 998. У этой прогрессии а1 = 100, ап = 998, 6 = 2. Нужно вычислить 8п, но для этого сначала надо узнать, чему равно п, т.е. сколько членов содержится в указанной конечной арифметической прогрессии. Имеем последовательно:
а= аг + (л - 1)6, 998 = 100 + (л - 1) • 2, 998 = 2п + 98, п = 450.
Итак, а1 = 100, п = 450, ап = 998. Наша задача — вычислить
5„> Т-е- 5460-
Имеем
2
Ответ: 247 050.
«450 = \ 460 = 225 (100 + 998) = 247050.
128
4.15.
ПРОГРЕССИИ
Иногда оказывается полезной несколько видоизмененная формула суммы п членов арифметической прогрессии. Если в формуле для <§п учесть, что ап = а1 + й(п - 1), то получим
2а, + Л(п - 1)
& = —4- • п.
2
Пример 8. Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700 м?
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
За первый час турист прошел 800 м, за второй — 775 м, за третий — 750 м и т.д. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия
+ а1> а2>аз> —>ап>
у которой аг = 800, Л = -25, 5п = 5700. Надо найти п (в часах — время движения туриста).
Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся второй формулой для
„ 2а, + Л(п - 1)
о = —-- • п,
2
т.е.
5700 = 2 8°°-25(п-1) • п, 2
228 = 64 -("-Ц .п 2
(обе части уравнения разделили на 25),
456 = л(65 - п), п2 -65л + 456 = 0, пх = 8, п2 = 57.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, сколько времени был в пути турист. По смыслу задачи из двух найденных значений п выбираем первое: п = 8. Ответ: турист был в пути 8 часов.
9-'6    129
4.16. ||
ПРОГРЕССИИ
4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Пусть дана арифметическая прогрессия а , а2, а3,..., ап,.... Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: ап1, ап, ая+1. Известно, что
а -& = а .,
Л    я—1
а + (1 = а ,.
п    п+1
Сложив эти равенства, получим
а =
Это значит, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего)равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Верно и обратное: если последовательность (ая) такова, что для любого п > 1 выполняется равенство
а , + а , а =    ""
то (ап) — арифметическая прогрессия.
В самом деле, последнее равенство можно переписать в виде а -а = а - а .
п л-1 л+1 п
Это значит, в частности, что а2~ ах = а3 - а2, а3 - а2 = а4 - а3 и т.д. Иными словами, разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, а это и означает, что задана арифметическая прогрессия.
Тем самым мы доказали следующую теорему.
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последне-Теорема    го> в случае конечной последовательности),
равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).
Пример 9. При каком значении х числа Зх + 2, Ьх - 4 и Их + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?
130
4.16.
ПРОГРЕССИИ
Решение. Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
5х - 4 = <3*+ 2) + (Их + 12) 2
Решая это уравнение, находим:
10х - 8 = 14х +14, х = -5,5.
При этом значении х заданные выражения Зх + 2, 5х - 4, Их + 12 принимают соответственно значения -14,5, -31,5, -48,5. Это арифметическая прогрессия, ее разность равна -17. О т в е т: х = -5,5.

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.