Версия 07:52, 2 июля 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Числовая окружность на координатной плоскости

ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат хОу так, как показано на рис. 104: центр окружности совмещен с началом координат, радиус окружности принимается за масштабный отрезок. Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При этом Каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем: у точек первой четверти — х > 0, у> 0; у точек второй четверти — х < 0, у > 0; у точек третьей четверти — х < 0, у < 0; у точек четвертой четверти — х > 0, у < 0 (рис. 104).

 Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства:
Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х² + у² = R². Заметим, во-вторых, что R— 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид х²+у² = 1.
Нам важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, которые представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Начнем с точек первого макета:

Точка середина первой четверти. Опустим из точки М. перпендикуляр М^2Р на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОМ}Р (рис. 105). Так как дуга АМХ составляет половину дуги АВ, то Значит, ОМ₁Р — равнобедренный прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М₁Р равны, т.е. у точки Мх абсцисса и ордината равны: х = у. Кроме того, координаты точки М₁х; у) удовлетворяют уравнению окружности х² + у² = 1. Таким образом, для отыскания координат точки Мх нужно решить систему уравнений

Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим:

1 1 -ЛИ
(мы учли, что абсцисса точки М₁ положительна). А так как у = х,то И
Итак,
Проанализируем полученное равенство. Что означает запись
м.    '-1    = М.    (42 42)
1    4 \ /    1    2 ' 2 к ;
М,
V4,
? Она означает, что точка М1 числовой окружности соответ-
ствует числу -. А что означает запись М,
? Она означает,
'л/2 >/2
2 ! 2
V    у
что точка имеет соответствующие координаты в прямоугольной системе координат хОу. И в дальнейшем будем придерживаться подобного способа записи: если будет написано М(1), то это значит, что точка М числовой окружности соответствует числу Ц если будет написано М(х; у), то это значит, что числа хиу являются соответственно абсциссой и ординатой точки М. Таким образом, (х; у) — декартовы координаты точки М, а I — «криволинейная» координата точки М на числовой окружности.
Рассмотрим точку М,
Зл
— середину второй четверти. Рас-
суждая, как и выше, получим для модуля абсциссы и для модуля
42 42
ординаты этой точки те же значения — и — . Но, учтя, что во
6    и
второй четверти х < 0, а у > О, делаем вывод:
м9    ' Зя^    = м2    Г 42, 42)
2    4 V. /    с    2 ' 2 \ ;
Для точки М
5л
т
/
м.
(II"
середины третьей четверти имеем:
    = м„
    о V
2 ' 2
у
— середины четвертой четверти имеем:
Для точки М
Сведем полученные результаты в таблицу.
М4        = м.    (42    42)
4    4 V. У    4    2 ' V    2 /
158
5.22.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Таблица 1
Точка    0    л    л    Зл        5л    Зл    7л   
окружности        4    2    Т    л    т    ~2    4    2л
Абсцисса х    1    ^    0    42    -1        0    Л    1
        2        2        2        2   
Ордината у    0    72        72                    0
            1        0        -1       
        2        2        2        2   
Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором ма-
кете (рис. 101). Возьмем точку Мг
— , опустим из нее перпендику-
ляр М^Р на прямую ОА и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМхР (рис. 106). Гипотенузой этого треугольника является ОМ , причем ОМх = 1. Угол МуОР равен 30°, поскольку дуга АМ1 составляет треть дуги АВ, а дуга АВ содержит 90°. Из геометрии известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°,
равен половине гипотенузы. Значит, М^Р = ^ —это ордината точки М:
1 1
У= 2"
                У '                   
                к                   
    /                        N    чл    г,
    /                               
С                            30°    \А   
                О                Р X   
                                   
А    'Л                               
                    Я               
                                   
Рис. 126
159
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
По теореме Пифагора,
т.е.
л;2==0р2= 0М2 - М1Р2=12-[-
2 3 _ Л
1 4 4'
Итак,
М,
п
V6/

>/3 Г
(мы учли, что точка — принадлежит первой четверти, а потому обе о
ее координаты — положительные числа).
С точкой МЛ - | связан тот же прямоугольный треугольник,
2{з)
только ориентированный по-другому (рис. 106). Получаем
3 1 2 2 2
. у    \ ;
Те же самые значения (с точностью до знака) будут координатами всех остальных точек второго макета (исключая, разумеется,
М2[*
точки А(0), В
2
\ У
2
), причем по чертежу нетрудно опре-1
делить, какая координата равна по модулю числу ~ , а какая —чис-
>/3    (7п)
лу — . Возьмем для примера точку М3 — I (рис. 106). Будем рассуждать так. Проведем перпендикуляр М3Ь к оси х. Во-первых,
1 у/3
М3Ь < ЬО, т.е. | у [ < | х |. Значит, из двух чисел - и — в качестве ординаты точки М3 нужно взять меньшее, т.е. ^, а в качестве абсцис-сы — большее, т.е. — . Во-вторых, — — точка третьей четверти,
а    О
7я
а потому для точки будет х < 0 и у < 0. Окончательно получаем
М.
7я
V6,
м31-
7з
160
518.Ц
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
А теперь возьмите точку Мл — | и попробуйте, проведя анало-
гичные рассуждения, наити декартовы координаты точки. Мы же пока приведем итоговую таблицу, с помощью которой вы сможете
проверить правильность своего вывода.
Таблица 2
Точка    я    я    2я    5л    7л    4я    5я    11л
окружности    6    3    3    6    6    3    3    6
Абсцисса х    7з    1    1    7з        1    1    Уз
    2    2    2    2    2    2    2    2
Ордината у    1    л/з    >/3    1    1    7з    Уз    1
    2    2    2    2    2    2    2    2
А теперь проверьте себя: М41 — ] = М4
1 Уз', ,
-; - ---- | (см. предпо-
следнюю колонку таблицы 2).
Пример 1. Найти координаты точек числовой окружности:
б)?^-^; в)Р3(45т1); г)Р4(-18тг).
Решение. Во всех четырех случаях воспользуемся утверждением, полученным в предыдущем параграфе: числам I и ^ + 2кк (к е 2) соответствует одна и та же точка числовой окружности.
а) Имеем
45я 45    5    5л 5я
—— = — • 71 = (10+ 7)71=1071+ -Г = -- + 2я-5. 4 4    4'    4 4
45я
Следовательно, числу соответствует та же точка числовой 5я
окружности, что и числу — (см. первый макет, рис. 100). Для точ-
5л ки — имеем х = - — 4 2    >У =    42 2 '    Значит,   
Л    ' 45яч /        -    2
10*    161
5.18.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
б) Имеем
37я 37
•71 = -
12 +
71 =-1271- ~ = +271-(-6).
о    3
37я
Следовательно, числу —— соответствует та же точка число-
о
я    Я
вой окружности, что и числу - - . А числу - - соответствует на чис-
о    о
5я
ловои окружности та же точка, что и числу — (см. второй макет —
5я    1    73
рис. 101). Для точки — имеем х = - , г/ = - — . Таким образом,
о    I    2
37я4    _ п    ( 1 _   
    2    2'    2 /
в)    4571 = 4471+ 71 = 71 + 2т1-22. Значит, числу 45я соответствует та же точка числовой окружности, что и числу к, — это точка С(-1; 0). Итак,
Р3(4571) = Р3(-1;0).
г)    —1871 = 0 + 271- (-9). Следовательно, числу —1871 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 0, — это точка А(1; 0). Итак,
Р4(-18т1) = Р4(1;0). <1
Пример 2. Найти на числовой окружности точки с ордина-1
той у = — и записать, каким числам I они соответствуют.
Решение. Прямая у = - пересекает числовую окружность
я
в двух точках: М и Р (рис. 107). Точка М соответствует числу -(см. второй макет — рис. 101), а значит, и любому числу вида
5я
^ + 2пк; точка Р соответствует числу — , а значит, и любому числу
5я
вида — + 2пк. Получили, как обычно говорят в таких случаях, две
я    5я
серии значений: — + 2пк и — + 2т1к.
о    о
Ответ: 1= - + 271 к; I = о
5я
+ 2тгк.
162
5.18.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
=    Л            У л    кВ               
        /                           
    м.    г                           
    /                               
С                                   
                    0            1 х   
    V                               
    л                               
        ч]                           
                    и               
Рис. 107
Рис. 108
Пример 3. Найти на числовой окружности точки с абсцис-
72
СОИ X =
и записать, каким числам I они соответствуют.
42
Решение. Прямая х = —— пересекает числовую окружность
Зя
в двух точках: М и Р (рис. 108). Точка М соответствует числу —
(см. первый макет — рис. 100), а значит, и любому числу вида Зя    5я
— + 2пк; точка Р соответствует числу — , а значит, и любому
5я
числу вида у + 2пк.
Зя    5я
Ответ: 1= — + 2пк; I = — + 2пк. 4    4
Замечание. Решая пример 3, можно было рассуждать немного по-другому: точка Р соответствует чис-
Зя    .    Зя
лу--, а значит, и любому числу вида--+ 2пк.
4    4
Зя
Получили две серии значений: / =--\-2пк (для точ-
Зя    4
ки М)и/ = -— + 2пк (для точки Р). Чем это лучше по
сравнению с записью ответа к примеру 3? Тем, что обе
серии значений можно охватить одной записью:
Зя „ , /= ± — +2пк. 4
11*
163
5.17.||
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.