|
|
Строка 1: |
Строка 1: |
| '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс<metakeywords>Синус и косинус. Тангенс и котангенс</metakeywords>''' | | '''[[Гипермаркет знаний - первый в мире!|Гипермаркет знаний]]>>[[Математика|Математика]]>>[[Математика 9 класс|Математика 9 класс]]>>Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс<metakeywords>Синус и косинус. Тангенс и котангенс</metakeywords>''' |
| + | |
| + | <br> |
| + | |
| + | СИНУС И КОСИНУС. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС.<br>'''1.''' Синус и косинус.<br>Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соз t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают зт t.<br>Итак (см.рис. 109), |
| + | |
| + | [[Image:alg31.jpg]]<br>Вооружившись определением, вернемся к предыдущему параграфу и как бы заново перечитаем его.<br>Мы отметили в § 18, что каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем: |
| + | |
| + | у точек первой четверти х > 0, у > 0;<br>у точек второй четверти х < 0, у > 0;<br>у точек третьей четверти х < 0, у < 0;<br>у точек четвертой четверти х > 0, у < 0 (рис. 104).<br>Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности: |
| + | |
| + | [[Image:alg32.jpg]]<br>Мы отметили в § 18, что уравнение числовой окружности имеет вид х<sup>2</sup> + у<sup>2</sup> = 1.<br>Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее ат t и соз t:<br>[[Image:alg33.jpg]]<br>В § 18 было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, что представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Теперь эта мысль стала, думается, предельно ясной: опираясь на таблицы 1 и 2 из § 18, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений соа t и ат t. |
| + | |
| + | [[Image:alg34.jpg]]<br>'''Пример 1.''' Вычислить соs t и sin t, если: |
| + | |
| + | [[Image:alg35.jpg]]<br>'''Решение:''' '''а)''' В примере 1а из § 18 мы установили, что числу [[Image:alg36.jpg]] соответствует та же точка числовой окружности, что и |
| + | |
| + | [[Image:alg37.jpg]]<br>'''б) ''' В примере 16 из § 18 мы установили, что числу |
| + | |
| + | [[Image:alg38.jpg]] <br>'''Пример 2.''' Решить уравнение [[Image:alg39.jpg]]<br> |
| + | |
| + | '''Решение.''' Учтем, что sin t — ордината точки М{<sub>1</sub>) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1<br>точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 2 из § 18: |
| + | |
| + | [[Image:alg310.jpg]]<br>'''Пример 3.''' Решить уравнение [[Image:alg311.jpg]]<br>'''Решение.''' Учтем, что sin t — ордината точки М{<sub>1</sub>) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1<br> точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 3 из § 18: |
| + | |
| + | [[Image:alg312.jpg]]<br>'''Пример 4.''' Решить уравнение: |
| + | |
| + | [[Image:alg313.jpg]]<br>'''Р е ш е н и е. а) '''Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Ординату 0 имеют точки А и С (рис. 109), они соответствуют числам 0 (точкаА), п (точка С), 2п (точка А), Зп (точка С), -п (точка С), -2л (точка А) и т.д. Короче это можно записать так: точки А и С соответствуют числам вида пк. |
| + | |
| + | [[Image:alg314.jpg]]<br> |
| + | |
| + | '''б) ''' Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 109). |
| + | <br> |
| + | я я<br>она соответствует числу —, а значит, и всем числам вида - + 2пк.<br>167<br>5.17.||<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Значит, решения уравнения<br>8111 1 = 1<br>имеют вид<br>Л<br>I = - + 2 пк.<br>в) Ординату -1 имеет точка Б числовой окружности (рис. 109),<br>Л<br>она соответствует числу - —, а значит, и всем числам вида<br>-К + 2 пк. 2<br>Значит, решения уравнения<br>31П I = -1<br>имеют вид<br>1 = --+2пк. (1 2<br>Пример 5. Решить уравнение:<br>а) соз 1 = 0; б) соз 1 = 1; в) соз 1 = -1.<br>Р е ш е н и е. а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Абсциссу 0 имеют точки В и О (рис. 109), они соответствуют чис-<br>л Зл 5я 7л<br>лам — (точка В), — (точка В), — (точка В), — (точка Б),<br>^ 6 и о<br>- ^ (точка Б), - — (точка В) и т.д. Короче это можно записать так:<br>с* С*<br>л<br>точки В к В соответствуют числам вида — + пк. Итак, решения уравнения<br>соз / = 0<br>имеют вид<br>я<br>I = - + пк.<br>б) Абсциссу 1 имеет точка А числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу 0, а значит, и всем числам вида 0 + 2пк, т.е. 2пк.<br>Значит, решения уравнения<br>соз 2=1<br>имеют вид<br>I = 271 к.<br>в) Абсциссу -1 имеет точка С числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу я, а значит, и всем числам вида п + 2пк.<br>168<br>5.17.||<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Значит, решения уравнения<br>сон I = -1<br>имеют вид<br>I = 71 + 2л к. <1<br>Замечание. Напомним еще раз о нашей договоренности: параметр к (или п) принимает любые целочисленные значения (к е 2 ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем.<br>Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах.<br>Свойство 1. Для любого значения I справедливы равенства:<br>8111 {-I) = -8111 I, соз {-I) = соз I.<br>Например,<br>я \ .я 1<br>81П |--= -8111 - =--<br>6 6 2<br>71<br>71 72<br>008 I "4 ] =С08 " = у.<br>Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу -1 соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (рис. 110), т.е. симметричная точке М относительно оси абсцисс. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что сое (-/) = = соз I. У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты; это значит, что 8Ш (-*) = -зт I.<br>Свойство 2. Для любого значения 1: справедливы равенства-.<br>г Л<br>зт (<■ + 271 к) = 81П<br>соз (1 + 2т1к) = СОЗ 1.<br>V У<br>Это очевидно, поскольку числам I и I + 2як соответствует одна и та же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались).<br>169<br>5.19.Ц<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Свойство 3. Для любого значения I справедливы равенства:<br>81П (2 + 71) = -81П I, соз (2 + л) = -соз I.<br>Например,<br>7я<br>31Щ-<br>= 81П| -+Л<br>. Я 1<br> '5»Г| <br>С08 Л = С08<br> \ / <br>я я 42<br>- +Л = -С08" =--<br>4 1 4 2<br>Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу I + л соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности — начала координат (рис. 111). У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что<br>СО8 (2 + л) = -С08 I, 81П (I + Л) = -81П I.<br>Рис. 110<br>170<br>Рис. 111<br>5.19.<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>2. Тангенс и котангенс.<br>тангенс числа<br>котангенс числа<br>Определение. Отношение синуса числа I к косинусу того же числа называют тангенсом числа I и обозначают Отношение косинуса числа I к синусу того же числа называют котангенсом числа I и обозначают V.<br>=<br>зт I<br><br>соз I<br>соз I зт I<br>Говоря о I, подразумевают, что сое I Ф О, т.е.<br>что IФ - + пк (см. пример 5а), а говоря о I, подразумевают, что 81П I Ф 0, т.е. что I Ф пк (см. пример 4а). Поэтому обычно определения I и сЬ§ I записывают так:<br>ВИИ я<br>1§г = -, Где I Ф — + пк,<br>соз г 2<br>I ± ^ 003 I<br>с щг = ——, где I ф я к.<br>I _зт I_<br>Впредь, говоря о I или I, мы будем подразумевать (не записывая), что аргумент I принимает только допустимые значения:<br>я<br>IФ д + пк для I и I Ф пк для сЬ& I.<br>Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в п. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:<br>Четверть 1-я 2-я 3-я 4-я<br>1, с4е 1 + - + -<br>Пример 6. Вычислить:<br>я 5я я 5я<br>а)1§-; б)<#у; в)^^; г)с<#у.<br>в мл . я 72 Я 72<br>Р е ш е н и е. а) Имеем: зт ~ = — , со8~ = —<br>171<br>5.17.||<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Значит,<br>я 72 >/2 .<br>5тг 7з 1<br>б) Имеем: ат — = -—- , соа — = - (см. второй макет<br>рис. 101). Значит,<br>*8<br>3 2 ' 2<br>я я<br>в) Имеем: ат - = 1, соа - = 0. Значит,<br>сЩ = 0:1 = 0.<br>571 1 571<br>г) Имеем: 81*1 ^г = ^ = ~~2~ втоР°^ макет — рис. 101). Значит,<br>5я V3 1<br>Как видите, зная значения синуса и косинуса числа I, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса:<br>г 0 я 6 я 4 я 3 я 2<br> 0 7з 3 1 7з -<br> - 7з 1 7з 3 0<br>Свойство 1. Для любого допустимого значения I справедливы равенства'.<br>аёН)<br><br>172<br>5.17.||<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>Доказательство. Воспользуемся тем, что соа (-(:) = сов I, а 81п (-1) = -81п I (см. свойство 1 из п. 1). Имеем:<br>сЪёН) --<br>вт(~1) _ - В1П I _ 8111 I соз(-4) соз I<br>соз(-4) соз I<br>зт(-г) - 8111 I<br>СОЗ I<br>соз I зтг<br>с1# и<br>Свойство 2. Для любого допустимого значения I справедливы равенства:<br>(I + л) =<br>Доказательство. Воспользуемся тем, что сое (г + я) = -соа а 81п (* + я) = -81п I (см. свойство 3 из п. 1). Имеем:<br>. . . 8111(4 + я) -81114 81114 ,<br>1ёи + л) = -= -- = -- = х&г,<br>соз(I + я) -соз I соз I<br>. , . соз(4 + я) -соз I соз I<br>+ 71) = ---- =- = - =<br>3111(4 + я) -31114 31114<br>Нетрудно доказать, что выполняются и такие равенства: (I + 2л) = 1,1ё (I - л) = I, Ц + 2л) = I<br>и вообще<br>/■-<br>(* + пк) = Ьё I, (I + пк) = I.<br>Пример 7. Вычислить:<br>а)1*<br>7я 3<br>; б)с1§<br>Р е ш е н и е. а) По свойству 1,<br>5я 4~' 7я 3<br>7я<br>у . Так как далее<br>7я 3<br>2л + -, то<br>7я<br><br>173<br>5.17.||<br>ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ<br>(мы воспользовались свойством 2, а точнее, его обобщением). Итак,<br>1*<br>5я<br>(<br>б)сЛв 4- -<br>лись свойством 2). <■]<br>: 4 = ^ (здесь мы также воспользова-<br> |
| | | |
| А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс | | А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс |
Версия 09:33, 2 июля 2010
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Синус и косинус. Тангенс и котангенс
СИНУС И КОСИНУС. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС. 1. Синус и косинус. Определение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают соз t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают зт t. Итак (см.рис. 109),
Вооружившись определением, вернемся к предыдущему параграфу и как бы заново перечитаем его. Мы отметили в § 18, что каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем:
у точек первой четверти х > 0, у > 0; у точек второй четверти х < 0, у > 0; у точек третьей четверти х < 0, у < 0; у точек четвертой четверти х > 0, у < 0 (рис. 104). Это позволяет нам составить соответствующую таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:
Мы отметили в § 18, что уравнение числовой окружности имеет вид х2 + у2 = 1. Тем самым фактически получено важное равенство, связывающее ат t и соз t:
В § 18 было отмечено, как важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, что представлены на первом и втором макетах (рис. 100 и 101). Теперь эта мысль стала, думается, предельно ясной: опираясь на таблицы 1 и 2 из § 18, мы без труда составим соответствующие таблицы для вычисления значений соа t и ат t.
Пример 1. Вычислить соs t и sin t, если:
Решение: а) В примере 1а из § 18 мы установили, что числу соответствует та же точка числовой окружности, что и
б) В примере 16 из § 18 мы установили, что числу
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Учтем, что sin t — ордината точки М{1) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1 точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 2 из § 18:
Пример 3. Решить уравнение Решение. Учтем, что sin t — ордината точки М{1) числовой окружности. Значит, нам нужно найти на числовой окружности 1 точки с ординатой - и записать, каким числам I они соответствуют. Но эта задача уже решена выше — см. пример 3 из § 18:
Пример 4. Решить уравнение:
Р е ш е н и е. а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с ординатой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Ординату 0 имеют точки А и С (рис. 109), они соответствуют числам 0 (точкаА), п (точка С), 2п (точка А), Зп (точка С), -п (точка С), -2л (точка А) и т.д. Короче это можно записать так: точки А и С соответствуют числам вида пк.
б) Ординату 1 имеет точка В числовой окружности (рис. 109).
я я она соответствует числу —, а значит, и всем числам вида - + 2пк. 167 5.17.|| ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Значит, решения уравнения 8111 1 = 1 имеют вид Л I = - + 2 пк. в) Ординату -1 имеет точка Б числовой окружности (рис. 109), Л она соответствует числу - —, а значит, и всем числам вида -К + 2 пк. 2 Значит, решения уравнения 31П I = -1 имеют вид 1 = --+2пк. (1 2 Пример 5. Решить уравнение: а) соз 1 = 0; б) соз 1 = 1; в) соз 1 = -1. Р е ш е н и е. а) Нам нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой 0 и записать, каким числам I они соответствуют. Абсциссу 0 имеют точки В и О (рис. 109), они соответствуют чис- л Зл 5я 7л лам — (точка В), — (точка В), — (точка В), — (точка Б), ^ 6 и о - ^ (точка Б), - — (точка В) и т.д. Короче это можно записать так: с* С* л точки В к В соответствуют числам вида — + пк. Итак, решения уравнения соз / = 0 имеют вид я I = - + пк. б) Абсциссу 1 имеет точка А числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу 0, а значит, и всем числам вида 0 + 2пк, т.е. 2пк. Значит, решения уравнения соз 2=1 имеют вид I = 271 к. в) Абсциссу -1 имеет точка С числовой окружности (рис. 109), она соответствует числу я, а значит, и всем числам вида п + 2пк. 168 5.17.|| ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Значит, решения уравнения сон I = -1 имеют вид I = 71 + 2л к. <1 Замечание. Напомним еще раз о нашей договоренности: параметр к (или п) принимает любые целочисленные значения (к е 2 ), мы это постоянно подразумеваем, но, краткости ради, не записываем. Завершая разговор о синусе и косинусе, остановимся на их свойствах. Свойство 1. Для любого значения I справедливы равенства: 8111 {-I) = -8111 I, соз {-I) = соз I. Например, я \ .я 1 81П |--= -8111 - =-- 6 6 2 71 71 72 008 I "4 ] =С08 " = у. Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу -1 соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (рис. 110), т.е. симметричная точке М относительно оси абсцисс. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что сое (-/) = = соз I. У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты; это значит, что 8Ш (-*) = -зт I. Свойство 2. Для любого значения 1: справедливы равенства-. г Л зт (<■ + 271 к) = 81П соз (1 + 2т1к) = СОЗ 1. V У Это очевидно, поскольку числам I и I + 2як соответствует одна и та же точка числовой окружности (чем мы не раз уже пользовались). 169 5.19.Ц ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Свойство 3. Для любого значения I справедливы равенства: 81П (2 + 71) = -81П I, соз (2 + л) = -соз I. Например, 7я 31Щ- = 81П| -+Л . Я 1 '5»Г| С08 Л = С08 \ / я я 42 - +Л = -С08" =-- 4 1 4 2 Доказательство. Если числу I соответствует точка М числовой окружности, то числу I + л соответствует точка Р, симметричная точке М относительно центра окружности — начала координат (рис. 111). У таких точек абсциссы равны по модулю, но противоположны по знаку, и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку. Это значит, что СО8 (2 + л) = -С08 I, 81П (I + Л) = -81П I. Рис. 110 170 Рис. 111 5.19. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 2. Тангенс и котангенс. тангенс числа котангенс числа Определение. Отношение синуса числа I к косинусу того же числа называют тангенсом числа I и обозначают Отношение косинуса числа I к синусу того же числа называют котангенсом числа I и обозначают V. = зт I
соз I соз I зт I Говоря о I, подразумевают, что сое I Ф О, т.е. что IФ - + пк (см. пример 5а), а говоря о I, подразумевают, что 81П I Ф 0, т.е. что I Ф пк (см. пример 4а). Поэтому обычно определения I и сЬ§ I записывают так: ВИИ я 1§г = -, Где I Ф — + пк, соз г 2 I ± ^ 003 I с щг = ——, где I ф я к. I _зт I_ Впредь, говоря о I или I, мы будем подразумевать (не записывая), что аргумент I принимает только допустимые значения: я IФ д + пк для I и I Ф пк для сЬ& I. Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности (она имеется в п. 1), нетрудно составить аналогичную таблицу для тангенса и котангенса: Четверть 1-я 2-я 3-я 4-я 1, с4е 1 + - + - Пример 6. Вычислить: я 5я я 5я а)1§-; б)<#у; в)^^; г)с<#у. в мл . я 72 Я 72 Р е ш е н и е. а) Имеем: зт ~ = — , со8~ = — 171 5.17.|| ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Значит, я 72 >/2 . 5тг 7з 1 б) Имеем: ат — = -—- , соа — = - (см. второй макет рис. 101). Значит, *8 3 2 ' 2 я я в) Имеем: ат - = 1, соа - = 0. Значит, сЩ = 0:1 = 0. 571 1 571 г) Имеем: 81*1 ^г = ^ = ~~2~ втоР°^ макет — рис. 101). Значит, 5я V3 1 Как видите, зная значения синуса и косинуса числа I, нетрудно вычислить соответствующие значения тангенса и котангенса. Тем не менее есть смысл составить небольшую таблицу основных значений тангенса и котангенса: г 0 я 6 я 4 я 3 я 2 0 7з 3 1 7з - - 7з 1 7з 3 0 Свойство 1. Для любого допустимого значения I справедливы равенства'. аёН)
172 5.17.|| ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Доказательство. Воспользуемся тем, что соа (-(:) = сов I, а 81п (-1) = -81п I (см. свойство 1 из п. 1). Имеем: сЪёН) -- вт(~1) _ - В1П I _ 8111 I соз(-4) соз I соз(-4) соз I зт(-г) - 8111 I СОЗ I соз I зтг с1# и Свойство 2. Для любого допустимого значения I справедливы равенства: (I + л) = Доказательство. Воспользуемся тем, что сое (г + я) = -соа а 81п (* + я) = -81п I (см. свойство 3 из п. 1). Имеем: . . . 8111(4 + я) -81114 81114 , 1ёи + л) = -= -- = -- = х&г, соз(I + я) -соз I соз I . , . соз(4 + я) -соз I соз I + 71) = ---- =- = - = 3111(4 + я) -31114 31114 Нетрудно доказать, что выполняются и такие равенства: (I + 2л) = 1,1ё (I - л) = I, Ц + 2л) = I и вообще /■- (* + пк) = Ьё I, (I + пк) = I. Пример 7. Вычислить: а)1* 7я 3 ; б)с1§ Р е ш е н и е. а) По свойству 1, 5я 4~' 7я 3 7я у . Так как далее 7я 3 2л + -, то 7я
173 5.17.|| ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (мы воспользовались свойством 2, а точнее, его обобщением). Итак, 1* 5я ( б)сЛв 4- - лись свойством 2). <■] : 4 = ^ (здесь мы также воспользова-
А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать
Содержание урока
конспект урока
опорный каркас
презентация урока
акселеративные методы
интерактивные технологии
Практика
задачи и упражнения
самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников
Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки
графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты
Дополнения
рефераты
статьи
фишки для любознательных
шпаргалки
учебники основные и дополнительные
словарь терминов
прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике
элементы новаторства на уроке
замена устаревших знаний новыми
Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год
методические рекомендации
программы
обсуждения
Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.
|