Версия 20:56, 24 ноября 2010

Гіпермаркет Знань>>Математика>>Математика 7 клас. Повні уроки>> Алгебра: Рівняння. Корені рівняння. Розв'язування рівнянь.Повні уроки

Алгебра

Тема 2. Рівняння. Корені рівняння. Розв'язування рівнянь

Мета: навчитись розв’язувати рівняння з однією змінною.

План:
1. Що таке рівняння, корінь рівняння.
2. Правила розв’язування рівнянь.

1. Що таке рівняння, корінь рівняння

Рівняння - це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами.

Невідомі числа в рівнянні називають змінними (змінна - variable).
Змінні найчастіше позначають буквами x,y,z, хоч можна позначити їх і іншими буквами.

Наприклад : 5x=30, 3a=18.

Число, яке задовольняє рівняння, називається його коренем (корінь - root) , або розв'язком (розв'язок - solution).

Наприклад: 
а) 3х = 21; х = 7 - корінь рівняння, оскільки 3 • 7 = 21 (правильна рівність);

б) 0,8 + х = 0,5; х = -0,3 - корінь рівняння, оскільки 0,8 + (-0,3) = 0,5 (правильна рівність);

в) 3х + х = -2; х = -0,5 - корінь рівняння, оскільки 3 • (-0,5) + (-0,5) = -2 (правильна рівність);

г) рівняння 5 : х = 0 не має коренів (ділити на 0 не можна, а при діленні числа 5 на інші числа в частці не буде 0).

Розв'язати (solve) рівняння - це означає знайти всі його розв'язки або показати, що їх не існує.

Завжди правильні такі основні властивості рівнянь:
1. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.

2. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.
Рівняння виду ax+b називається лінійним рівнянням (лінійне рівняння - linear equation) із змінною х. Числа a,b - коефіцієнти (коефіцієнт - coefficient) даного рівняння; a - коефіцієнт при змінній x, b - вільний член рівняння.
Якщо a≠0, то рівняння ax+b називають рівнянням першого степеня з однією змінною (рівняння першого степеня - simple equation).

2. Основні правила розв'язування рівнянь

Правило 1: Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок (якщо а + х = b, то x = b - a).
Приклади:
а) 7 + х = 23; х = 23 - 7; х = 16;
б) х + 0,2 = 1; х = 1 - 0,2; х = 0,8;
в) 1,8 + х = 0,5; х = 0,5 - 1,8; х = -1,3;
г) -3 + х = -2; х = -2 - (-3); х = -2 + 3; х = 1.

Правило 2: Щоб знайти невідоме зменшуване, треба додати від'ємник і різницю (якщо x - a = b, то x = a + b).
Приклади:
а) х - 8 = 5; х = 8 + 5; х = 13;
б) х - 1,4 = -6; х = 1,4 + (-6); х = -4,6;
в) х - (-2) = -1; х = -2 + (-1); х = -3.

Правило 3: Щоб знайти невідомий від'ємник, треба від зменшуваного відняти різницю (якщо a - x = b, то x = a - b).
Приклади:
а) 9 - х = 1,3; х = 9 - 1,3; х = 7,7;

б) -3 - х = -7; х = -3 - (07); х = 4.

Правило 4: Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник (якщо ax = b, то x = b : a).
Приклади:
а) 0,2х = 6,
х = 6 : 0,2,
х = 30;
б) 3x=0,4
x=0,4/3
x=2/15.

Правило 5: Щоб знайти невідоме ділене, треба частку помножити на дільник (якщо x : a = b, то x = ab).
Приклади:
а) х : 0,3 = 4,
х = 4 • 0,3,
х = 1,2;
б) х : (-2,5) = 2,
х = 2 • (-2,5),
х = -5;

Правило 6: Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку (якщо а : х = b, то x = a : b, або якщо).
Приклад:
а) 0,8 : х = -5,
х = 0,8 : (-5),
х = -0,16.

Інші правила розв'язування рівнянь

Правило 1: Корені рівняння не зміняться, якщо будь-який доданок перенести з однієї частини рівняння в другу, змінивши при цьому його знак.
Приклади:
а) 3х - 8 х - 14,
3х - х = -14 + 8,
2х = -6,
х = -6 : 2,
х = -3;
б) -2(3х + 4) = -10 - 8х,
-6х - 8 = -10 - 8х,
-6х + 8х = -10 + 8,
2х = -2,
х = -1.

Правило 2: Корені рівняння не зміняться, якщо обидві його частини помножити чи поділити на одне і те ж число, відмінне від нуля.
Приклади:
а) 10х - 120 = 30х - 40.
Поділимо кожен доданок обидвох частин рівняння на 10.
х - 12 = 3х - 4,
-2х = 8,
х = -4.

На відео розібрані типові прикладм з вирішення лінійного рівняння:

Для допитливих приклад більш складний:

Задача на логіку (Задача Піфагора)
- Скажи мені, великий Піфагор, скільки учнів відвідують твою школу і слухають твої бесіди?
- Ось скільки, - відповів філософ, - половина вивчає математику, чверть - музику, сьома частина перебуває у мовчанні та, крім того, є ще три жінки.
Відповідь:
Позначив за х - кількість відвідувачів школи Піфагора, задача зводиться до рівняння:  , розв'язавши яке отримаємо х=28. Отже, школу великого Піфагора відвідують 28 учнів.

Спробуйте самі
Складіть задачу про ваш клас, вашу сім'ю, ваших друзів, яка б розв'язувалася за допомогою рівняння, схожу на задачу Піфагора. Удачі вам!

Відредаговано і надіслано Мазуренко М.С.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - форум.