Версия 07:04, 11 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множи-
телей, а затем складывают или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из § 3. Можно сформулировать алгоритм, охватывающий любые случаи сложения (вычитания) алгебраических дробей.

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

Пример 1. Выполнить действия:

Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в примере из § 2. Опираясь на указанный пример, получаем:

Самое трудное в приведенном алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.

Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1.
Для дробей общий знаменатель есть число 15  оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).
Для дробей — общим знаменателем является одночлен 12b³. Он делится и на 4b² и на 6b³ , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей.

Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная b входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель
второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей

общим знаменателем служит произведение (х + у)(х - у) — оно делится и на знаменатель х + у и на знаменатель х-у.

При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.

Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1.
Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей общим
знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен 15а2Ь. Дело в том, что и 30, и 60, и 15а²b можно разделить как на 3, так и на 5. Для
дробей —
общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена 12b , может быть и 24b³ и 48а²b⁴. Чем же одночлен 12b³ лучше, чем 24b³, чем 48а²b⁴? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм
отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным мно-
жителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3).

Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Обычно используют следующую запись:

3#- _ Юа + 96
' ~5
2а
3
ЗЬ
5
15
Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дро-
2
бей "jTS" Н з является одночлен 12Ь3. Дополнительный множи-
тель для первой дроби равен ЗЬ (поскольку 12Ь3 : 4Ь2 = ЗЬ), для
второй дроби он равен 2 (поскольку 12Ь3 : 6Ь3 = 2). Значит, реше-
ние примера 1,6 можно оформить так:
аш а2Ш ЗаЬ+2а2
4Р" + 6b3" = 12b3 Ф
Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего зна-
менателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт пока-
зывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся,
поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.
Правило приведения алгебраических дробей
к общему знаменателю
1. Разложить все знаменатели на множи-
тели.
2. Из первого знаменателя выписать произ-
ведение всех его множителей, из осталь-
ных знаменателей приписать к этому
произведению недостающие множители.
Полученное произведение и будет общим
{новым) знаменателем.
3. Найти дополнительные множители для
каждой из сробей: это будут произведе-
ния тех множителей, которые имеются
в новом знаменателе, но которых нет в
старом знаменателе.
4. Найти для каждой дроби новый числи-
тель: это будет произведение старого
числителя и дополнительного множи-
теля.
5. Записать каждую дробь с новым числите-
лем и новым (общим) знаменателем.
Пример 2. Упростить выражение
За
4а2-1
а + 1
2а2 + о
Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные
множители.
Имеем
4а2 - 1 = Bа - 1) Bа + 1),
2а2 + а = аBа + 1).
Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добав-
ляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Полу-
чим общий знаменатель aBa - 1) Ba +1).
Удобно расположить записи в виде таблицы:
Знаменатели
Bа- 1)Bо + 1)
аBо + 1)
Общий знаменатель
а Bа- 1)Bо + 1)
Дополнительные
множители
а
Bа - 1)
Второй этап.
Выполним преобразования:
За
а + 1
3a\S-
a + 1
2о-1
4а2-1 2а
+а
аBа+1)
За2 - (а + 1) Bа-1) _ За2 -Bа2-а + 2а-1)
аBа-1)Bа+1) ~ аBа-1)Bа + 1)
За2-2а2+а-2а + 1 а2-а + 1
аBа-1)Bо +
аBа-1)Bа+1) '
<¦
При наличии некоторого опыта первый этап можно не выде-
лять, выполняя его одновременно со вторым этапом.
В заключение рассмотрим более сложный пример (для жела-
ющих).
Пример 3. Упростить выражение
Ь 1 Ь
2a4+4a3b + 2aV ~ 3afe2-3a3 + 6a4-6aV
Решение.
Первый этап.
Разложим все знаменатели на множители:
1) 2а4 + 4а3Ь + 2aV = 2а2 (а2 + 2аЪ + Ь2) = 2а2 (а + bf;
2) Sab2 - За3 = За (Ь2 - а2) = За (Ь - а) (р + а);
3Nа4-6а3Ь = 6а3(а-&).
Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем
недостающие множители 3 и b - а (или a — b), из третьего —
недостающий множитель а (поскольку третий знаменатель со-
держит множитель а3).
1.5.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Знаменатели
2a2 (a + bf
За (Ъ -а)(Ь + а)
6а3(а-Ь)
Общий знаменатель
6a3(a-b)(a + bJ
Дополнительные
множители
За (а - Ь)
-2а2 (а +Ь)
(а + ЬJ
Заметим, что если у дополнительного множителя появляется
знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью, т. е. перед
второй дробью придется поменять знак.
Второй этап.
Выполним преобразования:
Ъ 1 . Ь
2а4
ЗаЬ2-За3 6а4-ба3Ь
2а2(а + ЬJ Зо(о-Ь)(а + Ь) 6а3(а-Ь)
3ab(a-b) + 2a2(a + b) + b(a2 + 2ab + b2)
6a3(a-b)(a +
3a2b-3ab2
6a3(a-b)(a + bJ
2a3+6a2b-ab2 + l
6a3(a-b)(a + bf
<m
Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той
алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть
тождественное преобразование при допустимых значениях пе-
ременных. В данном случае допустимыми являются любые зна-
чения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих
случаях знаменатели обращаются в нуль).
§ 5. УМНОЖЕНИЕ И

_{Календарно-тематическое планирование по математике, задачи и ответы школьнику онлайн, курсы учителю по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.