Версия 12:02, 14 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Модуль действительного числа

                                        МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

1.Модуль действительного числа

и его свойства В младших классах вы уже встречались с понятием модуля (или абсолютной величины) числа, пользовались обозначением | а |. Вы знаете, что, например, | 5 | = 5, | - 3 | = 3. Правда, раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо
ввести понятие модуля для любого действительного числа.

Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х.
Короче это записывают так:

Например,

На практике используют различные свойства модулей, например:
1. |а| 0.
2.|аb| =|a| |b|.


2. Геометрический смысл модуля действительного числа

Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через (a, b) расстояние между точками а и b ( — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если
b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b.

Все три случая охватываются одной формулой:

Пример 1. Решить уравнения:
а) | х - 2| = 3; б) | х + 3,2| = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - I = 0.
Решение, а) Переведем аналитическую модель |х - 2| = 3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию (х, 2) = 3, т. е. удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это — точки - 1 и 5 (рис. 103). Следовательно, уравнение имеет
два корня: - 1 и 5.

б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2.

в) Уравнение |x| = 2,7 перепишем в виде |х - 0| = 2,7, или, что то же самое, (х, 0) = 2,7. На координатной прямой имеются две точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное 2,7. Это — точки - 2,7 и 2,7 (рис. 105). Таким образом, уравнение имеет два корня: - 2,7 и 2,7'.
г) Для уравнения

|х - | = 0 можно обойтись без геометрическои иллюстрации, ведь если | а | = 0, то а = 0. Поэтому х - = 0, т. е. х = .

Пример 2. Решить уравнения:
а) |2х - 6| = 8; б) |5 - Зx | = 6; в) |4x + 1| = - 2.

Р е ш е н и е. а) Имеем

|2x - 6| = |2(x -3)| =|2|.| = 2|x -3|
Значит, заданное уравнение можно преобразовать к виду
2|х - 3| = 8, откуда получаем | х - 3| = 4.
Переведем аналитическую модель | х - 3 | = 4 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию (х, 3) = 4, т. е. удалены от точки 3 на расстояние, равное 4. Это — точки - 1 и 7
(рис. 106). Итак, уравнение имеет два корня: - 1 и 7.
б) Имеем

Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду

Переведем аналитическую модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию

Значит, они удалены от точки , на расстояние, равное 2.

в) Для уравнения  | 4х + 1 | = - 2 никаких преобразований делать не нужно. Оно явно не имеет корней, поскольку в левой его части содержится неотрицательное выражение, а в правой — отрицательное число.

Пример 3. Построить график функции у = |х + 2 |.

Решение. График этой функции получается из графика функции у = | х | сдвигом последнего на две единицы масштаба влево (рис. 111).

4. Тождество
Мы знаем, что если .А как быть, если а < 0? Написать у в этом случае нельзя, ведь а < 0 и получится, что , а это неверно, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным.

Чему же равно выражение при а < 0? По определению квадратного корня в ответе должно получиться такое число, которое, во-первых, положительно и, во-вторых, при возведении в квадрат дает подкоренное число, т. е. а². Таким числом будет - а. Смотрите:

1) - а > 0 (еще раз напомним, что а — отрицательное число,
значит, - а — положительное число);
2)(-аJ=а2.
Итак,
Г а, если а > 0;
[-а, если а < 0.
Вам ничего не напоминает конструкция, полученная в пра-
вой части равенства? Вспомните, ведь точно так же определяет-
ся модуль числа а:
а, если а > 0;
[-а, еслиа<0.
а2 =
а =
I—2
Значит, у а и | а \ — одно и то же. Тем самым
мы доказали важное тождество:
а
В роли а может выступать любое числовое или алгебраиче-
ское выражение.
Пример 4. Упростить выражение ^/(а-1J , если:
а) а - 1 > 0; б) а - 1 < 0.
Решение. Как мы только что установили, справедливо
тождество
а) Если а - 1 > 0, то | а - 11 = а - 1. Таким образом, в этом
случае получаем ^/(а-1J = а - 1.
б) Если а - 1 <0, то|а - 11 = -(а - 1) = 1 - а. Значит, в этом
случае получаем y(a-lJ = 1 - а. в
Пример 5. Упростить выражение ^ • у]32а2 , если a < 0.
Решение. Имеем
\.Jtf _ ф ¦ \а\ _ 2^2-И
^W32a - 2а 2а а "
Так как по условию а<0, то |а| = -а. В результате по-
лучаем
2/2 -lal 2i2-(-a)
¦-2^/2.
Ответ: -2^2 .
Пример 6. Вычислить
Решение. Имеем
JL/3-2J
- 1
Осталось, как обычно говорят, «раскрыть знаки модулей».
Воспользуемся тем, что 1 < ,/3 < 2. Значит, ,/3 - 2 < 0, а^/З - 1 > 0.
- 11 = >/3 - 1.
Но тогда
В итоге получаем
-(>/3 -2) = 2-^,
- 1 =
Ответ: 1.

_{Видео по математикескачать, домашнее задание, учителям и школьникам на помощь онлайн}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.