Умножение вектора на число — Гипермаркет знаний

KNOWLEDGE HYPERMARKET

Умножение вектора на число

 		Версия 07:27, 23 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад)
← Предыдущая правка
		Версия 07:46, 23 июня 2010 (просмотреть исходный код)
User16  (Обсуждение | вклад) 
Следующая правка →
		
Строка 17:
Строка 17:
 <br>    <br>  
  
- [[Image:23-06-31.jpg]]<br><br>Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора [[Image:23-06-32.jpg]] равна [[Image:23-06-33.jpg]]|. Направление вектора [[Image:23-06-32.jpg]] при [[Image:23-06-34.jpg]] совпадает с направлением вектора [[Image:23-06-1.jpg]], если [[Image:23-06-35.jpg]], и противоположно направлению вектора [[Image:23-06-1.jpg]], если [[Image:23-06-36.jpg]].<br>Доказательство. Построим векторы OA и ОВ, равные [[Image:23-06-1.jpg]] и Ка соответственно (О — начало координат). Пусть oi и Ог — координаты вектора [[Image:23-06-1.jpg]]. Тогда координатами точки А будут числа а, и а-г, а координатами точки В будут ^1, ка2 (рис. 222). Уравнение прямой OA имеет вид:<br>ах + ^у = 0.<br>Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A{ai;a2), то ему удовлетворяют и координаты точки В{каг, Ялг). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой OA. Координаты с, и сг любой точки С, лежащей на полупрямой OA, имеют те же знаки, что и координаты oi и Ог точки А, а координаты любой точки, которая лежит на полупрямой, дополнительной к OA, имеют противоположные знаки.<br>Поэтому если А,&gt;0, то точка В лежит на полупрямой OA, а следовательно, векторы а п Ы одинаково направлены. Если к&lt;СО, то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы а и Ка противоположно направлены.<br>Абсолютная величина вектора Ха равна:<br>1^1 =V(A«.f+(^2f = М V^F+^= UI \а\. Теорема доказана.<br>Задача&nbsp; (17).&nbsp; Даны&nbsp; точки&nbsp; A{xi;yi) и В{х2;у2).<br>Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены.<br>Решение. Вектор АВ имеет координаты Х2 — Х1 и 1/2 —у 1. Вектор ВА имеет координаты XI—X2 и 1/1 — 1/2. Мы видим, что АВ={ — 1)ВА. А значит, векторы АВ и ВА противоположно направлены.<br>   + [[Image:23-06-31.jpg]]<br><br>Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора [[Image:23-06-32.jpg]] равна [[Image:23-06-33.jpg]]|. Направление вектора [[Image:23-06-32.jpg]] при [[Image:23-06-34.jpg]] совпадает с направлением вектора [[Image:23-06-1.jpg]], если [[Image:23-06-35.jpg]], и противоположно направлению вектора [[Image:23-06-1.jpg]], если [[Image:23-06-36.jpg]].
  +  
  + Доказательство. Построим векторы [[Image:23-06-37.jpg]], равные [[Image:23-06-1.jpg]] и [[Image:23-06-38.jpg]] соответственно (О — начало координат). Пусть a<sub>1</sub> и a<sub>2</sub> — координаты вектора [[Image:23-06-1.jpg]]. Тогда координатами точки А будут числа a<sub>1</sub> и a<sub>2</sub>, а координатами точки В будут [[Image:23-06-39.jpg]] (рис. 222). Уравнение прямой OA имеет вид:
  +  
  + [[Image:23-06-40.jpg]]
  +  
  + Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A(a<sub>1</sub>;a<sub>2</sub>), то ему удовлетворяют и координаты точки В([[Image:23-06-39.jpg]]). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой OA. Координаты с<sub>1</sub> и с<sub>2</sub> любой точки С, лежащей на полупрямой OA, имеют те же знаки, что и координаты a<sub>1 и </sub>a<sub>2</sub> точки А, а координаты любой точки, которая лежит на полупрямой, дополнительной к OA, имеют противоположные знаки.
  +  
  + Поэтому если [[Image:23-06-35.jpg]], то точка В лежит на полупрямой OA, а следовательно, векторы [[Image:23-06-1.jpg]] и [[Image:23-06-38.jpg]] одинаково направлены. Если [[Image:23-06-36.jpg]], то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы [[Image:23-06-1.jpg]] и [[Image:23-06-38.jpg]] противоположно направлены.
  +  
  + Абсолютная величина вектора [[Image:23-06-38.jpg]] равна:
  +  
  + [[Image:23-06-41.jpg]]
  +  
  + <br>Теорема доказана.
  +  
  + Задача&nbsp; (17).&nbsp; Даны&nbsp; точки&nbsp; A(x<sub>1</sub>;y<sub>1</sub>) и В(x<sub>2</sub>;y<sub>2</sub>).
  +  
  + Докажите, что векторы [[Image:23-06-3.jpg]] и [[Image:23-06-42.jpg]] противоположно направлены.<br>Решение. Вектор [[Image:23-06-3.jpg]] имеет координаты x<sub>2</sub> —x<sub>1</sub> и y<sub>2</sub> —у<sub>1</sub>. Вектор [[Image:23-06-42.jpg]] имеет координаты x<sub>1</sub> —x<sub>2</sub> и y<sub>1</sub> —у<sub>2</sub>. Мы видим, что [[Image:23-06-3.jpg]]=( — 1)[[Image:23-06-42.jpg]]. А значит, векторы [[Image:23-06-3.jpg]] и [[Image:23-06-42.jpg]] противоположно направлены.<br>  
  
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>    <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>  
Версия 07:46, 23 июня 2010
 
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Умножение вектора на число 

 
                                              УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 

 
 

Произведением вектора (аг, Ог)  на  число К  называется вектор (Каг, Ялг), т. е. (аг, ог) k = {Xai; Ка^). По определению (аг, ог) X = K(ai; Ог).
Из определения операции умножения вектора на число следует, что 
 

 


Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора  равна |. Направление вектора  при  совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если .
Доказательство. Построим векторы , равные  и  соответственно (О — начало координат). Пусть a₁ и a₂ — координаты вектора . Тогда координатами точки А будут числа a₁ и a₂, а координатами точки В будут  (рис. 222). Уравнение прямой OA имеет вид:

Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A(a₁;a₂), то ему удовлетворяют и координаты точки В(). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой OA. Координаты с₁ и с₂ любой точки С, лежащей на полупрямой OA, имеют те же знаки, что и координаты a_{1 и}a₂ точки А, а координаты любой точки, которая лежит на полупрямой, дополнительной к OA, имеют противоположные знаки.
Поэтому если , то точка В лежит на полупрямой OA, а следовательно, векторы  и  одинаково направлены. Если , то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы  и  противоположно направлены.
Абсолютная величина вектора  равна:


Теорема доказана.
Задача  (17).  Даны  точки  A(x₁;y₁) и В(x₂;y₂).
Докажите, что векторы  и  противоположно направлены.
Решение. Вектор  имеет координаты x₂ —x₁ и y₂ —у₁. Вектор  имеет координаты x₁ —x₂ и y₁ —у₂. Мы видим, что =( — 1). А значит, векторы  и  противоположно направлены.
 

 А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений 
 
_{Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать} 

 

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки



 
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. 
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.

Источник — «http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A3%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE»
@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 <br>
-[[Image:23-06-31.jpg]]<br><br>Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора [[Image:23-06-32.jpg]] равна [[Image:23-06-33.jpg]]|. Направление вектора [[Image:23-06-32.jpg]] при [[Image:23-06-34.jpg]] совпадает с направлением вектора [[Image:23-06-1.jpg]], если [[Image:23-06-35.jpg]], и противоположно направлению вектора [[Image:23-06-1.jpg]], если [[Image:23-06-36.jpg]].<br>Доказательство. Построим векторы OA и ОВ, равные [[Image:23-06-1.jpg]] и Ка соответственно (О — начало координат). Пусть oi и Ог — координаты вектора [[Image:23-06-1.jpg]]. Тогда координатами точки А будут числа а, и а-г, а координатами точки В будут ^1, ка2 (рис. 222). Уравнение прямой OA имеет вид:<br>ах + ^у = 0.<br>Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A{ai;a2), то ему удовлетворяют и координаты точки В{каг, Ялг). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой OA. Координаты с, и сг любой точки С, лежащей на полупрямой OA, имеют те же знаки, что и координаты oi и Ог точки А, а координаты любой точки, которая лежит на полупрямой, дополнительной к OA, имеют противоположные знаки.<br>Поэтому если А,&gt;0, то точка В лежит на полупрямой OA, а следовательно, векторы а п Ы одинаково направлены. Если к&lt;СО, то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы а и Ка противоположно направлены.<br>Абсолютная величина вектора Ха равна:<br>1^1 =V(A«.f+(^2f = М V^F+^= UI \а\. Теорема доказана.<br>Задача&nbsp; (17).&nbsp; Даны&nbsp; точки&nbsp; A{xi;yi) и В{х2;у2).<br>Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены.<br>Решение. Вектор АВ имеет координаты Х2 — Х1 и 1/2 —у 1. Вектор ВА имеет координаты XI—X2 и 1/1 — 1/2. Мы видим, что АВ={ — 1)ВА. А значит, векторы АВ и ВА противоположно направлены.<br>
+[[Image:23-06-31.jpg]]<br><br>Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора [[Image:23-06-32.jpg]] равна [[Image:23-06-33.jpg]]|. Направление вектора [[Image:23-06-32.jpg]] при [[Image:23-06-34.jpg]] совпадает с направлением вектора [[Image:23-06-1.jpg]], если [[Image:23-06-35.jpg]], и противоположно направлению вектора [[Image:23-06-1.jpg]], если [[Image:23-06-36.jpg]].
+Доказательство. Построим векторы [[Image:23-06-37.jpg]], равные [[Image:23-06-1.jpg]] и [[Image:23-06-38.jpg]] соответственно (О — начало координат). Пусть a<sub>1</sub> и a<sub>2</sub> — координаты вектора [[Image:23-06-1.jpg]]. Тогда координатами точки А будут числа a<sub>1</sub> и a<sub>2</sub>, а координатами точки В будут [[Image:23-06-39.jpg]] (рис. 222). Уравнение прямой OA имеет вид:
+[[Image:23-06-40.jpg]]
+Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A(a<sub>1</sub>;a<sub>2</sub>), то ему удовлетворяют и координаты точки В([[Image:23-06-39.jpg]]). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой OA. Координаты с<sub>1</sub> и с<sub>2</sub> любой точки С, лежащей на полупрямой OA, имеют те же знаки, что и координаты a<sub>1 и </sub>a<sub>2</sub> точки А, а координаты любой точки, которая лежит на полупрямой, дополнительной к OA, имеют противоположные знаки.
+Поэтому если [[Image:23-06-35.jpg]], то точка В лежит на полупрямой OA, а следовательно, векторы [[Image:23-06-1.jpg]] и [[Image:23-06-38.jpg]] одинаково направлены. Если [[Image:23-06-36.jpg]], то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы [[Image:23-06-1.jpg]] и [[Image:23-06-38.jpg]] противоположно направлены.
+Абсолютная величина вектора [[Image:23-06-38.jpg]] равна:
+[[Image:23-06-41.jpg]]
+<br>Теорема доказана.
+Задача&nbsp; (17).&nbsp; Даны&nbsp; точки&nbsp; A(x<sub>1</sub>;y<sub>1</sub>) и В(x<sub>2</sub>;y<sub>2</sub>).
+Докажите, что векторы [[Image:23-06-3.jpg]] и [[Image:23-06-42.jpg]] противоположно направлены.<br>Решение. Вектор [[Image:23-06-3.jpg]] имеет координаты x<sub>2</sub> —x<sub>1</sub> и y<sub>2</sub> —у<sub>1</sub>. Вектор [[Image:23-06-42.jpg]] имеет координаты x<sub>1</sub> —x<sub>2</sub> и y<sub>1</sub> —у<sub>2</sub>. Мы видим, что [[Image:23-06-3.jpg]]=( — 1)[[Image:23-06-42.jpg]]. А значит, векторы [[Image:23-06-3.jpg]] и [[Image:23-06-42.jpg]] противоположно направлены.<br>
 <br> ''А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений'' <br>

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

© Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний - Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов - гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других "взрослых" тем.

Разработка - Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: