Версия 09:27, 23 июня 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Задачи-5(8 класс)

                                                 ЗАДАЧИ

1. На прямой даны три точки А, В, С, причем точка В лежит между точками А и С. Среди векторов ,
, и назовите одинаково направленные и противоположно направленные.
2. Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов к .

3. Даны вектор и точка С. Отложите от точки С вектор, равный вектору , если: 

1) точка С лежит на прямой АВ;

2) точкаС не лежит на прямой АВ.

4. Векторы (2; 4), ( —1; 2), (с^; Cj) отложены от на-—J       чала координат. Чему равны координаты их концов?
5.    Абсолютная величина вектора с (5; го) равна 13, а вектора b (л; 24) равна 25. Найдите т к п.
6.    Даны точки А(0; 1)^В(1;^), С(1; 2), D (2; 1). Докажите равенство векторов АВ и CD.
7.    Даны три точки А (1; 1), В( —1;0), CJO; 1).  Шйдите
такую точку D {х; у), чтобы векторы АВ и CD были равны.
94
8. Найдите вектор с, равный сумме векторов а и Ь,
_    и абсолютную величину вектора с, если: 1) с(1; —4),
Ь(-4;8); 2) с(2;5), Ь(4;3).    _
9. Дан треугольник ABC. Найдите сумму векторов: 1) АС к СВ; 2) АВ к СВ; 3) АС и АВ; 4) СА п СВ.
 
10.    Найдите вектор с = а — Ь и его абсолютную величину, если 1) с(1; -4), Ь(-4; 8); 2) с (-2; 7),_^(4; -1).
11.    Даны векторы с общим началом: АВ и АС. Докажите, что АС—АВ=ВС.
12.    В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке _М. Выразите векторы АВ и CD через векторы с = =АМ, Ъ=ВМ (рис. 228).
13.    Начертите три произвольных вектора с, Ь, с, как на рисун-
А    D
Рис. 228    Рис. 229
В    С
 
 
ке 229. ^ теперь постройте векторы, равные: 1) с+Ь +
+ с; 2) с —Ь + с; 3) —с+Ь + с.   
14. 1) Докажите, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место неравенство I АС К |АВ| + |ВС|.
95
2) Докажите, что для любых векторов а и Ь имеет место неравенство |с+Ы<|с| + |Ы. 15. К горизонтальной балке на двух равных нитях подвешен груз весом Р. Определите силы натяжения нитей (рис. 230).
16.
96
С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз? 17. Даны точки А (хг, у\) и B{x2;y-i). Докажите, что
18.
19. 20. 21.
векторы АВ и ВА противоположно направлены. Докажите, что векторы с(1; 2) и Ь (0,5; 1) одинаково направлены, а векторы с( —1;2) и d(0,5; —1) противоположно направлены.
Даны векторы с(3;2) и Ь (0; —1). Найдите вектор с= = — 2с + 4Ь и его абсолютную величину. Абсолютная величина вектора Ы равна 5. Найдите "к, если: 1) с( —6;8); 2) с(3; —4); 3) с (5; 12). В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите,
что АМ=^(АВ+АС).
22. Точки М к N являются серединами отрезков АВ и CD соответственно.  Докажите  векторное  равенство  MN =
= ^{AC+BD) (рис. 231).
 
97
 
 
23. Дан параллелограмм ABCD, АС=а, DB=b (рис. 232).
Выразите векторы АВ, СВ, CD и AD через а к Ь.
24*. Докажите, что у коллинеарных векторов соответ-
ствующие координаты пропорциональны. И обрат-
но: если у двух ненулевых векторов соответствующие
координаты пропорциональны, то эти векторы колли-
неарны.    (;


Н
D
25.    Даны векторы а(2; —4), Ь (1; 1), с(1; —2), d( —2; —4). Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направлены?     _    _
26.    Известно, что векторы с(1; —1) и Ь(—2; т) коллинеарны. Найдите, чему равно т.
27.    Даны векторы а(1; 0), 1) и с( —1; 0). Найдите такие числа Я. и |д,, чтобы имело место векторное равенство с = Я.с-|-(лЬ.
28. Докажите, что для любых векторов с и Ь (abf^a^b"^.

29. Найдите угол между векторами а(1; 2) и    —
30*. Даны векторы а и Ь. Найдите абсолютную величину вектора с -f- Ь, если известно, что абсолютные величины векторов а и b равны 1, а угол между ними 60°.
31.    Найдите угол между векторами с и c-f-b задачи 30*.
32.    Даны вершины треугольника А (1; 1), В(4;1), С (4; 5). Найдите косинусы углов треугольника.    _
33.    Найдите  углы  треугольника   с  вершинами  А (0; -\J3),
В(2;л/3), c(-|-;f).
34.    Докажите, что векторы а{т;п) и Ь{ — п;т) перпендикулярны или равны нулю.
35.    Даны векторы с (3; 4) и Ь{т; 2). При каком значении т эти векторы перпендикулярны?
36.    Даны векторы о (1; 0) и Ь(1; 1). Найдите такое число чтобы вектор а + ХЬ был перпендикулярен вектору с.
37.    Докажите, что если а и b -^единичные неколлинеарные векторы, то векторы с + b и с — b отличны от нуля и перпендикулярны.
38*. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
39*. Даны стороны треугольника с, Ь, с. Найдите его медианы та, ть, тс.
40.    Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.
41.    Векторы с + Ь и а—Ь перпендикулярны. Докажите, что |с| = |Ь|.
42.    Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.
43.    Даны четыре точки А (1; 1), В(2;3), С (0; 4), D( —1;2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.
44.    Даны четыре точки А (0; 0),    1), С (0; 2), D( —1;1), Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.
99
45. Среди векторов о( —f; -|), b(f; |),   с (0;  — 1), rf^-|- ; —найдите единичные и укажите, какие из них коллинеарны.
46.    Найдите единичный вектор е, коллинеарный вектору а (6; 8) и одинаково с ним направленный.
47.    Даны координатные векторы     (1; 0) и вг (0; 1). Чему
равны координаты вектора 2ei—Зег? 48*. 1) Даны три точки О, А, В. Точка X делит отрезок АВ в отношении Я.:|д,, считая от точки А. Выразите вектор ОХ через векторы ОА = а и ОВ=Ь.
2) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин.
49.    Докажите, что проекция с вектора с на ось абсцисс с коор-
динатным вектором ei (1; 0) задается формулой
a = keu где k — cei.
50.    Докажите, что проекция суммы векторов на ось равна
сумме проекций слагаемых на ту же ось.
 

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Библиотека с учебниками и книгами на скачку бесплатно онлайн, Математика для 8 класса скачать, школьная программа по математике, планы конспектов уроков}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.