Версия 06:26, 22 июля 2010

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 6 класс>>Математика: Свойства действий с рациональными числами

38. Свойства действий с рациональными числами
Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если a, b и с — любые рациональные числа, то
а + Ь = Ь + о, а+(Ь + с) = (а + Ь) + с.
Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем:
а + 0 = а, а + ( — а)=0. 203
Умножение рациональных чисел тоже обладает перемести- тельным и сочетательным свойствами. Другими словами, если а, Ъ и с — любые рациональные^числа, то
ab — ba, a(bc) — (ab)c. Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1. Значит, для любого рационального числа а имеем:
аЛ=а. о-—=1, если аФ0. а
Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:
а-0 = 0.
Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: если а • b = 0, то либо а = 0, либо Ь — 0 (может случиться, что и а = 0, и Ь=0).
Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел a, b и с имеем:
(ia-\-b)'C = ac-\-bc.
Перечислите свойства сложения рациональных чисел. ^^ Перечислите свойства умножения рациональных чисел. В каком случае произведение двух чисел равно нулю?
О
 1185. Сформулируйте словами переместительное свойство сложения а+Ь=Ь+а и проверьте его при:
а) а = 0,7, Ъ = 1,2; б) a=-3f, b= - if.
1186.    Сформулируйте словами сочетательное свойство сложения а-\-{Ь-\-с) = (а-\-Ъ)-\-с и проверьте его при:
а)а=—0,7,    Ь=— 0,3 и с = 1,2;
б)a=-lf,    b=-if, с=-if.
1187.    Сложив отдельно положительные и отдельно отрицательные числа, найдите значение выражения:
а)    -17 + 83 + 49 — 27 — 364-28;
б)    2,15- 3,81 - 5,76+3,27 + 5,48- 4,33;
в)    4Т+2Т_5Т~3Т"2Т;
г)    0,8-f-f+0,3-f+0,4.
1188.    Сложив сначала противоположные числа, найдите значение выражения:
а)    387-243-753-3874-243;
б)    — 6,37 + 2,4 — 3,2 + 6,37 — 2,4;
B)3i-+2f-5i-3i--2f;
г) 0,5 + 2 — 3,3 — 2,8 —Ц—(- 3,3.
1189.    Упростите выражение:
а)    * + 8 — х — 22;    в) a-m + 7-8-fm;
б)    —х—а + 12+а —12; г) 6,1 — fc + 2,8 + p — 8,8 + fc — р.
1190.    Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
а)    7,8 + 3 ——2,8 — 3 — ; в) 4 —— — — 3 — — 3 —+ 1 —;
' • ^ 8 *    8    14 12 14 12 14
б)    4|—3^—9,5 + 5^-; г) 3 0,8-2 2,5 + 0,3 + 1 ^ .
1191.    Сформулируйте словами переместительное свойство умножения ab = ba и проверьте его при:
а) а = -0,3, 6 = 0,4; б)а=-2-|-,6=-4-|-.
1192.    Сформулируйте словами сочетательное свойство умножения a(bc)=(ab)c и проверьте его при:
а) а = 0,2, Ь = — 0,5, с = 3,2; б) а= --J-, 6= -1-|-,с= --1-.
1193.    Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
а)    —2'( —50)'6-12;    д) -3 i-. ( _1 J_).(_8).(-7);
б)    lb(-4).(-7).25;    4 7
в)    -0,2-0,8-(-5).(-1,25); е) -0,2-2 -0,5). (-А. ).
->-И-Ш-fH;
1194.    Какое получится число (положительное или отрицательное), если перемножить:
а)    одно отрицательное число и два положительных числа;
б)    два отрицательных и одно положительное число;
в)    7 отрицательных и несколько положительных чисел;
г)    20 отрицательных и несколько положительных? Сделайте вывод.

1195.    Определите знак произведения:
а)    — 2 • (— 3) • (— 9) • (—1,3) • 14 • (— 2,7) ¦ (— 2,9);
б)    4-( —11) •(—12)'( —13)-( —15)-(—17)-80'90.
1196.    Решите уравнение, использовав свойство произведения, равного нулю:
а)    4(*-5) = 0; в) 1,5 (41 -*)=0; д) (*-1)-(*-2) = 0;
б)    -8-(2,6 + *) = 0; г) (Зх-6).2,4=0; е) (* + 3).(* + 4) = 0.
1197.    Сформулируйте словами распределительное свойство умножения (a+b)'c = ac-\~bc и проверьте его при:
а) а — 0,2, b = — 0,3, с = -0,5; б) о= Ъ= —с= -1 f.
7    7    5
1198.    Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
r)(-f—г)-(-28).
 
в)    0,3•(—0,6) —(—0,7)'(— 0,6); в) -^--0,8+0,3-( ;
6)8.(_f)+7.(_f); 1199. Вычислите устно:
 

1200.    Найдите сумму всех целых чисел:
а) от —6 до 7; б) от —18 до 17; в) от —22 до 20.
1201.    Решите уравнение:
а) |х|=5,2; б) \а\ = -Ъ±-; в) \у\=0.
1202.    Придумайте такие значения х и г/, при которых верно соотношение:
a) f=l; б) f=0; в) -f=-l; r) -f>0; д) -f>l; е) f-<l.
У    У    У    У    У    У
1203. Найдите наибольшее значение выражения: а) -|дс|; б)2-|*|; в)-|*-1|; г)-(*-1)2.

v«| 1204. Решать некоторые математические задачи помогают (мы специальные схемы, состоящие из точек и соединяющих их дуг или стрелок .(рис. 91),.. Такие схемы называют графами, точки называют вершинами гр&фа, а дуги — ребрами грАфа. Решите с помощью графов задачу:
а)    В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Сережа и Максим (рис. 91, а). Оказалось, что каждый из мальчиков знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».)
б)    Во дворе гуляют братья и сестры одной семьи. Кто из этих детей мальчики, а кто девочки (рис. 91, б)? (Пунктирные
 

1205.    Вычислите:
а)    2-^-4; в) 0,5-(-4); д) 1 — 1 ; ж) 5\\
б)    (5-1-±-)-6; г) 8:( — 0,4); е) -1 :•§¦;' з) 0,25—
1206.    Сравните:
а) 23 и З2; б) (-2)3 и (-3)2; в) I3 и I2; г) (-1)3 и (-1)2.
1207.    Округлите 5,2853 до тысячных; до сотых; до десятых; до единиц.
1208.    Решите задачу:
1) Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между ними 23,4 км. Скорость мотоциклиста в 3,6 раза больше скорости велосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста, если известно, что мотоциклист догонит велосипедиста че-
2
рез — ч.
2) Легковая автомашина догоняет автобус. Сейчас между
5
ними 18 км. Скорость автобуса составляет — скорости легковой
О
автомашины. Найдите скорости автобуса и легковой автомашины, если известно, что легковая автомашина догонит автобус
через -§- ч.
о
1209. Найдите значение выражения:
1)    (0,7245:0,23 - 2,45) • 0,18 + 0,07 4;
2)    (0,8925:0,17 - 4,65) • 0,17+0,098;
3)    (-2,8 + 3,7 -4,8). 1,5:0,9;
4)    (5,7-6,6-1,9).2,1:(—0,49).
Проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора.
®
1210. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
а)    — 24+( —16)+( —10) + 23 + 17;
б)    36 + 72 + 24-36-72-24;
в)    -3,4 — 7,7 + 4,2-8,9 + 3,5;
г)    -3,9 + 8,6 + 4,7 + 3,9-4,7;
«)4f-3f-5f+li--5-L+2f;
e)6-f--5f-4-f-+5f+4f-6-L.
    Упростите выражение:
а)    —36 + т + 24; в) 5,7 —7,7 + а; д) —0,375 + fc;
о
б)    л + 42 —13; г) — 0,44 + х — 0,22; е)    —
У о
    Найдите значение выражения:
а)    — 5-( —1,2)-( —7);    в) _|~§~1 -§-. (--§-);
б)    -12,5-2,4-(-3).(-5); Г) -0,7-( —§-)-4,5-10.
    Выполните действия:
а)    0,8-(-0,3)-0,6-(-0,3); г) 2~3,7-2-§-•(-5,3);
б)    -i-0,4-0,4-(_i); «)(-li-_l.i-).14;
»> -bi+i-h •>(f-f )-20-
    Ученикам дали задание собрать 2,5 т металлолома. Они собрали 3,2 т металлолома. На сколько процентов учащиеся выполнили задание и на сколько процентов они перевыполнили задание?
    Автомашина прошла 240 км. Из них 180 км она шла по проселочной дороге, а остальной путь — по шоссе. Расход бензина на каждые 10 км проселочной дороги составил 1,6 л, а по шоссе — на 25% меньше. Сколько литров бензина в среднем расходовалось на каждые 10 км пути?
    Выезжая из села, велосипедист заметил на мосту пешехода, идущего в том же направлении, и догнал его через 12 мин. Найдите скорость пешехода, если скорость велосипедиста 15 км/ч, а расстояние от села до моста 1 км 800 м?
    Выполните действия:
а)    - 4,8 • 3,7 - 2,9 • 8,7 - 2,6 • 5,3 + 6,2 • 1,9;
б)    -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 • 0,8;
в)    3,5 • 0,23 - 3,5 •( - 0,64) + 0,87 • (- 2,5).
¦FB С рациональными числами люди, как вы знаете, знакоми- ЕЭ1 лись постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Так, еще недавно у туземцев островов в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от Австралии) были в языке названия только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа- оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначавшим «много».
Ученые полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи — 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем ВавилЬне появляются названия для громадных чисел — до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число.
Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287—212 гг. до н. э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца.
Но записывать такие громадные числа еще не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математиками в VI в. была придумана цифра нуль и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа.
При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби. Действия над дробями еще в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».
Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввел в Х585 г. голландский математик и инженер Симон Стевйн.
Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время *гакие числа считали «несуществующими», «ложными» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел «имущество — долг» приводило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущества» или «долги», но как понимать произведение или частное «имущества» и «долга»?
.Однако несмотря на такие сомнения и недоумения, правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в III в. греческим математиком Диофантом (в виде: «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает прибавляемое» и т. д.), а позже индийский математик Б х а с к а- р а (XII в.) выразил те же правила в понятиях «имущество», «долг» («Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть долг». То же правило и при делении).
Было установлено, что свойства действий над отрицательными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойством). И наконец с начала прошлого века отрицательные числа стали равоправными с положительными.
В дальнейшем в математике появились новые числа — иррациональные, комплексные и другие. О них вы узнаете в старших классах.

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

_{Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 6 класса скачать, помощь школьнику онлайн}

Содержание урока
 конспект урока
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников
 
Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 
 
Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.