Гіпермаркет Знань>>Математика>>Математика 7 клас. Повні уроки>> АЛГЕБРА: Степінь з натуральним показником. Властивості степеня. Повні уроки

АЛГЕБРА

Тема 7. Степінь з натуральним показником. Властивості степеня

Мета: дізнатися, що таке степінь. Виокремити основні його властивості. Навчитися розв’язувати задачі із степенем.

План:

1. Степінь натурального числа з натуральним показником
2. Степінь дійсного числа з натуральним показником
3. Властивості степеня дійсного числа з натуральним показником
4. Степінь дійсного числа з нульовим і цілим від'ємним показником.


1. Степінь натурального числа з натуральним показником

Степенем називається добуток кількох рівних множників.
Наприклад,

3•3=3² – другий степінь числа 3, або квадрат числа 3;
х•х•х=х³ – третій степінь змінної х, або куб змінної х;
с•с•с•с•с=с⁵ – п'ятий степінь змінної с;

Піднести число 2 до третього степеня – означає перемножити три двійки, тобто 2³=2•2•2=8.
Число яке підносять до степеня – основа степеня, число яке показує до якого степеня підноситься основа – показник степеня.
Першим степенем числа домовились вважати саме це число: а¹ – те саме число, що й а. Показник 1 не прийнято писати.

2. Степінь дійсного числа з натуральним показником

Поняття степеня натурального числа з натуральним показником узагальнюється на степінь дійсного числа з натуральним показником:

аⁿ = а•а•а…а.

Будь-який степінь додатного числа є число додатне.
Парний степінь від'ємного числа – число додатне.
Непарний степінь від'ємного числа – число від'ємне.
Приклади:

 
2) (-0,2)³=(-0,2)•(-0,2)•(-0,2)=-0,008;

3) Знайти значення виразу

5а²+27:(а-1)³, якщо а= -2.

Розв'язання. Якщо а= -2, то значення даного виразу дорівнює
5•(-2)²+27:(-3)³=5•4+27:(-27)=20-1=19.

3. Властивості степеня дійсного числа з натуральним показником

1) Основна властивість степеня:

Яке б не було а і натуральні показники степенів m і n, завжди
а^m • аⁿ=а^m+n.

З основної властивості степеня випливає:

При множенні степенів з однаковою основою показники степенів додають, а основу залишають ту ж саму.

Приклади. 3²•3⁸=3¹⁰;

1,2³•1,2⁴=1,2⁷;

х⁵•х⁸=х¹³;

2) При діленні степенів з однаковою основою показники степенів віднімають, а основу залишають ту ж саму.

 
Приклади.

 
3) Яке б не було а і натуральні показники степеня m і n, завжди

(аⁿ) ^m=а^nm.

Щоб піднести степінь до степеня, потрібно показники степенів перемножити, а основу залишити ту саму.

(аⁿ)^m=а^nm=(а ^m) ⁿ;

Приклади. (3²)⁸=3¹⁶;

(1,2³)⁴=1,2¹²;

(х⁵)⁸=х⁴⁰;

4) Щоб піднести добуток до степеня, потрібно кожен з множників піднести до степеня.

(ас) ⁿ=а ⁿ•с ⁿ;

Цю формулу часто застосовують в зворотньому порядку.

Приклади.

(2•3)²=2²•3²=4•9=36;

(2х)³=2³•х³=8•х³;

5³•3³=(5•3)³=15³=3375.

Щоб піднести частку до степеня, потрібно кожен з множників піднести до степеня.

 
Приклади:

 
5) Один в будь-якому степені дорівнює один.

1ⁿ=1;

6) Будь-яке число в першому степені дорівнює самому числу.

а¹=а;

Зауваження. Розв´язуючи приклади, зручно скорочувати вирази, оскільки це швидше приводить до результату.

Приклади.

1) 
2) 
3) 

4. Степінь дійсного числа з нульовим і цілим від'ємним показником.

Будь-яке число в нульовому степені дорівнює одиниці.

а⁰=1.

Щоб піднести число до від'ємного степеня потрібно одиницю поділити на це число у додатному степені.

а^-n=1/^аn.

Приклади.
 

7. До вашої уваги — кросворд. Ви повинні розгадати його і у виділеному стовпці прочитати назву найпер¬шої весняної квітки, занесеної до Червоної книги.(Кросворд прикріпити на дошці і маркером вписувати слова, а букви, які утворять слово Підсніжник, написати червоним маркером)

1.    Як називається вираз аⁿ? (Степінь)
2.    Показник степеня а ^-3 число — ... (Від'ємне)
3.    Основа степеня 2¹⁹ число — ... (Два)
4.    Який показник степеня a¹⁰⁰? (Сто)
5.    а° = .... (Один)
6.    Напишіть замість «х» показник степеня а^-10 • а^х=а^-3(Сім)
7.    Дано (m^-3)^-5 = m ¹⁵. Яку дію виконали над показниками, щоб піднести степінь до степеня? (Множення)
8.    a^-n *aⁿ=... (Один)
9.    Напишіть замість «х» показник степеня:  с¹¹:с⁸=с^х  (Три)
10.    а³ — число а у 3 степені. А як ще можна назвати цей вираз? (Куб)
Ключове слово: підсніжник.

5. Тарасов Валентин Алексеевич, учитель школы "Логос ЛВ", ст.преп. фак-та довузовской подготовки МИТХТ, г. Москва

Відредаговано і надіслано Мазуренко М.С.

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.