Гипермаркет Знаний - первый в мире!, Гипермаркет Знаний, Математика, 8 класс, Алгебра, урок, на Тему, Рациональные уравнения

<a href="Гипермаркет знаний - первый в мире!">Гипермаркет знаний</a>>><a href="Математика">Математика</a>>><a href="Математика 8 класс">Математика 8 класс</a>>>Математика:Рациональные уравнения

                                                          РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Алгоритм решения рационального уравнения

Термин «рациональное уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это — алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Если r(х) — рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением.

Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения.

До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно-
му, но и к квадратному уравнению.

Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.

Пример 1. Решить уравнение

<img src="/images/f/fa/13-06-54.jpg" _fck_mw_filename="13-06-54.jpg" alt="" />

Решение. Перепишем уравнение в виде

<img src="/images/f/fa/13-06-54.jpg" _fck_mw_filename="13-06-54.jpg" alt="" /> = 0

При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член <img src="/images/8/8d/13-06-55.jpg" _fck_mw_filename="13-06-55.jpg" alt="" /> в левую часть уравнения с противоположным знаком.

Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем

<img src="/images/2/23/13-06-56.jpg" _fck_mw_filename="13-06-56.jpg" alt="" />

Вспомним условия равенства дроби нулю:<img src="/images/f/fb/13-06-57.jpg" _fck_mw_filename="13-06-57.jpg" alt="" /> тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:

1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля <img src="/images/e/eb/13-06-58.jpg" _fck_mw_filename="13-06-58.jpg" alt="" />).
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим

<img src="/images/7/71/13-06-59.jpg" _fck_mw_filename="13-06-59.jpg" alt="" />

Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение <img src="/images/e/eb/13-06-58.jpg" _fck_mw_filename="13-06-58.jpg" alt="" /> означает для уравнения (1), что <img src="/images/3/3f/13-06-60.jpg" _fck_mw_filename="13-06-60.jpg" alt="" />. Значения х₁ = 2 и х₂ = 0,6
указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения.
Ответ: 2; 0,6.

Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают.
Опираясь на решенный пример, сформулируем следующий алгоритм.

Алгоритм решения рационального уравнения

<img src="/images/d/de/13-06-69.jpg" _fck_mw_filename="13-06-69.jpg" alt="" />

Пример 2. Решить уравнение

<img src="/images/7/7d/13-06-68.jpg" _fck_mw_filename="13-06-68.jpg" alt="" />

Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
1) Преобразуем уравнение к виду

<img src="/images/e/e5/13-06-63.jpg" _fck_mw_filename="13-06-63.jpg" alt="" />

2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:

<img src="/images/8/83/13-06-64.jpg" _fck_mw_filename="13-06-64.jpg" alt="" />

(одновременно изменили знаки в числителе и знаменателе
дроби).
Таким образом, заданное уравнение принимает вид

<img src="/images/f/fb/13-06-65.jpg" _fck_mw_filename="13-06-65.jpg" alt="" />

3) Решим уравнение х² - 6x + 8 = 0. Находим

<img src="/images/a/ac/13-06-66.jpg" _fck_mw_filename="13-06-66.jpg" alt="" />

4) Для найденных значений проверим выполнение условия <img src="/images/f/f5/13-06-67.jpg" _fck_mw_filename="13-06-67.jpg" alt="" />. Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 — нет. Значит, 4 — корень заданного уравнения, а 2 — посторонний корень.
О т в е т: 4.

2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение х⁴ + х² - 20 = 0.

Решение. Введем новую переменную у = х². Так как х⁴ = (х²)² = у², то заданное уравнение можно переписать в виде

у² + у - 20 = 0.

Это — квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы; получим у₁ = 4, у₂ = - 5.
Но у = х², значит, задача свелась к решению двух уравнений:
x²=4; х²=-5.

Из первого уравнения находим <img src="/images/1/1c/13-06-70.jpg" _fck_mw_filename="13-06-70.jpg" alt="" />  второе уравнение не имеет корней.
Ответ: <img src="/images/4/48/13-06-71.jpg" _fck_mw_filename="13-06-71.jpg" alt="" />.
Уравнение вида ах⁴ + bx² +c  = 0 называют биквадратным уравнением («би» —  два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение ). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х², решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х.

Пример 4. Решить уравнение

<img src="/images/2/2d/13-06-72.jpg" _fck_mw_filename="13-06-72.jpg" alt="" />

Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х² + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х² + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной — и запись упроща
ется, и структура уравнения становится более ясной):

<img src="/images/9/9d/13-06-73.jpg" _fck_mw_filename="13-06-73.jpg" alt="" />

А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.

1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:

<img src="/images/9/9d/13-06-73.jpg" _fck_mw_filename="13-06-73.jpg" alt="" /> = 0
12 7
2) Преобразуем левую часть уравнения

<img src="/images/d/d6/13-06-74.jpg" _fck_mw_filename="13-06-74.jpg" alt="" />

Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду

<img src="/images/9/98/13-06-75.jpg" _fck_mw_filename="13-06-75.jpg" alt="" />

3) Из уравнения - 7у² + 29у -4 = 0 находим у<img src="/images/7/7c/13-06-76.jpg" _fck_mw_filename="13-06-76.jpg" alt="" /> (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит).

4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1)<img src="/images/7/71/13-06-77.jpg" _fck_mw_filename="13-06-77.jpg" alt="" />. Оба корня этому условию удовлетворяют.
Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: <img src="/images/7/7e/13-06-78.jpg" _fck_mw_filename="13-06-78.jpg" alt="" />
Поскольку у = х² + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и <img src="/images/1/1e/13-06-79.jpg" _fck_mw_filename="13-06-79.jpg" alt="" /> , — нам еще предстоит решить два уравнения: х² + Зх = 4; х² + Зх = <img src="/images/1/1e/13-06-79.jpg" _fck_mw_filename="13-06-79.jpg" alt="" /> . Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения — числа

<img src="/images/8/86/13-06-80.jpg" _fck_mw_filename="13-06-80.jpg" alt="" />

В рассмотренных примерах метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение яйно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой
буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.

Пример 5. Решить уравнение
х(х- 1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Имеем
х(х - 3) = х² - 3х;
(х - 1)(x - 2) = x²-Зx+2.

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде

(x² - 3x)(x² + 3x + 2) = 24

Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х² - Зх.
С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у² + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6.
Возвращаясь к исходной переменной х , получаем два уравнения х² - Зх = 4 и х² - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х₁ = 4, х₂ = - 1; второе уравнение не имеет корней.
О т в е т: 4, — 1.

_{Материалы по математике <a href="Гипермаркет знаний - первый в мире!">онлайн</a>, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике <a href="Математика">скачать</a>}

<b><u>Содержание урока</u></b>
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> конспект урока                       </b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> опорный каркас  
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> презентация урока
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> акселеративные методы 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> интерактивные технологии 

<b><u>Практика</u></b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> задачи и упражнения 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> самопроверка
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> практикумы, тренинги, кейсы, квесты
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> домашние задания
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> дискуссионные вопросы
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> риторические вопросы от учеников
 
<b><u>Иллюстрации</u></b>
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> аудио-, видеоклипы и мультимедиа </b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> фотографии, картинки 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> графики, таблицы, схемы
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> юмор, анекдоты, приколы, комиксы
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

<b><u>Дополнения</u></b>
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> рефераты</b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> статьи 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> фишки для любознательных 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> шпаргалки 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> учебники основные и дополнительные
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> словарь терминов                          
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> прочие 
<b><u></u></b>
<u>Совершенствование учебников и уроков
</u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> исправление ошибок в учебнике</b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> обновление фрагмента в учебнике 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> элементы новаторства на уроке 
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> замена устаревших знаний новыми 
 
<b><u>Только для учителей</u></b>
<u></u><b><img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> идеальные уроки </b>
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> календарный план на год  
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> методические рекомендации  
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> программы
<img src="/images/9/95/1236084776_kr.jpg" _fck_mw_filename="1236084776 kr.jpg" _fck_mw_width="10" _fck_mw_height="10" alt="1236084776 kr.jpg" /> обсуждения


<b><u>Интегрированные уроки</u></b><u>
</u>

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, <a href="http://xvatit.com/index.php?do=feedback">напишите нам</a>.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - <a href="http://xvatit.com/forum/">Образовательный форум</a>.