Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Теорема Виета)

Теорема Виета

В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).

Например, для уравнения Зx² - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна <img src="/images/6/60/14-06-48.jpg" _fck_mw_filename="14-06-48.jpg" alt="" />, а произведение корней равно <img src="/images/8/80/14-06-49.jpg" _fck_mw_filename="14-06-49.jpg" alt="" />
т. е. - 2. А для уравнения х² - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
Доказательство теоремы Виета. Корни х₁ и х₂ квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 находятся по формулам

<img src="/images/9/9a/14-06-50.jpg" _fck_mw_filename="14-06-50.jpg" alt="" />

где D = b² — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни,
получим

<img src="/images/9/95/14-06-51.jpg" _fck_mw_filename="14-06-51.jpg" alt="" />

Теперь вычислим произведение корней х₁ и х₂ Имеем

<img src="/images/d/df/14-06-52.jpg" _fck_mw_filename="14-06-52.jpg" alt="" />

Второе соотношение доказано: <img src="/images/4/48/14-06-53.jpg" _fck_mw_filename="14-06-53.jpg" alt="" />
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0. В этом случае получаем:

x₁ = x₂ = -p, x₁x₂ =q
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х₁ и х₂ — корни приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0. Тогда

<img src="/images/4/4f/14-06-54.jpg" _fck_mw_filename="14-06-54.jpg" alt="" />

Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.

<img src="/images/6/6c/14-06-55.jpg" _fck_mw_filename="14-06-55.jpg" alt="" />

Доказательство. Имеем

<img src="/images/3/33/14-06-56.jpg" _fck_mw_filename="14-06-56.jpg" alt="" />

Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен Зх² - 10x + 3.
Решение. Решив уравнение Зх² - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх² - 10x + 3: х₁ = 3, х2 = <img src="/images/d/dd/14-06-57.jpg" _fck_mw_filename="14-06-57.jpg" alt="" />.
Воспользовавшись теоремой 2, получим

<img src="/images/3/3d/14-06-58.jpg" _fck_mw_filename="14-06-58.jpg" alt="" />

Есть смысл вместо <img src="/images/7/7c/14-06-59.jpg" _fck_mw_filename="14-06-59.jpg" alt="" /> написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх² - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1).
Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки:

Зх² - 10x + 3 = Зх² - 9х - х + 3 =
= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).

Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован.
Пример 1. Сократить дробь

<img src="/images/0/00/14-06-60.jpg" _fck_mw_filename="14-06-60.jpg" alt="" />

Решение. Из уравнения 2х² + 5х + 2 = 0 находим х₁ = - 2,

<img src="/images/9/92/14-06-61.jpg" _fck_mw_filename="14-06-61.jpg" alt="" />

Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х₁ = 6, х₂ = -2. Поэтому
х²- 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А теперь сократим заданную дробь:

<img src="/images/4/45/14-06-62.jpg" _fck_mw_filename="14-06-62.jpg" alt="" />

Пример 3. Разложить на множители выражения:
а)x4 + 5x²+6;               б)2x+<img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />-3
Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х². Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у² + bу + 6.
Решив уравнение у² + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у² + 5у + 6: у₁ = - 2, у₂ = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим

у² + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Осталось вспомнить, что у = x² , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
x⁴ + 5х²+ 6 = (х² + 2)(х² + 3).
б) Введем новую переменную у = <img src="/images/8/8d/14-06-63.jpg" _fck_mw_filename="14-06-63.jpg" alt="" />. Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у² + у - 3. Решив уравнение
2у² + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у² + у - 3:
y₁ = 1,    y₂= <img src="/images/7/7a/14-06-64.jpg" _fck_mw_filename="14-06-64.jpg" alt="" />. Далее, используя теорему 2, получим:

<img src="/images/6/64/14-06-65.jpg" _fck_mw_filename="14-06-65.jpg" alt="" />

Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,

<img src="/images/4/4f/14-06-66.jpg" _fck_mw_filename="14-06-66.jpg" alt="" />

В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением:
если числа х₁, х₂ таковы, что х¹ + х² = - р, x₁x₂ = q, то эти числа — корни уравнения
С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.

1) х² - 11х + 24 = 0. Здесь x₁ + х₂ = 11, х₁х₂ = 24. Нетрудно догадаться, что х₁ = 8, х₂ = 3.

2) х² + 11х + 30 = 0. Здесь x₁ + х₂ = -11,  х₁х₂ = 30. Нетрудно догадаться, что х₁ = -5, х₂ = -6.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.

3) х² + х - 12 = 0. Здесь x₁ + х₂ = -1, х₁х₂ = -12. Легко догадаться, что х₁ = 3, х2 = -4.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.

4) 5х² + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х₁ = 1 — корень уравнения. Так как х₁х₂ = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" />, а х₁ = 1, то получаем, что х₂ = -<img src="/images/e/ee/14-06-67.jpg" _fck_mw_filename="14-06-67.jpg" alt="" /> .

5) х² - 293x + 2830 = 0. Здесь х₁+ х₂ = 293, х₁х₂ = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 • 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х₁ = 283, х₂ = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).

6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х₁ = 8, х₂ = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х² + рх + q = 0.
Имеем х₁+ х₂= -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х₁х₂= q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х²-4х-32 = 0.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.