Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Рациональные уравнения

Рациональные уравнения

1. Алгоритм решения рационального уравнения

Термин «рациональное уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это — алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Если r(х) — рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением.

Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения.

До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению. Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно-
му, но и к квадратному уравнению.

Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.

Пример 1. Решить уравнение

<img src="/images/f/fa/13-06-54.jpg" _fck_mw_filename="13-06-54.jpg" alt="" />

Решение. Перепишем уравнение в виде

<img src="/images/f/fa/13-06-54.jpg" _fck_mw_filename="13-06-54.jpg" alt="" /> = 0

При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член <img src="/images/8/8d/13-06-55.jpg" _fck_mw_filename="13-06-55.jpg" alt="" /> в левую часть уравнения с противоположным знаком.

Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем

<img src="/images/2/23/13-06-56.jpg" _fck_mw_filename="13-06-56.jpg" alt="" />

Вспомним условия равенства дроби нулю:<img src="/images/f/fb/13-06-57.jpg" _fck_mw_filename="13-06-57.jpg" alt="" /> тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:

1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля <img src="/images/e/eb/13-06-58.jpg" _fck_mw_filename="13-06-58.jpg" alt="" />).
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим

<img src="/images/7/71/13-06-59.jpg" _fck_mw_filename="13-06-59.jpg" alt="" />

Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение <img src="/images/e/eb/13-06-58.jpg" _fck_mw_filename="13-06-58.jpg" alt="" /> означает для уравнения (1), что <img src="/images/3/3f/13-06-60.jpg" _fck_mw_filename="13-06-60.jpg" alt="" />. Значения х₁ = 2 и х₂ = 0,6
указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения.
Ответ: 2; 0,6.

Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают.
Опираясь на решенный пример, сформулируем следующий алгоритм.

Алгоритм решения рационального уравнения

<img src="/images/d/de/13-06-69.jpg" _fck_mw_filename="13-06-69.jpg" alt="" />

Пример 2. Решить уравнение

<img src="/images/7/7d/13-06-68.jpg" _fck_mw_filename="13-06-68.jpg" alt="" />

Решение. Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
1) Преобразуем уравнение к виду

<img src="/images/e/e5/13-06-63.jpg" _fck_mw_filename="13-06-63.jpg" alt="" />

2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:

<img src="/images/8/83/13-06-64.jpg" _fck_mw_filename="13-06-64.jpg" alt="" />

(одновременно изменили знаки в числителе и знаменателе
дроби).
Таким образом, заданное уравнение принимает вид

<img src="/images/f/fb/13-06-65.jpg" _fck_mw_filename="13-06-65.jpg" alt="" />

3) Решим уравнение х² - 6x + 8 = 0. Находим

<img src="/images/a/ac/13-06-66.jpg" _fck_mw_filename="13-06-66.jpg" alt="" />

4) Для найденных значений проверим выполнение условия <img src="/images/f/f5/13-06-67.jpg" _fck_mw_filename="13-06-67.jpg" alt="" />. Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 — нет. Значит, 4 — корень заданного уравнения, а 2 — посторонний корень.
О т в е т: 4.

2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение х⁴ + х² - 20 = 0.

Решение. Введем новую переменную у = х². Так как х⁴ = (х²)² = у², то заданное уравнение можно переписать в виде

у² + у - 20 = 0.

Это — квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы; получим у₁ = 4, у₂ = - 5.
Но у = х², значит, задача свелась к решению двух уравнений:
x²=4; х²=-5.

Из первого уравнения находим <img src="/images/1/1c/13-06-70.jpg" _fck_mw_filename="13-06-70.jpg" alt="" />  второе уравнение не имеет корней.
Ответ: <img src="/images/4/48/13-06-71.jpg" _fck_mw_filename="13-06-71.jpg" alt="" />.
Уравнение вида ах⁴ + bx² +c  = 0 называют биквадратным уравнением («би» —  два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение ). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х², решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х.

Пример 4. Решить уравнение

<img src="/images/2/2d/13-06-72.jpg" _fck_mw_filename="13-06-72.jpg" alt="" />

Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х² + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х² + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной — и запись упроща
ется, и структура уравнения становится более ясной):

<img src="/images/9/9d/13-06-73.jpg" _fck_mw_filename="13-06-73.jpg" alt="" />

А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.

1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:

<img src="/images/9/9d/13-06-73.jpg" _fck_mw_filename="13-06-73.jpg" alt="" /> = 0
12 7
2) Преобразуем левую часть уравнения

<img src="/images/d/d6/13-06-74.jpg" _fck_mw_filename="13-06-74.jpg" alt="" />

Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду

<img src="/images/9/98/13-06-75.jpg" _fck_mw_filename="13-06-75.jpg" alt="" />

3) Из уравнения - 7у² + 29у -4 = 0 находим у<img src="/images/7/7c/13-06-76.jpg" _fck_mw_filename="13-06-76.jpg" alt="" /> (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит).

4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1)<img src="/images/7/71/13-06-77.jpg" _fck_mw_filename="13-06-77.jpg" alt="" />. Оба корня этому условию удовлетворяют.
Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: <img src="/images/7/7e/13-06-78.jpg" _fck_mw_filename="13-06-78.jpg" alt="" />
Поскольку у = х² + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и <img src="/images/1/1e/13-06-79.jpg" _fck_mw_filename="13-06-79.jpg" alt="" /> , — нам еще предстоит решить два уравнения: х² + Зх = 4; х² + Зх = <img src="/images/1/1e/13-06-79.jpg" _fck_mw_filename="13-06-79.jpg" alt="" /> . Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения — числа

<img src="/images/8/86/13-06-80.jpg" _fck_mw_filename="13-06-80.jpg" alt="" />

В рассмотренных примерах метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение яйно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой
буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.

Пример 5. Решить уравнение
х(х- 1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Имеем
х(х - 3) = х² - 3х;
(х - 1)(x - 2) = x²-Зx+2.

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде

(x² - 3x)(x² + 3x + 2) = 24

Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х² - Зх.
С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у² + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6.
Возвращаясь к исходной переменной х , получаем два уравнения х² - Зх = 4 и х² - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х₁ = 4, х₂ = - 1; второе уравнение не имеет корней.
О т в е т: 4, — 1.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{онлайн библиотека с учебниками и книгами, планы конспектов уроков по математике, задания по математике 8 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.