Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Иррациональные числа

Иррациональные числа

Мы уже неоднократно отмечали, что не все числа, с которыми приходится встречаться в реальной жизни, являются рациональными. Так, не является рациональным числом длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 2 см: в самом деле, длина с гипотенузы этого треугольника и длины катетов связаны, по теореме Пифагора, соотношением с² = I² + 2². Значит, с = см, а - не рациональное число. Корни уравнения х² = 7 также не являются рациональными числами — это числа и - . Что же это за числа, которые не являются рациональными?

Прежде всего заметим, что в математике не принято говорить «нерациональное число», обычно используют термин иррациональное число. Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio — «разум» (буквальный перевод: «рациональное число — разумное число», «иррациональное число — неразумное число»; впрочем, так говорят и в реальной жизни: «он поступил рационально» — это значит, что он поступил разумно; «так действовать нерационально» — это значит, что так действовать неразумно).

Рассмотрим уже известное нам иррациональное число . В § 15 мы отмечали, что оно заключено между числами 2 и 3; если точнее, то между числами 2,2 и 2,3; если еще точнее, — то между числами 2,23 и 2,24. Можно продолжить уточнения оценок числа и определить границы для третьего десятичного знака после запятой. Имеем 2,2362 = 4,999696, что меньше 5; 2,2372 = = 5,004167, что больше 5.

Итак, 2,236 < < 2,237.

Точно так же можно определить границы для четвертого знака после запятой, для пятого знака и т. д. Ясно, что выполняется приближенное равенство   2,236. Если же считать, что для числа выписаны все последующие десятичные знаки, то можно воспользоваться записью = 2,236... . Это — бесконечная десятичная дробь. В предыдущем параграфе мы уже встречались с бесконечными десятичными дробями, но все они были периодическими и выражали рациональные числа. Иррациональное число выражается бесконечной десятичной непериодической дробью.

Вообще, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Такие числа встречаются не только при извлечении квадратного корня, но и во многих других случаях, в чем вы не раз убедитесь в старших классах.

Пока приведем только один пример. Если длину любой окружности разделить на ее диаметр, то в частном получится иррациональное число 3,141592... . Этот факт установил еще в III веке до н. э. греческий математик и философ Архимед. Для указанного числа в математике введено специальное обозначение % (буква греческого алфавита «пи»).

Любая арифметическая операция над рациональными числами приводит в результате к рациональному числу. Это и понятно, ведь сумма (разность, произведение, частное) обыкновенных дробей есть обыкновенная дробь (все логично, ведь рациональные числа — «разумные» числа). А как обстоит дело с иррациональными числами? Оказывается, ничего определенного сказать нельзя (что тоже логично, ведь иррациональные числа — «неразумные» числа). Смотрите: — иррациональное число, . =5 — рациональное число, т. е. произведение двух иррациональных чисел оказалось рациональным числом;

— иррациональные числа, и их произведение, т. е. — тоже иррациональное число. То же относится к сложению, вычитанию, делению иррациональных чисел: в ответе может получиться как рациональное, так и иррациональное число.

А что получится, если в операции участвуют одно рациональное число и одно иррациональное число, какое «пересилит»?

Оказывается, «пересилит» иррациональное число. Рассмотрим такой пример: дано рациональное число 3 и иррациональное число  ;составим их сумму 3 + • Предположим, что это — рациональное число r, т. е. 3 + = г. Тогда = г - 3, а r - 3 — рациональное число (как разность двух рациональных чисел). Получается, что — рациональное число, а это неверно, ведь мы знаем, что это число — иррациональное.

Получили противоречие, значит, сделанное нами предположение неверно, т. е. 3 + — иррациональное число. Аналогично можно доказать, что 3- — иррациональное число.

Замечание. Обратите внимание, что в проведенном рассуждении мы снова использовали метод доказательства от противного, о котором в первый раз говорили выше, в § 15.

Итак, можно сделать следующие выводы:

• Любая арифметическая операция над рациональными числами (кроме деления на 0) приводит в результате к рациональному числу.

• Арифметическая операция над иррациональными числами может привести в результате как к рациональному, так и к иррациональному числу.

• Если в арифметической операции участвуют рациональное и иррациональное числа, то в результате получится иррациональное число (кроме умножения и деления на 0).

Поскольку операция извлечения квадратного корня из положительного числа часто приводит к иррациональным числам, условились алгебраическое выражение, в котором присутствует операция извлечения квадратного корня, называть иррациональным выражением.

Кстати, и термин «освобождение от иррациональности в знаменателе», который мы использовали в § 18, объясняется теми же причинами.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

_{Школьная библиотека онлайн, учебники и книги по всему предметам, Математика 8 класс скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.