Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Для удобства читателя этот параграф строится точно по тому же плану, которого мы придерживались в предыдущем параграфе.

1. Основные понятия.

Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число называют геометрической прогрессией. При этом число 5 называют знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (b_n), заданная рекуррентно соотношениями

Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она геометрической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что
отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно то перед вами— геометрическая прогрессия.
Пример 1. 1, 3, 9, 27, 81,... .
Это геометрическая прогрессия, у которой Ь₁ = 1, q = 3.
Пример 2.
Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 3.
Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 4. 8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Это геометрическая прогрессия, у которой b₁ — 8, q = 1.
Заметим, что эта последовательность является и арифметической прогрессией (см. пример 3 из § 15).
Пример 5. 2,-2,2,-2,2,-2.....
Это геометрическая прогрессия, у которой b₁ = 2, q = -1.
Очевидно, что геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b₁ > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b₁> 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).
Для обозначения того, что последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:

Значок заменяет словосочетание «геометрическая прогрессия».
Отметим одно любопытное и в то же время достаточно очевидное свойство геометрической прогрессии:
Если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. является геометрической прогрессией.
У второй геометрической прогрессии первый член равен а знаменатель равен q².
Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за b_n, то получится конечная геометрическая прогрессия
В дальнейших пунктах этого параграфа мы рассмотрим наиболее важные свойства геометрической прогрессии.
2. Формула п-го члена геометрической прогрессии.
Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем q. Имеем:

Нетрудно догадаться, что для любого номера п справедливо равенство

Это — формула п-го члена геометрической прогрессии.
Замечание. Если вы прочли важное замечание из предыдущего параграфа и поняли его, то попробуйте доказать формулу (1) методом математической индукции подобно тому, как зто было сделано для формулы п-го члена арифметической прогрессии.
Перепишем формулу п-го члена геометрической прогрессии

и введем обозначения: Получим у = mq², или, подробнее,
Аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной функцией. Значит, геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию, заданную на множестве N натуральных чисел. На рис. 96а изображен график функции рис. 966 — график функции  В обоих случаях имеем изолированные точки
(с абсциссами х= 1, х = 2, х = 3 и т.д.), лежащие на некоторой кривой (на обоих рисунках представлена одна и та же кривая, только по-разному расположенная и изображенная в разных масштабах). Эту кривую называют экспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в курсе алгебры 11-го класса.

Вернемся к примерам 1—5 из предыдущего пункта.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Это геометрическая прогрессия, у которой Ь₁ = 1, q = 3. Составим формулу п-го члена
2)   Это геометрическая прогрессия, у которой Составим формулу п-го члена

Это геометрическая прогрессия, у которой Составим формулу п-го члена
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Это геометрическая прогрессия, у которой Ь₁ = 8, q = 1. Составим формулу п-го члена
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Это геометрическая прогрессия, у которой Ъ₁ = 2, q = —1. Составим формулу п-го члена
Пример 6. Дана геометрическая прогрессия

Р е ш е н и е. Во всех случаях в основе решения лежит формула п-го члена геометрической прогрессии

а) Положив в формуле п-го члена геометрической прогрессии п = 6, получим

б) Имеем

Так как 512 = 2⁹, то получаем п - 1 = 9, п = 10.

в) Имеем

г) Имеем

Пример 7. Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии.
Решение. Первый этап. Составление математической модели.
Условия задачи можно кратко записать так:

Воспользовавшись формулой п-го члена геометрической прогрессии, получим:
Тогда второе условие задачи (Ь₇ - Ь₅ = 48) можно записать в виде

Третье условие задачи (Ь₅ + Ь₆ = 48) можно записать в виде

В итоге получаем систему двух уравнений с двумя переменными Ь₁ и q:

которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.
Второй этап. Работа с составленной моделью. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:

(мы разделили обе части уравнения на выражение Ъ₁q⁴, отличное от нуля).
Из уравнения q₂ - q - 2 = 0 находим q₁ = 2, q² = -1. Подставив значение q = 2 во второе уравнение системы, получим
Подставив значение q = -1 во второе уравнение системы, получим Ь₁ • 1 • 0 = 48; это уравнение не имеет решений.
Итак, b₁=1, q = 2 — эта пара является решением составленной системы уравнений.
Теперь мы можем записать геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Требуется вычислить b₁₂. Имеем

О т в е т: b₁₂ = 2048.
3. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

Обозначим через S_n сумму ее членов, т.е.

Выведем формулу для отыскания этой суммы.
Начнем с самого простого случая, когда д = 1. Тогда геометрическая прогрессия Ь₁, Ь₂, Ь₃,..., Ъп состоит из п чисел, равных Ъ₁, т.е. прогрессия имеет вид Ъ₁, Ъ₂, Ъ₃, ..., Ь₄. Сумма этих чисел равна nb₁.
Пусть теперь q = 1 Для отыскания S_n применим искусственный прием: выполним некоторые преобразования выражения S_nq. Имеем:

Выполняя преобразования, мы, во-первых, пользовались определением геометрической прогрессии, согласно которому (см. третью строчку рассуждений); во-вторых, прибавили и вычли отчего значение выражения, разумеется, не изменилось (см. четвертую строчку рассуждений); в-третьих, воспользовались формулой п-го члена геометрической прогрессии:

Из формулы (1) находим:

Это — формула суммы п членов геометрической прогрессии (для случая, когда q = 1).
Пример 8. Дана конечная геометрическая прогрессия

а)    сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов.

Р е ш е н и е. а) Имеем

б)    Выше (см. с. 132) мы уже отмечали, что если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия с первым членом Ь₂ и знаменателем q₂. Тогда сумма шести членов новой прогрессии будет вычисляться по

Пример 9. Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой
Решение.
Фактически мы доказали следующую теорему.

Числовая, последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого Теорема    (и последнего, в случае конечной последовательности ),равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии ).

В предыдущем параграфе мы получили характеристическое свойство арифметической прогрессии: любой ее член равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Обратимся теперь к характеристическому свойству геометрической прогрессии и выполним некоторые преобразования равенства.

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

_{Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.