Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Признак подобия треугольников по трем сторонам

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Теорема 11.4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников ABC и A₁B₁C₁, AB = kA₁B₁, AC = kA₁C₁, BC = kB₁C₁. Докажем, чтоABCA₁B₁C₁.

Подвергнем треугольник A₁B₁C₁ преобразованию подобия

с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 242). При этом получим некоторый треугольник A2B2C2, равный треугольнику ABC. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны: 

А₂В₂ = kА₁В₁=АВ, А₂С₂ = kА₁С₁=АС, В₂С₂ = kВ₁С₁=ВС.

Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники  A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники A₂B₂C₂ и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники A₁B₁C₁ и AВС подобны. Теорема доказана.

 
Задача (36). Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.

Решение. Пусть ABC и A₁B₁C₁ — подобные треугольники. Тогда стороны треугольника A₁B₁C₁ пропорциональны сторонам треугольника ABC, т. е.A₁B₁  = kAB, B₁C₁ = kBC, A₁C₁=kAC. Складывая эти равенства почленно, получим:

A₁B₁ +В₁С₁ +A₁C₁ =k (АВ + ВС+АС).

Отсюда

Т. е. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны. 

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по математике онлайн, видеоматериал по математике для 9 класса скачать}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.