Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика:Выпуклые многоугольники

Выпуклые многоугольники

Ломаная

называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 276). Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. 

Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольник, называются диагоналями. Многоугольник с n вершинами, а значит, и с n сторонами называется n-угольником.

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 277).
 
 

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 278, о изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б — невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Теорема 13.2. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°-(n-2).

Доказательство. В случае n = b теорема справедлива. Пусть A₁A₂ ... A_n —данный выпуклый многоугольник и n>b (рис. 279). Проведем n — b диагонали: А₁А₃, А₁А₄, ...A₁A_n-1. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на n —2 треугольника: А₁А₂А₃, А₁А₃А₄, ... .... A₁A_1-nA_n.

Сумма углов многоугольника А₁А₂...А_n совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число этих треугольников есть n — 2. Поэтому сумма углов выпуклого n-угольника А₁А₂...А_n равна 180°-(n —2). Теорема доказана.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.

Задача (9). Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-угольника, взятых по одному при каждой вершине?

Решение. Сумма внутреннего угла многоугольника и смежного с ним внешнего равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180° • n. Но сумма всех внутренних углов равна 180°•(n — 2). Значит, сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 180°• n-180°-(n-2)==360°.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

_{Рефераты, домашняя работа по математике скачать, учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы}

Содержание урока
 конспект урока                       
 опорный каркас  
 презентация урока
 акселеративные методы 
 интерактивные технологии 

Практика
 задачи и упражнения 
 самопроверка
 практикумы, тренинги, кейсы, квесты
 домашние задания
 дискуссионные вопросы
 риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
 аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
 фотографии, картинки 
 графики, таблицы, схемы
 юмор, анекдоты, приколы, комиксы
 притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
 рефераты
 статьи 
 фишки для любознательных 
 шпаргалки 
 учебники основные и дополнительные
 словарь терминов                          
 прочие 

Совершенствование учебников и уроков
 исправление ошибок в учебнике
 обновление фрагмента в учебнике 
 элементы новаторства на уроке 
 замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
 идеальные уроки 
 календарный план на год  
 методические рекомендации  
 программы
 обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум.