Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс. Полные уроки>>Геометрия: Параллелограмм. Полные уроки

Тема урока

• Параллелограмм

Цели урока

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “параллелограмм”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Введение.
2. Частные виды параллелограмма.
3. Теоретическая часть.
4. Практическая часть.
5. Дополнительный материал.

Введение

Для начала я решил узнать, откуда  появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.

Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на теореме Евклида о свойствах  параллелограмма.

Само же понятие параллелограмм от греч. Parallelos — параллельный и gramme — линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии».

Частные виды параллелограмма

Известны некоторые виды параллелограмма: 

1. Прямоугольник.
2. Ромб.
3. Квадрат.

Прямоугольник - параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же  имеет свое собственное: Диагонали прямоугольника равны.

Прямоугольник

Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Ромб

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Квадрат - равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и  параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.

Квадрат

Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare - сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” - четырехугольник.

Теоретическая часть

Определения

Параллелограмм (от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 
Параллелограмм — всякий четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны; преимуществ. так назыв. удлиненный четырехугольник, с двумя острыми и двумя тупыми углами; прочие же виды параллелогр. имеют свои особ. названия (ромб, квадрат, прямоугольник).

Параллелограмм, четырехугольник (четырехсторонняя плоская фигура), у которого каждая пара противоположных сторон параллельна. У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны. Площадь параллелограмма равна произведению одной стороны на длину перпендикуляра, опущенного на нее с противоположной стороны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
 Параллелограмм - четырехугольник, каждая пара противоположных сторон которого параллельны и равны между собой.

Все эти определения верны и по своему дополняют друг друга.

Свойства параллелограмма

• Теорема. Противоположные стороны параллелограма равны.
  Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠САВ=∠АСD, ∠АСВ=∠DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников.
  

• Теорема. Противоположные углы параллелограмма равны: ∠А=∠С и ∠В=∠D.
  Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.
  

• Теорема. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.
  Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.
  

• Теорема. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.
  Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ОАD=∠ОСВ и ∠ОDА=∠ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.

Признаки параллелограмма

• Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника KLMN являются вершинами параллелограмма Вариньона.

• Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника ABCD. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

• Теорема. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
  Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом.
  В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма: прямоугольник, ромб, квадрат.
  

• Теорема. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
  Пусть ∠А=∠С и ∠В=∠D. Т.к. ∠А+∠В+∠С+∠D=360^о, то ∠А+∠В=180^о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.
  

• Теорема. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.
  Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.
  

• Теорема. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
  Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.

• Теорема. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
  Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом.
  

Практическая часть

Задача №1

Высоты параллелограмма равны 5см и 4см, а периметр равен 42см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону.  Обозначим стороны параллелограмма как a и b.
Следовательно площадь и периметр будут равны:

S = 4a
S = 5b

(должен уточнить что в обеех случаях площадь параллелограмма будет одинаковой не смотря на разность высот, компинсация за счет длин сторон параллелограма)

P = 2a + 2b

Откуда 4a = 5b
a = 5/4b

Поскольку периметр параллелограмма равен 42 см, то
2( 5/4b ) + 2b = 42
b = 9,333

Откуда a = 11,666

Теперь находим площадь параллелограмма:
S = 4 * 11,666 = 5 * 9,333 = 46,66 см² .

Ответ: 46,66 см² .

Задача №2

Периметр параллелограмма равен 16 см. Чему равны стороны параллелограмма, если известно, что одна его сторона в 3 раза больше другой.

Решение.

У параллелограмма противоположные стороны равны, обозначим их как а и b, тогда периметр будет равен: Р = 2(а+b).
Пусть х - это сторона а, тогда

b=3х.
2(х+3х)=16
2*4х=16
х=2

значит сторона а=2, а сторона b=6.

Ответ: 2 и 6.

Дополнительный материал

Зачастую учебники републикуют исправляя орфографические ошибки, изменяя аргументы в задачах, часто меняют нумерацию задач, ну и изредка автор дописывает пару слов от себя. Я же предлагаю в качестве дополнительного материала познакомится с некоторыми свойствами какие не так часто можно встретить в "классической" литературе по геометрии. Они не сложны для понимание, выплывают с известных Вам уже определений, свойств и теорем.

В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:

• Противоположные углы и стороны равны
• Диагонали параллелограмма пересекаются и  точкой пересечения делятся пополам

Я предлагаю 10 дополнительных свойств:

• Сумма соседних углов параллелограмма равна 180◦

∠1=∠2; ∠3=∠4; ∠1+∠3=∠2+∠4=∠А=∠С;

• Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;

• Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;

• Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;

∠5=90^о

• Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;

• Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той  же его диагонали равны.

• Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;

• Если в параллелограмме соединить противоположные  вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.

• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

• Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
  

Интересный факт

О ходе шахматного коня.

Старинная задача о ходе шахматного коня:

Требуется обойти конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке конь был только один раз и затем возвратился бы в клетку, из которой вышел.

Задачей этой занимался Эйлер и в письме к Гольдбаху (26 апреля 1757 года) дал одно из решений ее. Вот что, между прочим, пишет он в этом интересном письме:

«... Воспоминание о предложенной когда-то мне задаче послужило для меня недавно поводом к некоторым тонким изысканиям, в которых обыкновенный анализ, как кажется, не имеет никакого применения. Вопрос состоит в следующем. Требуется обойти шахматным конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке он побывал только один раз. С этой целью все места, которые занимал конь при своих последовательных ходах, закрывались марками. Но к этому присоединилось еще требование, чтобы начало хода делалось с данного места. Это последнее условие казалось мне очень затрудняющим вопрос, так как я скоро нашел некоторые пути, при которых, однако, выбор начала для меня свободен. Я утверждаю, однако, что если полный обход коня будет возвратный, т. е. если конь из последнего места опять может перейти на первое, то устраняется и это затруднение. После некоторых изысканий по этому поводу я нашел, наконец, ясный способ находить сколько угодно подобных решений (число их, однако, не бесконечно), не делая проб. Подобное решение представлено на рисунке (рис. 1).

Рис. 1. Решение задачи о ходе шахматного коня, данное Эйлером.

Конь ходит в порядке, указанном числами. Так как из последнего места 64 он может перейти на 1, то этот полный ход есть возвратный».

Таково решение задачи о ходе шахматного коня, данное Эйлером.

В письме не указаны ни приемы, ни путь, которыми знаменитый ученый пришел к своему открытию.

Вопросы

1. Сформулируйте определение параллелограмма?
2. Сколько признаков параллелограмма?
   
3. Может ли ромб быть параллелограмом?
4. Квадрат это параллелограм или нет, ответ докажите?

Список использованных источников

1. Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9 кл» «Просвещение» 2005г
2. «Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия» Электронная энциклопедия 2007г
3. «Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008г

Над уроком работали

Переутка М.О.

Потурнак С.А.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов  высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.