Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>> Логарифмические уравнения

Что такое логарифмическое уравнение?

Логарифмическим уравнением называют такое уравнение, в котором неизвестная представлена под знаком логарифма.

То есть, если говорить более понятным языком, то в логарифмическом уравнении все неизвестные х, а также выражения с ними, расположены внутри логарифмов.

Теперь давайте рассмотрим примеры логарифмических уравнений:

Если вы внимательно посмотрите на примере этих разнообразных уравнений, то заметите, что выражения с неизвестными х расположены, все без исключения, внутри логарифмов.

Но бывают такие случаи, когда в уравнении, внутри логарифмов не наблюдается присутствия х, а есть только числа. Например:

х+2 = lg8+lg50

Если вам попалось такое уравнение, то можно сказать, что вам повезло. Ведь логарифм с числами - это какое-то число и чтобы решить такое уравнение, достаточно хорошо понимать свойства логарифмов. В этом случае не требуется особых ни знаний каких-то определенных правил, ни особых приемов.

Как решать простейшие логарифмические уравнения?

Существует довольно много различных методов решения логарифмических уравнений. К таким способам относится такие своеобразные подходы, как разложение на множители, замена, потенцирование, а также работа с основаниями.

Но какой бы способ решения логарифмического уравнения вы не выбрали, следует знать, что все решения этих уравнений сводятся к тому, что любое логарифмическое уравнение необходимо привести к его простейшему виду:

loga(f(x)) = loga(g(x)),

После того, как вы свели уравнение к такому виду, можете приступать к решению уравнения без логарифмов:

f(x)=g(x).

То есть, чтобы вам было еще более понятно, то следует запомнить, что весь процесс решения любого логарифмического уравнения сводится к тому, что необходимо перейти от уравнения с логарифмами к уравнению, где логарифмы отсутствуют.

В простых логарифмических уравнениях такой переход осуществляется довольно просто. Давайте рассмотрим этот процесс на примере.

Вот мы с вами имеем простое логарифмическое уравнение:

log3х = log39

Чтобы получить уравнение без логарифмов, нам необходимо от них избавиться. В этом случае алгебра нам позволяет логарифмы убрать, и вот что в итоге мы получим:

х = 9

Убрать логарифмы таким методом, является одним из основных способов решения логарифмических уравнений или неравенств. Такая своеобразная операция избавления от логарифмов называется потенцирование.

Но даже на такую ликвидацию логарифмов существуют определенные правила.

Без проблем и опасений убрать логарифмы можно в том случае, если:

• Во-первых, они имеют одинаковые числовые основания;
• Во-вторых, что слева, что справа, логарифмы должны быть без всяких коэффициентов, то есть, находится в гордом одиночестве;

Но следует учесть, что при решении уравнений с логарифмами не всегда есть возможность от логарифма избавиться. Так, например, в уравнении:

log3х = 2log3(3х-1)

Убрать логарифм в этом случае не позволяет двойка, которая стоит справа, так как она является коэффициентом.

А если рассмотреть следующий пример, то это уравнение также нельзя потенцировать, так как у него слева не наблюдается одинокого логарифма:

log3х+log3(х+1) = log3(3+х)

Вот мы и пришли с вами к такому выводу, что убирать логарифмы можно только тогда, когда уравнение имеет соответственный вид:

logа(.....) = logа(.....)

В этом уравнении в скобках могут быть любые выражения, но важно, чтобы после того, как мы уберем логарифм, у нас осталось более простое уравнение.

Свойства логарифмов

Следует знать

На этом уроке мы с вами рассмотрели решение простейших логарифмических уравнений и можем с уверенностью сказать, что никаких сложных преобразований мы не наблюдали.

Но для успешного решения таких задач важно знать свойства логарифма и понимать основное логарифмическое тождество.

Также, следует запомнить, что после того, как будет найден корень логарифмического уравнения, необходимо в обязательном порядке делать проверку полученных корней.