Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Уравнение прямой

Уравнение прямой

Свойства прямой

Вы уже изучали тему о прямой и знаете, что через любую точку можно провести бесконечное множество прямых.

А вот через точки, которые не совпадают, прямую можно провести только одну.

Если же мы имеем две несовпадающие прямые, которые лежат на плоскости, то из предыдущего определения следует, что они либо пересекаются в единственной точке, либо же являются параллельными.

Если же рассматривать расположение двух прямых в трехмерном пространстве, то здесь существует три варианта:

• Первый, когда прямые пересекаются;
• Второй, когда они параллельны;
• Третий, когда прямые скрещиваются.

Также стоит вспомнить, что прямая линия в декартовой системе координат, как правило, задается на плоскости уравнением 1-степени, то есть линейным уравнением.

Общее уравнение прямой на плоскости

А теперь пришло время познакомиться с общим уравнением прямой, так как в геометрии нам придется иметь дело именно с ним.

В связи с этим следует знать следующее определение, в котором говориться, что любая прямая, которая есть на плоскости может быть задана уравнением первого порядка.

Это общее уравнение прямой представлено нам в таком виде:

в котором А,В,С – некоторые числа

Но здесь следует запомнить, что такие постоянные коэффициенты А и В одновременно не могут равняться нулю, так как такое уравнение потеряет всякий смысл.

Теперь мы с вами выяснили, что приведенное выше уравнение первого порядка, как раз и является общим уравнением прямой.

А вот в зависимости от значений постоянных А, В и С мы с вами рассмотрим возможные частные варианты:

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Припустим у нас есть две точки А(x1, y1) и В (x2, y2), через которые проходит прямая. Но следует отметить, что точки:

То в этом случае уравнение можно найти, если использовать следующую формулу:

Уравнение прямой в пространстве

Теперь давайте представим, что нам дана прямая, которая проходит через две точки А(х1, у1, z1) и В (х2, у2, z2), тогда, в этом случае уравнение прямой, которая проходит через эти точки будет иметь такой вид:

Здесь следует обратить внимание на то, что если какой-то из этих знаменателей будет равен нулю, то необходимо и соответствующий числитель также приравнять к нулю.

Теперь давайте запишем это уравнение в упрощенном виде и смотрим, какой вид оно приобрело:

В случае, если x1≠x2 и x = x1, если x1=x2.

Даная дробь, которая имеет вид:

будет равна = k и является угловым коэффициентом прямой.

Пример.

Теперь давайте более подробно рассмотрим на конкретном примере.

Припустим, нам необходимо найти уравнение прямой, которая проходит через такие точки А(1,2) и В (3,4).

Решение. Если мы с вами к этим данным применим формулу, которую мы рассматривали выше, то у нас получится такой результат:

Решение задач

Нам даны точки А (-1, 1) и В (1, 0). Необходимо составить уравнение прямой, которая проходит через данные точки.

Решение. Нам уже известно, что для данной прямой имеет место уравнение такого вида, как ax + by + c = 0. А так как нам известно, что точки А и В лежат на прямой, то отсюда следует вывод, что координаты этих точек соответствуют для решения этого уравнения.

Поэтому мы берем и подставляем в это уравнение координаты данных точек и в итоге получаем:

-a+ b+ c = 0, a + c = 0.

Следуя результатам уравнения, появляется возможность выразить два коэффициента через третий. Например, а и b через а = -c, а b = -2c. Теперь возьмем и подставим эти значения а и b в уравнение прямой. Смотрим, что у нас получилось:

- cx– 2cy + c = 0

Мы видим, что данное уравнение можно сократить, и в результате получаем уравнение нашей прямой, которое будет выглядеть так:

-x – 2y + 1 = 0